Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Санкт-Петербургский государственный морской технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Диф.исчисление ФОП ч.2.pdf

Скачиваний:

135

Добавлен:

18.04.2015

Размер:

793.47 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 / 1912 13 14 15 16 17 18 19 > Следующая >>>

		y
−	+	y′′
	+	y′′
	0	0	x
	перегиб	0	x

Рис. 18

				2	′		−1		10

Вычислим вторую производную	y′′ =	5	x 3			= 10 x	3	=				. Вторая производная не
		3								3
						9			9		x

существует при x = 0 и меняет знак в этой точке (рис.18). Поскольку функция определена на всей числовой оси, то x = 0 - точка перегиба. График функции показан на рисунке 18.

Асимптоты графика функции.

Определение 1

Прямая x = a называется вертикальной асимптотой графика функции f (x), если

lim f (x)= ∞.

x→a

ЗАМЕЧАНИЕ 1

Из определения вертикальной асимптоты следует, что вертикальные асимптоты следует искать в точках бесконечного разрыва функции.

ЗАМЕЧАНИЕ 2
Если lim f (x)= ∞ или	lim f (x)= ∞, то прямая	x = a является вертикальной
x→a+0	x→a−0
асимптотой справа или слева.
Пример 1
Найдите вертикальные асимптоты графика функции y =		1	.
Найдите вертикальные асимптоты графика функции y =		(x −1) (x − 2) (x −3)	.

Решение
lim	1		= ∞ ,
lim	(x −1) (x −	2) (x −3)	= ∞ ,
x→1	(x −1) (x −	2) (x −3)

	lim		1		= ∞,
	lim	(x −1) (x −		2) (x −3)	= ∞,
	x→2	(x −1) (x −		2) (x −3)
lim	1		= ∞.
lim	(x −1) (x − 2) (x	−3)	= ∞.
x→3	(x −1) (x − 2) (x	−3)

Из этого следует, что прямые x =1 , x = 2 и x =3 являются вертикальными асимптотами графика функции. Чтобы выяснить поведение функции вблизи вертикальных асимптот, исследуем заданную функцию на знак.

−	+	−		+
	1	2	3	y

Рис. 19

Из рисунка 19 можно определить знаки бесконечных пределов.
lim	f (x)= +∞ и	lim	f (x)= −∞.
x→1+0		x→1−0
lim	f (x)= −∞ и	lim	f (x)= +∞.
x→2+0		x→2−0
	28

lim

x→±∞

lim	f (x)= +∞ и	lim f (x)= −∞ .
x→3+0		x→3−0
Легко выяснить, что lim	f (x)= 0 . Эскиз графика функции можно построить, не
x→±∞

проводя исследования функции на экстремум и не выясняя характер ее выпуклости

(рис.20).

1	2	3	x
			x

Рис. 20

Определение 2

График функции y = f (x) имеет наклонную асимптоту вида y = k x +b при x → ±∞,

если lim (f (x)−k x −b)= 0.

x→±∞

Теорема

Прямая y = k x +b является наклонной асимптотой графика функции y = f (x) тогда и

только тогда, когда существуют и конечны пределы:

lim

f (x)

= k

lim

(x)x− k x)= b .

x→±∞

Доказательство

1) Пусть прямая y = k x +b

является наклонной

асимптотой графика функции

y = f (x). Тогда по определению наклонной асимптоты справедливо

lim

(f (x)−k x −b)= 0 .

x→±∞

Разделив выражение под знаком предела на x , получим

f (x)

− k −

= 0 , или lim

= k .

lim

x→±∞

Так как lim (f (x)−k x −b)= 0 , то		lim (f (x)−k x)= b.
x→±∞		x→±∞	f (x)
2) Пусть	lim (f (x)−k x)= b , где lim		f (x)	= k . Тогда функция f (x)− kx −b	является
2) Пусть	lim (f (x)−k x)= b , где lim			= k . Тогда функция f (x)− kx −b	является
	x→±∞	x→±∞	x
бесконечно	малой при x → ±∞.	Из этого следует, что lim (f (x)−k x −b)= 0 , а это
				x→±∞

означает, что прямая y = k x +b является наклонной асимптотой графика функции y = f (x).

ЗАМЕЧАНИЕ 1

Если f x(x) = k = 0 , то уравнение наклонной асимптоты принимает вид y = b . Такая асимптота называется горизонтальной.

ЗАМЕЧАНИЕ 2

Функция может вести себя по-разному вблизи наклонной асимптоты:

•она может иметь одну и ту же наклонную асимптоту при x → ±∞ (рис.21 a);

•	она может иметь разные наклонные асимптоты при x → +∞ и x → −∞ (рис.21 b);
•	она может иметь наклонную асимптоту только при x → +∞ или при x → −∞ (рис. 21 c).

y	y
x	x
Рис. 21 a	Рис. 21 b

Рис. 21 c

Пример 2

Найдите асимптоты графика функции f (x)= eexx ++14 .

