2. Обратный ход метода Гаусса.

Из последнего уравнения находим x4 : x4 = 0 . Затем получа-

Задача 8.2

Найти общее решение и фундаментальную систему решений

Решение задачи

21

вестные будут перенесены в правую часть, выберем их таким образом, чтобы оставшиеся образовывали верхнетреугольную матрицу. В данном случае в качестве свободных неизвестных удобно взять любые три неизвестные из набора {x2 , x3, x4 , x5}. Пусть это

матричной форме решение системы выглядит так:

Здесь фундаментальная система состоит из трёх решений:

22

Справочный материал к задаче 9

Разложить вектор x по векторам p , q и r означает найти такие числа α , β и γ , что x =α p + β q +γ r . В матричном виде это условие можно записать так:

Следовательно, коэффициенты разложения α , β , γ находятся

из системы уравнений

p1α +q1β +r1γ = x1p2α +q2β +r2γ = x2 ,p3α +q3β +r3γ = x3

где

pr ={p1; p2; p3}, q ={q1; q2; q3}, r ={r1; r2; r3}, x ={x1; x2; x3}.

Разложение единственно, если векторы p , q и r линейно

независимы. В противном случае определитель системы окажется равным нулю, и решений системы не будет.

Задача 9

Решим эту систему уравнений методом Крамера. Вычислим определитель системы.

23

11 0

1−1 2 = (×)

−2 0 3

Разложим его по элементам первой строки

= −1 3 −0 2 −(1 3 −(−2) 2)= −3 −3 −4 = −10 .

Определитель отличен от нуля, то есть векторы линейно независимы, и разложение единственно.

Вспомогательные определители:

Таким образом, получено разложение

x = 0.9 p +0.1q +0.6 rr.

Справочный материал для задач 10–12

Вектором называется направленный отрезок. Обозначение: a . Он характеризуется своей длиной (или модулем) (обозначение: ar ) и направлением. Если известны точки A и B — начало

24

→

и конец вектора, то вектор можно обозначить AB . Вектор называется свободным, если его начало можно расположить в любой точке. При параллельном переносе свободный вектор не изменяется. Именно о таких векторах ниже идёт речь.

Векторы называются коллинеарными, если они лежат на параллельных прямых или на одной прямой. Обозначение: ar|| b .

Векторы считаются равными, если они имеют одинаковую длину, коллинеарны и имеют одинаковое направление (сонаправлены).

Векторы называются компланарными, если они лежат в одной плоскости или в параллельных плоскостях.

Нулевым вектором называется вектор нулевой длины. Его на-

правление не определено. Обозначение: 0 .

Сложение векторов выполняется по правилу треугольника или по правилу параллелограмма (рис. 5).

Аналогично выполняется вычитание векторов (рис. 6).

ar

Рис. 6.

Сложение векторов обладает свойствами:

1.ar+b = b +ar

2.(ar+br)+cr = ar+(b +cr)

Умножение вектора a на число α увеличивает длину вектора в α раз. Направление вектора остается прежним, если α > 0 , и меняется на противоположное, если α < 0 .

25

Свойства умножения вектора на число: 1. αar = arα

2. α(β ar)= (α β)a

3. α (ar +br)=α ar +α b , (α + β)a =αa + β ar

Векторы a и b коллинеарны тогда и только тогда, когда су-

ществует такое число α =/ 0 , что ar =αb . Если αar = 0r , то α = 0 или ar = 0 .

Если известны координаты начала вектора A(ax ;ay ;az ) и

конца вектора B(bx ;by ;bz ), то координаты вектора вычисляются как разность координат конца и начала

→ ={ − − − }

AB bx ax;by ay ;bz az .

Координаты нулевого вектора — нулевые: 0 ={0;0;0}.

При сложении векторов складываются их соответствующие координаты, а при умножении на число все координаты умножаются на это число

ar+b ={ax +bx;ay +by ;az +bz };

αa ={α ax;αay ;αaz }

( a ={ax ;ay ;az }, b ={bx ;by ;bz }).

