Определениe 7
Матрица размерности
|
a |
|
11 |
n ×n : A |
= a21 |
n×n |
K |
|
|
|
an1 |
a |
K a |
|
12 |
1n |
|
a22 |
K a2n |
называется квадратной n -ого |
K K K |
|
|
an2 |
|
|
K ann |
|
|
порядка. Элементы ai i , где i =1,2,K, n , квадратной матрицы называются диагональными,
эти элементы расположены на, так называемой, главной диагонали матрицы.
ЗАМЕЧАНИЕ
СЛАУ n -ого порядка называется система n линейных алгебраических уравнений с n
a11 x1 + a12 x2 +K+ a1n xn = b1 |
|
|
|||||
a21 x1 + a22 x2 |
+K+ a2n xn |
= b2 |
. |
||||
неизвестными: |
|
|
|
|
|
|
|
LLLLLLLLLLLL |
|
||||||
a x + a |
n2 |
x |
+K+ a |
x |
= b |
n |
|
n1 1 |
2 |
|
nn n |
|
|
||
1.2.СЛАУ второго, третьего и n -ого порядка. Определители. Формулы
Крамера
Теорема 1
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a11x1 + a12x2 |
= b1 |
. Если a11a22 − a21a12 ≠ 0 , то |
||||||||||
|
Рассмотрим СЛАУ второго порядка: |
|
|
|
|
|
= b2 |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a21x1 + a22x2 |
|
|
|
|
|
|||||||
система |
имеет единственное |
решение, |
которое |
определяется |
по формулам: |
|||||||||||||||||
x = |
b1a22 − b2 a12 |
, |
x |
2 |
= |
|
b2 a11 − b1a21 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
1 |
|
a11a22 − a21a12 |
|
|
a11a22 − a21a12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Доказательство |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Умножим первое уравнение системы на a22, а второе уравнение - на (− a12 ) и сложим |
|||||||||||||||||||||
их. Получим линейное |
уравнение, в |
которое |
входит |
только |
неизвестное |
x1, |
||||||||||||||||
(a11a22 − a21a12 )x1 = b1a22 − b2 a12 . Если |
a11a22 − a21a12 ≠ 0 , |
то это уравнение имеет |
||||||||||||||||||||
единственное решение: |
x |
= |
|
b1a22 − b2 a12 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
a11a22 − a21a12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Теперь умножим первое уравнение системы на (− a21), |
а второе уравнение - на a11 и |
||||||||||||||||||||
сложим |
их. Получим |
линейное |
уравнение, |
|
|
в |
которое |
входит |
только |
неизвестное |
x2 , |
|||||||||||
(a11a22 − a21a12 )x2 = b2 a11 − b1a21 . Если |
|
|
a11a22 −a21a12 ≠ 0 , |
то это уравнение имеет |
||||||||||||||||||
единственное решение: |
x2 |
= |
|
b2 a11 − b1a21 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a11a22 − a21a12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Определение 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Пусть задана матрица второго порядка: A = |
a |
11 |
a |
|
. Число, которое определяется |
||||||||||||||||
|
|
|
12 |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a21 |
22 |
|
|
|
|
|
||
через элементы этой матрицы по правилу: |
|
|
a11a22 − a21a12 , |
называется определителем |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
матрицы или определителем второго порядка и обозначается:
= |
|
A |
|
= |
a11 |
a12 |
=a a −a |
21 |
a . |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
a21 |
a22 |
11 |
22 |
|
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Определение 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Рассмотрим СЛАУ |
|
|
|
a11x1 + a12x2 |
= b1 |
. Определитель |
, |
||||||||
|
второго порядка: |
+ a22x2 |
= b2 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a21x1 |
|
|
||
составленный из коэффициентов при неизвестных, называется определителем системы.
Определители |
1 = |
b1 |
a12 |
|
|
и |
|
2 |
= |
a11 |
b1 |
, получающиеся из |
заменой столбцов из |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b2 |
a22 |
|
|
|
|
|
a21 |
b2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
коэффициентов при x1 и, соответственно, |
при |
x2 |
столбцом свободных членов называются |
|||||||||||||||||||||||||||
вспомогательными определителями. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
ЗАМЕЧАНИЕ 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Если обратить внимание на формулы, по которым вычисляются |
x1 и |
x2 |
в теореме 1, то можно |
|||||||||||||||||||||||||||
увидеть, что знаменатель дроби для |
x1 и |
x2 - |
это |
, числитель дроби для |
x1 − 1 , |
|
||||||||||||||||||||||||
числитель дроби для x2 |
− |
2 |
и сформулировать следующую теорему. |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
Теорема 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
отличен от нуля ( |
≠ 0), то система имеет, |
||||||||||||
Если определитель СЛАУ второго порядка |
||||||||||||||||||||||||||||||
и притом единственное, |
решение, которое может быть найдено по формулам: |
x = 1 , |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
x2 = 2 |
. Эти формулы называются формулами Крамера. |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
Определение 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
a |
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11 |
12 |
13 |
|
|
|
Пусть |
|
задана |
матрица |
третьего |
порядка: |
A = a21 |
a22 |
a23 . |
Число, |
которое |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
a |
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
31 |
32 |
33 |
|
|
|
определяется |
|
через |
|
|
|
элементы |
|
|
этой |
матрицы |
|
|
по |
правилу: |
||||||||||||||||
a11a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21a32 |
− a31a22 a13 − a32 a23 a11 − a33 a21a12 , |
|
|
называется |
||||||||||||||||||||||||||
определителем |
матрицы |
или |
определителем |
третьего |
порядка |
и обозначается: |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
a11 |
a12 |
|
a13 |
|
a11 |
|
|
a12 |
a13 |
|
|
a11 |
|
a12 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
= |
|
A |
|
= |
a21 |
a22 |
|
a23 |
= |
a21 |
|
a22 |
a23 |
|
|
a21 |
|
a22 |
= a11a22a33 +a12a23a31 +a13a21a32 − |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
a31 |
a32 |
|
a33 |
|
a31 |
|
a32 |
a33 |
|
|
a31 |
|
a32 |
|
|
|
|
|
|
|||||
−a31a22a13 −a32a23a11 −a33a21a12 .