Решение

Заданная функция определена и непрерывна на всей числовой оси, следовательно, ее график не имеет вертикальных асимптот.

Выясним, имеет ли график функции наклонные асимптоты вида y = kx + b .

k =

lim

f (x)

= lim

x→±∞

x→±∞ (ex +4) x

Поскольку

lim

∞, x → +∞

, то асимптоты разные при x → +∞ и x → −∞. Поэтому

ex =

x→±∞

0, x → −∞

lim

ex +1

lim

= 0 .

x→+∞ (ex + 4) x

x→+∞ ex x

x→+∞ x

= lim (f

(x)− k x)=

lim

ex +1

lim

=1.

x→+∞

x→+∞ ex + 4

x→+∞ ex

При x → +∞ график функции имеет горизонтальную асимптоту y =1 .

= lim

ex +1

= lim

= 0 .

b =

lim (f (x)− k

= lim

ex +1

x→−∞ (ex + 4) x

x→+∞ 4 x

x→−∞

x→−∞ ex + 4 4

При x → −∞ график функции имеет горизонтальную асимптоту

y =

. График функции

показан на рисунке 22.

Рис. 22

Пример 3

x −1 2

Проведите полное исследование функции f

(x)=

и постройте ее график.

x −

Решение

Проведем исследование заданной функции по следующей схеме.

Область определения функции (ООФ) и вертикальные асимптоты.

О.О.Ф.: x ≠ 2 . Поскольку lim f (x)= ∞, то прямая x = 2 – вертикальная асимптота. x→2

Четность функции, периодичность функции. Функция общего вида и непериодическая.

Корни и знаки функции.

Корень функции x =1. Функция неотрицательна при всех значениях x . Монотонность функции. Экстремумы.

Вычислим первую производную функции.

f	′	(x)= 2	x −1 x − 2 − x +1 − 2 (x −1)

			x − 2 (x − 2)2 = (x − 2)3 .
			x − 2 (x − 2)2 = (x − 2)3 .

Отметим на числовой оси стационарную точку, x =1 и точку разрыва функции x = 2 . Определим знак первой производной на каждом из полученных интервалов и отметим стрелками характер монотонности функции (рис.23).

−	+	−	y′
1		2	y′
1		2
min		разрыв

Рис. 23

Из рисунка 23 ясно, что x =1 – точка минимума. Для построения графика требуется найти значение функции в точке минимума: f (1)= 0 . В точке разрыва меняется характер

монотонности функции.

Выпуклость функции. Точки перегиба.

Вычислим вторую производную заданной функции.

′′

(x)= −2

(x − 2)3

−(x −1) 3 (x − 2)2

x − 2 −3x +3

2x −1

(x − 2)6

= = −2

(x − 2)4

= 2 (x − 2)4 .

Вторая производная обращается в ноль в точке

x =

и меняет знак. Это точка перегиба.

В точке разрыва x = 2 вторая производная знак не меняет. Определим знак второй производной на всей числовой оси и отметим на ней характер выпуклости функции

(рис.24).

−	+	+	y′′
0,5		2
перегиб		разрыв

Рис. 24

Значение функции в точке перегиба f (12 )= 19 .

Наклонные (горизонтальные) асимптоты.

Выясним, имеет ли функция наклонную асимптоту вида y = kx + b . Для этого вычислим пределы:

k = lim

f (x)

= lim

(x −1)2

= lim

= 0 .

x→∞

x→∞ x (x − 2)2

x→∞ x3

x→∞ x

b = lim (f (x)− kx)= lim f (x)= lim

(x −1)2

= lim

=1 .

x→∞

→∞

x→∞ (x − 2)2

x→∞ x2

Следовательно, график функции имеет горизонтальную асимптоту y =1 .

Введем прямоугольную декартову систему координат. Для того, чтобы построить график исследованной функции, нужно:

•провести вертикальные и наклонные асимптоты;

•отметить все характерные точки (корни, точки экстремума, точки перегиба);

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 / 1912 13 14 15 16 17 18 19 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
18.04.2015376.83 Кб30ДипломГергая.doc
#
18.04.2015282.2 Кб16Дискр мат лекция 1.pdf
#
18.04.2015460.8 Кб15Дискр мат лекция 2.pdf
#
18.04.2015178.53 Кб34Дискретная математика. Экзамен.pdf
#
27.09.20191.41 Mб15Диссертация_Филатов_Итог.doc
#
18.04.2015793.47 Кб135Диф.исчисление ФОП ч.2.pdf
#
18.04.2015632.13 Кб58Диф.исчисление ФОП.pdf
#
18.04.2015723.38 Кб238Дифференциальные уравнения.pdf
#
18.04.2015793.29 Кб49для РИО_Зотов_методичка3.docx
#
22.03.201641.66 Кб121Догадин.docx
#
14.04.2019957.44 Кб5Дойчланд.doc

Асимптоты графика функции.

Определение 1

Пример 1

Решение

Определение 2

Теорема

Доказательство

Пример 2

Решение

Пример 3

Решение