Доказательство |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
′ |
e x |
−e−x ′ |
|
|
|
e x |
+ e−x |
|
|
|
|
|
|
′ |
ex +e−x |
|
|
|
′ |
|
ex |
−e−x |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
(sh x) |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
= ch x ; |
(ch x) |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
= sh x . |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
′ |
sh x ′ |
|
|
|
|
sh′x ch x −ch′x sh x |
|
|
ch 2 |
x −sh 2 x |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
(th x) |
= |
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
так |
как |
||||||||||||
|
|
ch x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ch 2 x |
|
|
|
|
|
|
|
ch 2 |
x |
|
|
|
|
|
ch 2 |
|
x |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
ch 2 x −sh 2 x =1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
′ |
1 ′ |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
ch |
2 x |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
(cth x) |
= |
|
|
|
|
|
= − |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= − |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= − |
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
th x |
|
|
|
|
|
th 2 x |
|
ch |
2 x |
|
sh |
2 x ch 2 x |
|
|
|
sh |
2 |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
Полученные результаты запишем в таблицу 3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 3. Производные основных элементарных функций. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
(xα )′ = αxα−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(arcsin x)′ = |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 − x2 |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
(ex )′ = e x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(arc cos x)′ = − |
1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 − x2 |
|
|
|
|||||||
|
|
(a x )′ = a x ln a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(arctg x)′ = |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
′ |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
(ln x) |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(arcctg x) = − |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1+ x2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
(loga x)′ = |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(sh x)′ |
|
= ch x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x ln a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
(sin x)′ = cos x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(ch x)′ |
|
= sh x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
(cos x)′ = −sin x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(th x) |
= |
ch 2 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
(tg x) |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(cth x) |
|
= − |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
cos2 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sh 2 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
(ctg x) |
|
|
= − |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
sin2 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
1.6. Примеры вычисления производных
Пример 1
Вычислите производную функции y = e−x2 .
Решение
По правилу дифференцирования сложной функции следует сначала вычислить производную экспоненты по ее сложному аргументу − x2 . Это означает, что в табличной производной (ex )′ = ex переменную x нужно заменить переменной − x2 . Эту
производную необходимо умножить на производную от сложного аргумента − x2 по переменной x . Правило дифференцирования заданной функции можно записать в следующем виде
18
y′= (e−x2 )′ (− x2 )′ =e−x2 (−2x).
Пример 2
Вычислите производную функции y = cos(3x −2).
Решение
Заданная функция является суперпозицией трех функций y = (cos(3x −2))1 . Будем
2
дифференцировать эту функцию, используя правила дифференцирования, начиная с внешней, степенной функции:
y′ = (cos(3x − 2))12 ′ (cos(3x − 2))′ (3x − 2)′.
При этом следует понимать, что дифференцируя внешнюю функцию (степенную или косинус), нельзя менять ее сложный аргумент. Используя таблицу производных, получим
y′ = 12 cos−12 (3x − 2) (−sin(3x −2)) 3 .
Упростим полученное для производной выражение |
|
|||
y |
′ |
3sin(3x −2) |
||
= − 2 cos(3x |
−2) . |
|||
|
||||
Пример 3
Вычислите производную функции y = arctg 
x ln x .
Решение
По правилу дифференцирования произведения функций
y′ = (arctg 
x )′ ln x +arctg 
x (ln x)′.
По таблице производных (ln x)′ = |
1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Функция arctg |
x является сложной, ее производную следует вычислять по правилу |
|||||||||||||||||||
дифференцирования суперпозиции функций. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
′ |
′ |
|
′ |
1 |
|
1 |
′ |
1 |
|
1 |
|
− |
1 |
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
(arctg x ) = (arctg x ) ( |
x ) = |
1 + ( x )2 |
x |
|
= |
|
|
2 |
x |
|
|
= |
|
|
|
|
. |
|||
|
|
|
|
|
|
1 + x |
|
|
|
|
|
1 |
+ x |
|
2 x |
|
||||
Производная заданной функции равна |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
y′ = |
1 |
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1+ x |
2 x ln x +arctg |
x x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
ЗАМЕЧАНИЕ 1
Производная степенной функции y = 
x очень часто встречается в задачах. Рекомендуем ее запомнить
|
|
|
( x )′ = |
1 |
. |
2 |
x |
|
Пример 4
tg 1
Вычислите производную функции y = x .
3sin x
19
Решение
По правилу дифференцирования частного двух функций, производную от заданной функции можно записать в виде:
|
|
|
|
(tg |
1 |
)′ 3sin x − tg |
1 |
(3sin x )′ |
|
||
|
|
|
|
|
x |
|
|||||
|
|
y′ |
= |
|
x |
|
|
. |
|
||
|
|
|
|
(3sin x )2 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Функции tg |
1 |
и 3sin x – |
сложные. |
Поэтому |
производные от этих |
функций по |
|||||
x |
|||||||||||
переменной x вычислим, используя правило |
дифференцирования |
суперпозиции |
|||||||||
функций |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(tg 1x )′ = (tg 1x )′ (1x )′.
Производная от |
функции |
tg |
1 |
по |
|
|
переменной |
|
1 |
|
|
|
получится, если |
в |
табличную |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
x |
x |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
производную (tg x)′ = |
1 |
|
|
|
|
подставить переменную |
1 |
|
|
вместо переменной x , то есть |
||||||||||||||||||||||||||
cos2 x |
x |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(tg |
1 |
)′ = |
1 |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
cos2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1 |
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
= x−1 и |
||||||
Производная |
может быть вычислена по таблице, |
если учесть, |
что |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|||||||
использовать правило дифференцирования степенной функции, то есть |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
1 |
′ |
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
= |
(x−1 ) = (−1) x−2 |
= − |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
Тогда |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
1 |
|
|
′ |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
(tg |
) |
= |
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
= − |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
x |
|
cos2 |
|
|
|
x2 |
|
|
cos |
2 |
|
x2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Аналогично, по правилу дифференцирования суперпозиции функций вычисляется производная от функции 3sin x .
(3sin x )′ = (3sin x )′ (sin x)′ = 3sin x ln 3 cos x .
Подставим вычисленные производные в формулу для производной частного и запишем производную от заданной функции в виде:
|
− |
1 |
|
3sin x − tg |
1 |
|
3sin x ln 3 cos x |
|||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||
y′ = |
|
cos2 |
1 |
x2 |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|||
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
. |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
32sin x |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
ЗАМЕЧАНИЕ 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Производная степенной функции y = |
1 |
очень часто встречается в задачах. Рекомендуем ее |
||||||||||||||
x |
||||||||||||||||
запомнить |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
1 |
′ |
1 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
= − |
|
|
|
|
|
. |
|
||
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|||||
20