ЗАМЕЧАНИЕ 2
Обращаем Ваше внимание, что в каждое слагаемое входит один и только один элемент из каждого столбца и строки матрицы.
8
Определение 4
a |
|
x |
+ a |
|
x |
2 |
+ a |
|
x |
3 |
||||
|
11 |
1 |
12 |
|
13 |
|
|
|||||||
Рассмотрим СЛАУ третьего порядка: a21 x1 + a22 x2 |
+ a23 x3 |
|||||||||||||
a |
31 |
x |
+ a |
32 |
x |
2 |
+ a |
33 |
x |
3 |
||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||||||
=b1
=b2 . Определители
=b3
|
b1 |
a12 |
a13 |
|
|
a11 |
b1 |
a13 |
|
|
a11 |
a12 |
b1 |
|
|
1 = |
b2 |
a22 |
a23 |
, |
2 = |
a21 |
b2 |
a23 |
и |
3 = |
a21 |
a22 |
b2 |
, получающиеся из |
|
|
b3 |
a32 |
a33 |
|
|
a31 |
b3 |
a33 |
|
|
a31 |
a32 |
b3 |
|
|
заменой по очереди столбцов из коэфициентов при x1 , при |
x2 |
и при x3 |
столбцом свободных |
||||||||||||
членов, называются вспомогательными определителями. |
|
|
|
|
|||||||||||
Для СЛАУ третьего порядка также справедливы формулы Крамера. |
|
||||||||||||||
Теорема 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( ≠ 0), то система |
||
Если определитель СЛАУ третьего порядка |
|
отличен от нуля |
|||||||||||||
имеет, и притом единственное, решение, которое может быть найдено по формулам
Крамера: x = |
1 , x |
2 |
= |
2 |
, |
x |
3 |
= |
|
3 . |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Пример |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x |
+3x |
2 |
+ 2x |
3 |
= 9 |
|||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||
Решить СЛАУ: x1 |
+ 2x2 |
|
−3x3 |
=14 . |
|||||||
|
|
|
|
+ 4x2 |
+ x3 |
=16 |
|||||
|
3x1 |
||||||||||
Решение
|
2 |
3 |
2 |
2 |
3 |
Вычислим определитель системы: = |
1 |
2 |
−3 |
1 |
2 = 4 −27 +8 −12 +24 −3 = −6 . |
|
3 |
4 |
1 |
3 |
4 |
Вспомогательные определители вычисляем по такому же правилу, что и определитель .
|
9 |
3 |
2 |
|
|
2 |
9 |
2 |
|
|
2 |
3 |
9 |
|
Получим: 1 = |
14 |
2 |
−3 |
= −12 , |
2 = |
1 |
14 |
−3 |
= −18 , |
3 = |
1 |
2 |
14 |
=12 . Так как |
|
16 |
4 |
1 |
|
|
3 |
16 |
1 |
|
|
3 |
4 |
16 |
|
≠ 0 , то данная система имеет только одно решение. Находим его по формулам Крамера:
x = 1 |
= |
−12 |
|
= 2 , x |
2 |
= |
2 |
= |
−18 |
= 3, x |
3 |
= 3 |
|
= |
12 |
= −2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
1 |
|
−6 |
|
|
|
|
−6 |
|
|
|
|
−6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a x + a x |
2 |
+K+ a |
|
x |
n |
= b |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11 |
1 |
12 |
|
|
|
1n |
|
|
1 |
|
|
|||||||
Рассмотрим |
СЛАУ n -ого |
|
|
a21 x1 + a22 x2 +K+ a2n xn |
= b2 |
. Для нее так же |
||||||||||||||||||||||
порядка: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
LLLLLLLLLLLL |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
n1 |
x + a |
n2 |
x |
2 |
+K+ a |
nn |
x |
n |
= b |
n |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
справедливы формулы Крамера. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Теорема 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
отличен от нуля ( ≠ 0), то система имеет, и |
|||||||||||||||||||
Если определитель СЛАУ n -ого порядка |
|
|||||||||||||||||||||||||||
притом |
единственное, |
|
решение, которое |
может |
|
быть |
найдено |
|
|
по формулам Крамера: |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|