- •3.1. Производные и дифференциалы
- •3.1.1. Производная и ее геометрический смысл
- •Определение 3.1.1
- •Определение 3.1.2
- •Геометрический смысл производной
- •Доказательство
- •3.1.2. Дифференцируемая функция
- •Определение 3.1.3
- •Необходимое и достаточное условие дифференцируемости функции
- •Доказательство
- •Определение 3.1.4
- •3.1.3. Непрерывность и дифференцируемость функции
- •Теорема 3.1.1
- •Доказательство
- •Задача 3.1.1
- •Задача 3.1.1
- •Определение 3.1.5
- •3.1.4. Правила дифференцирования
- •Производная функции, тождественно равной постоянной
- •Производная суммы и разности функций
- •Доказательство
- •Производная произведения функций
- •Доказательство
- •Следствие
- •Доказательство
- •Производная частного
- •Доказательство
- •Теорема о производной обратной функции
- •Доказательство
- •Производная сложной функции
- •Доказательство
- •3.1.5. Производные основных элементарных функций
- •Производная степенной функции
- •Доказательство
- •Производная экспоненциальной и показательной функций
- •Доказательство
- •Производная логарифмической функции
- •Доказательство
- •Производные тригонометрических функций
- •Доказательство
- •Производные обратных тригонометрических функций
- •Доказательство
- •Производные гиперболических функций
- •Доказательство
- •Пример 3.1.2
- •Решение
- •Задача 3.1.3
- •Решение
- •3.1.6. Уравнение касательной к кривой. Угол между кривыми.
- •Уравнение касательной
- •Доказательство
- •Задача 3.1.4
- •Решение
- •Задача 3.1.5
- •Решение
- •3.1.7. Дифференциал. Формула дифференциала
- •Определение 3.1.6
- •Правила дифференцирования
- •Задача 3.1.6
- •Решение
- •Геометрический смысл дифференциала
- •Доказательство
- •Инвариантность формулы дифференциала
- •Доказательство
- •Следствие
- •3.1.8. Производные функций, заданных параметрически. Дифференцирование неявных функций
- •Производная функции, заданной параметрически
- •Доказательство
- •Задача 3.1.7
- •Решение
- •Производная функции, заданной неявно
- •Задача 3.1.8
- •Решение
- •Задача 3.1.9
- •Решение
- •3.1.10. Приближенные вычисления с помощью дифференциала.
- •Задача 3.1.10
- •Решение
- •3.1.10. Производные высших порядков
- •Определение 3.1.7
- •Задача 3.1.11
- •Решение
- •Задача 3.1.12
- •Решение
- •Задача 3.1.13
- •Решение
- •Задача 3.1.14
- •Решение
- •Механический смысл первой и второй производной
- •Доказательство
- •Следствие
- •3.1.11. Дифференциалы высших порядков.
- •Определение 3.1.8
- •Формула второго дифференциала
- •Доказательство
- •Задача 3.1.15
- •Решение
- •Задача 3.1.16
- •Решение
- •3.1.12. Теоремы Ферма, Ролля, Лагранжа. Правила Лопиталя
- •Теорема Ферма
- •Доказательство
- •Следствие
- •Теорема Ролля
- •Доказательство
- •Теорема Лагранжа.
- •Доказательство
- •Правило Лопиталя
- •Доказательство
- •Задача 3.1.17
- •Решение
- •Задача 3.1.18
- •Решение
- •Задача 3.1.19
- •Решение
- •3.1.13. Формула Тейлора и ее применение
- •Многочлен Тейлора
- •Определение 3.1.9
- •Теорема 3.1.2
- •Доказательство
- •Формулы Тейлора и Маклорена
- •Определение 3.1.9
- •Теорема 3.1.3
- •Доказательство
- •Определение 3.1.10
- •Формула Маклорена для основных элементарных функций
- •Задача 3.1.20
- •Решение
- •Задача 3.1.21
- •Решение
- •Применение формул Тейлора и Маклорена
- •Задача 3.1.22
- •Решение
- •Задача 3.1.23
- •Решение
- •Задача 3.1.24
- •Решение
- •3.2. Исследование функций с помощью производных
- •3.2.1. Исследование функций с помощью первой производной
- •Определение 3.2.1
- •Определение 3.2.2
- •Необходимое условие экстремума
- •Доказательство
- •Следствие
- •Определение 3.2.3
- •Достаточное условие экстремума
- •Доказательство
- •Задача 3.2.1
- •Решение
- •Задача 3.2.2
- •Решение
- •Чтобы исследовать функцию на экстремум необходимо:
- •Задача 3.2.3
- •Решение
- •3.2.2. Исследование функций с помощью второй производной. Точки перегиба
- •Определение 3.2.4
- •Определение 3.2.5
- •Теорема 3.2.1
- •Доказательство
- •Теорема 3.2.2
- •Доказательство
- •Определение 3.2.6
- •Теорема 3.2.3
- •Чтобы найти точки перегиба графика функции нужно:
- •Задача 3.2.4
- •Решение
- •Задача 3.2.5
- •Решение
- •3.2.3. Асимптоты графика функции.
