1.Дифференцирование функций одной переменной

Дифференциал. Формула дифференциала

Определение

f (x)

Пусть функция

дифференцируема в точке x0 ,

принадлежащей ее области

определения и пусть

y = f (x0 +

x)− f (x0 )

–

приращение функции в точке x0 .

Линейная относительно приращения аргумента

x

часть приращения функции в этой

точке называется ее дифференциалом и обозначается dy .

ЗАМЕЧАНИЕ

Так как приращение

y

функции,

дифференцируемой в точке x0 , представимо в виде

y = f ′(x0 )

x + α( x)

x , то линейной относительно

x частью приращения функции

является первое слагаемое f ′(x0 )

x .

Поскольку для функции y = x в

любой точке производная

′

f (x)=1, то

дифференциал для нее совпадает с ее приращением, то есть dy = dx =

x . Учитывая

это, формулу для дифференциала записывают в виде:

dy =

′

f (x) dx .

f (x)

d(f (x)) g(x)− f (x) d(g(x))

, если g(x)≠ 0 .

d

=

g 2 (x)

g(x)

dy = d (cos

2

x)

1 − x

2

+ cos

2

1 − x

2

x d

.

Учитывая, что d (cos2 x)= (cos2 x) ′ dx = 2 cos x (−sin x)

dx ,

x

6