Из приведённых выше свойств следует, что координаты коллинеарных векторов пропорциональны, то есть

ar|| br ax = ay = az . bx by bz

Длину вектора можно найти, зная его координаты ar = ax2 +a2y +az2 .

→

Расстояние между точками A и B равно | AB | .

Вектор единичной длины, сонаправленный с вектором a , называется ортом вектора a . Его можно найти, разделив вектор

26

a на его длину. Координаты орта вектора являются направляющими косинусами этого вектора

ar0 = aar ={cosα;cos β;cosγ},

то есть косинусами углов, которые вектор составляет с положительными направлениями осей координат (рис. 7).

27

Свойства скалярного произведения векторов:

1.ar b = b ar;

2.(ar+br) cr = ar cr+b cr ;

3.(αar) br =α(ar b );

4.ar ar = ar2 .

Из определения скалярного произведения следует условие

перпендикулярности векторов a и b ar b = 0 .

Физическое приложение скалярного произведения: если под

действием силы F происходит перемещение материальной точки из точки A в точку B , то работа этой силы по перемещению

→ →

A = F AB .

Проекцией точки M на ось l называется основание перпендикуляра, опущенного из точки M на эту ось.

Проекцией вектора a на ось l называется длина отрезка, заключённого между проекциями конца и начала вектора a на эту ось, причём, если угол между вектором a и осью l — острый, то длина эта берётся с положительным знаком, а если тупой, то с отрицательным (рис. 9). Обозначение: прl a .

28

ся проекция на ось, на которой лежит вектор. Проекцию можно найти через скалярное произведение

прbr ar = ar| brb| .

Тройка векторов a , b , c называется правой, если, проведя эти векторы из одного начала и наблюдая из конца третьего вектора, мы увидим, что кратчайший путь поворота от первого вектора ко второму — против часовой стрелки. В противном случае тройка векторов называется левой. (Также можно воспользоваться правилом правого винта: если ввинчивать винт с правой резьбой в направлении третьего вектора, то вращение его будет от первого вектора ко второму.)

Векторным произведением двух векторов a и b называется вектор c , обладающий свойствами:

1. длина вектора c равна площади параллелограмма, построен-

ного на векторах a и b как на сторонах, то есть

2. вектор c перпендикулярен векторам a и b ; 3. векторы a , b , c образуют правую тройку.

Обозначение: ar×b или [ar,b]. Свойства векторного произведения:

1.ar×b = −b ×ar ;

2.ar×ar = 0r ;

29

3.αar×br = (αar)×b = ar×(αb );

4.ar×(br+cr)= ar×b +ar×cr .

bx by bz

=ir(aybz −azby )− rj(axbz −azbx )+kr(axby −aybx ).

Спомощью векторного произведения можно вычислить площадь параллелограмма и треугольника, построенных на векторах

a и b как на сторонах (рис. 10)

Рис. 10.

Физическое приложение векторного произведения: если к ма-

териальной точке A приложить силу Fr , то момент этой силы относительно точки B

→ → →

M = BA×F .

Смешанное произведение трёх векторов a , b и c определя-

ется как скалярное произведение вектора ar×b на вектор c . arbrcr = (ar×b ) cr = ar (b ×cr).

30

С помощью смешанного произведения можно вычислить объём параллелепипеда и объём тетраэдра, построенных на векто-

рах a , b , c как на рёбрах (рис. 11)

Рис. 11.

Если тройка векторов a , b , c — правая, то их смешанное произведение будет положительным, если левая — отрицательным.

Смешанное произведение не меняется, если в нём переставлять множители по кругу, и меняет знак на противоположный, если переставить два соседних множителя

arbcr = bcrar = crarb = −arcrb = −barcr = −crbar.

Ненулевые векторы a , b , c компланарны тогда и только то-

гда, когда arbcr = 0 . В частности, если четыре точки A, B , C , D

→ → →

лежат в одной плоскости, то AB AC AD = 0 .

31