- •Определение 3.2.7
- •Задача 3.2.6
- •Решение
- •Определение 3.2.8
- •Теорема 3.2.3
- •Доказательство
- •Задача 3.2.7
- •Решение
- •3.2.4. Наибольшее и наименьшее значения непрерывной на замкнутом промежутке функции
- •Задача 3.2.8
- •Решение
- •3.2.5. Элементы дифференциальной геометрии плоских кривых
- •Пример 3.2.8
- •Решение
- •Пример 3.2.9
- •Решение
- •Касательная к пространственной кривой и нормальная плоскость
- •Пример 3.2.10
- •Решение
- •Дифференциальные характеристики плоских кривых
- •Определение 3.2.9
- •Определение 3.2.10
- •Определение 3.2.11
- •Пример 3.2.11
- •Решение
- •Пример 3.2.12
- •Решение
При этом следует понимать, что дифференцируя внешнюю функцию (степенную или косинус), нельзя менять ее сложный аргумент. Используя таблицу производных, получим
y′ = 12 cos−12 (3x − 2) (−sin(3x − 2)) 3 .
Упростим полученное для производной выражение |
|||||
y |
′ |
|
3sin(3x −2) |
|
|
= − 2 cos(3x −2) . |
|||||
|
ЗАМЕЧАНИЕ
Производная степенной функции y = x очень часто встречается в задачах. Рекомендуем ее запомнить ( x )′ = 2 1 x .
Производная степенной функции y = 1x очень часто встречается в задачах. Рекомендуем ее
|
1 |
′ |
1 |
|
|
запомнить |
|
|
= − |
|
. |
|
x2 |
||||
x |
|
|
|
Задача 3.1.3
Вычислить производную функции y = |
|
x |
ctg x |
|
|
|
|
. |
|
arcsin 2x |
Решение
Заданная функция называется показательно-степенной. Прежде чем вычислять ее производную, запишем эту функцию, используя основное логарифмическое тождество y = eln y . Получим
|
x ctg x |
|
|
ln |
|
|
|
|
|
||
y = e arcsin 2x |
. |
Вынося показатель степени за знак логарифма, и раскрывая логарифм частного, полученное выражение можно записать в виде: y = ectg x (ln x−ln arcsin x).
Тогда, дифференцируя его по правилу дифференцирования сложной функции, получим
y′ = ectg x (ln x−ln arcsin x) (ctg x (ln x −ln arcsin x))′ =
|
|
= ectg x (ln x−ln arcsin x) |
|
|
|
|
|
||
|
1 |
|
1 |
|
1 |
|
1 |
|
|
− |
(ln x −ln arcsin x)+ ctg x |
− |
|
|
. |
||||
sin 2 x |
|
arcsin x |
|
|
|||||
|
x |
|
|
1 − x |
2 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3.1.6. Уравнение касательной к кривой. Угол между кривыми.
Уравнение касательной
Если функция y = f (x) дифференцируема в точке x0 , то уравнение касательной к графику этой функции в точке с абсциссой x0 имеет вид
y = f ′(x0 ) (x − x0 )+ f (x0 ).
16
Доказательство
Было доказано, что производная дифференцируемой в точке x0 функции y = f (x) равна угловому коэффициенту касательной, проведенной к графику функции в точке с
абсциссой |
x0 . Следовательно, если записать уравнение касательной в виде |
y = kx +b , |
||||||||||||||||||||||||
то k = f ′(x0 ). Тогда уравнение примет вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y = f ′(x0 ) x +b . |
|
|
(x0 , f (x0 )). |
|||||||||||
Параметр |
b определим, |
учитывая, что касательная проходит через точку |
||||||||||||||||||||||||
Подставив в уравнение касательной x = x0 , y = f (x0 ), получим |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (x0 )= f ′(x0 ) x0 +b . |
|
|
|
|
|
|
||||||||
Из этого соотношения |
|
следует, что b = f (x0 )− f ′(x0 ) x0 |
и уравнение |
касательной |
||||||||||||||||||||||
примет вид: |
|
|
|
|
|
|
|
y = f ′(x0 ) (x − x0 )+ f (x0 ). |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Задача 3.1.4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Напишите уравнение касательной к графику функции |
y = ex в точке с абсциссой |
|||||||||||||||||||||||||
x0 = 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Решение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Уравнение касательной запишем в виде: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
f ′(x)= (ex )′ = ex , |
y = f ′(x0 ) (x − x0 )+ f (x0 ). |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
Поскольку |
f ′(x0 )= e0 =1, |
f (x0 )= e0 =1 , |
то касательная |
к графику |
||||||||||||||||||||||
заданной функции в точке x0 = 0 задается уравнением y = x +1. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
Задача 3.1.5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Найдите угол между кривыми y = |
1 |
и y = x |
в точке их пересечения. |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Углом между кривыми, пересекающимися в точке с абсциссой x0 , |
называется угол |
|||||||||||||||||||||||||
между их касательными, |
проведенными в этой точке. Поскольку уравнение |
1 |
= |
x |
||||||||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
имеет один корень x0 =1 , то кривые пересекаются в точке с абсциссой x0 =1. |
|
|||||||||||||||||||||||||
Напомним, |
что |
угол |
|
между прямыми, |
заданными уравнениями |
y = k1x + b1 |
и |
|||||||||||||||||||
y = k2 x + b2 , определяется по формуле |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
tg ϕ = |
|
|
k2 −k1 |
. |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ k |
k |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
′ |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Так как |
|
= − |
|
|
, то угловой коэффициент k1 касательной к графику функции |
|||||||||||||||||||||
|
x |
2 |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
y = |
1 |
в точке абсциссой |
|
x |
0 |
=1 равен: k = −1 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
17