в) образует с осями координат углы, соответственно равные π4 ,

π3 и 2π3;

г) перпендикулярна прямой L1 : x−−31 = y 4+1 = z +111 и пересе-

кает её.

Решение

Найдём точку пересечения прямой и плоскости. Для этого уравнения прямой запишем в параметрическом виде

x = 2t

y = −t +2z = 3t −6

и подставим в уравнение плоскости:

2 2t −(−t + 2)+3t −6 = 0 , t =1.

Подставим полученное значение t в уравнения прямой и найдём точку пересечения прямой и плоскости

M (2;1; −3).

б) Проведём плоскость α через точку M и прямую L1 . Искомая прямая будет лежать в этой плоскости и пересечёт прямую L2 в точке M1 , в которой L2 пересечётся с плоскостью α (рис. 19).

55

L2

Рис. 19.

Найдём нормальный вектор плоскости α . Для этого выберем два произвольных вектора, которые параллельны этой плоскости. Пусть первый из них — это направляющий вектор прямой L1

l1 ={1; 2; 2}.

Начало второго вектора расположим в точке M , а конец — в произвольной точке B на прямой L1 (поскольку обе точки лежат

в плоскости α ). Точка B(2; 0;1) находится непосредственно из

→

уравнения прямой. Получаем координаты вектора MB :

→

MB = {0; −1; 4}.

Теперь, зная координаты двух векторов, параллельных плоскости, мы можем найти вектор нормали этой плоскости как их векторное произведение

а затем и написать уравнение самой плоскости

10(x −2)−4(y −1)−1(z −(−3))= 0

или

10x −4 y − z −19 = 0

56

Осталось найти точку M1 . Запишем параметрические урав-

в) Косинусы углов, которые направляющий вектор прямой составляет с осями координат, являются направляющими косинусами этого вектора, то есть его можно записать так:

Зная точку, через которую проходит прямая, и направляющий вектор этой прямой, мы можем написать уравнения прямой

57

L1

α

M1

M

L2

Рис. 20.

Проведём плоскость α через точку M перпендикулярно прямой L1 . Нормальный вектор n плоскости α коллинеарен направляющему вектору прямой L1

n ={−3;4;1},

и мы можем написать уравнение плоскости α

−3(x −2)+ 4(y −1)+1(z +3)= 0

или

−3x + 4 y + z +5 = 0 .

Проекцию M1 найдём как точку пересечения прямой L1 и

плоскости α . Для этого запишем параметрические уравнения прямой

x = −3t +1y = 4t −1

z = t −11

иподставим их в уравнение плоскости

−3(−3t +1)+4(4t −1)+t −11 +5 = 0 ,

t = 12 ,

x = − 12 , y =1, z = −10 12 ,

58

Осталось провести прямую через точки M и M1

59