Диагональная матрица может содержать ненулевые элементы только на главной диагонали (рис. 1в).
Справочный материал для задачи 1
Каждой квадратной матрице A можно поставить в соответствие число, которое называется ее определителем. Обозначение: A или det A .
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
a |
|
(оп- |
Определитель матрицы второго порядка A = 11 |
12 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a22 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a21 |
|
|
|
ределитель второго порядка) вычисляется по правилу |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
det A = |
|
a11 |
a12 |
|
= a a |
22 |
−a a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
a21 |
a22 |
|
11 |
21 |
12 |
|
|
|
|
+
Определитель квадратной матрицы третьего порядка
a |
a |
11 |
12 |
A = a21 |
a22 |
|
a32 |
a31 |
a13
a23 (определитель третьего порядка) вычисля- a33
ется по формуле
a11 a12 a13
det A = a21 a22 a23 = a11a22a33 +a12a23a31 +a13a21a32 − a31 a32 a33 −a31a22a13 −a32a23a11 −a33a21a12.
Схематично правило вычисления определителя третьего порядка показано на рис. 2.
det A
Рис. 2.
4
Определитель квадратной матрицы n -го порядка (n ≥ 4) вы-
числяется с использованием свойств определителей и по теореме разложения.
Основные свойства определителей
1.Определитель не меняется при транспонировании матрицы.
2.Если в определителе поменять местами две строки (столбца), то определитель поменяет знак.
3.Определитель с двумя пропорциональными (равными) строками (столбцами) равен нулю.
4.Если в определителе строка (столбец) состоит из нулей, то определитель равен нулю.
5.Общий множитель у элементов какой-либо строки (столбца) можно вынести за знак определителя.
6.Определитель не изменится, если ко всем элементам одной строки (столбца) прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца), умноженные на одно и то же число.
7.Определитель диагональной, верхнетреугольной и нижнетреугольной матриц равен произведению диагональных элементов.
8.Определитель произведения квадратных матриц равен произведению их определителей.
Минором элемента определителя aij называется определи-
тель, который получится из данного определителя вычеркиванием i -й строки и j -го столбца. Обозначение: Mij .
Алгебраическим дополнением Aij элемента aij определите-
ля называется число, которое вычисляется по правилу
Aij = (−1)i+ j Mij , где Mij – соответствующий минор.
Теорема разложения. Определитель равен сумме произведений элементов какой-либо строки (столбца) на их алгебраические дополнения.
Перед применением теоремы разложения рекомендуется предварительно преобразовать определитель так, чтобы в какойто строке или столбце все элементы, кроме одного, равнялись
5
нулю. Такой определитель будет равен ненулевому элементу этой строки или столбца, умноженному на его алгебраическое дополнение.
Задача 1
Вычислить определитель
|
1 |
2 |
−1 |
3 |
|
|
|
|
|||||
|
0 |
1 |
2 |
4 |
|
. |
|
−1 |
3 |
5 |
6 |
|
|
|
2 |
1 |
0 |
−3 |
|
|
Решение задачи
Прибавим к третьей строке первую, к четвёртой — первую, умноженную на (−2). Все элементы первого столбца, кроме пер-
вого элемента, становятся равными нулю. Применяя теорему разложения к этому столбцу, понизим порядок определителя.
1 |
2 −1 |
3 |
|
(−2) |
|
1 |
2 −1 |
3 |
|
|||
|
|
|
||||||||||
0 |
1 |
2 |
4 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
= |
1 |
2 |
4 |
= |
||||||
−1 |
3 |
5 |
6 |
|
|
|
0 |
5 |
4 |
9 |
|
|
2 |
1 |
0 |
− 3 |
|
|
|
0 |
−3 |
2 |
−9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=1 (−1)1+1 |
1 |
2 |
4 |
= (×) |
5 |
4 |
9 |
||
|
− 3 |
2 |
− 9 |
|
Аналогично превратим часть элементов последней строки в нулевые. Для этого прибавим к третьей строке вторую, а затем ко
второму столбцу — первый, умноженный на (−3). Применяя тео-
рему разложения к последней строке полученного определителя третьего порядка, получим
|
1 |
2 |
4 |
|
|
|
1 2 |
4 |
|
|
|
1 |
−1 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
(×) = |
5 |
4 |
9 |
|
= |
|
5 4 |
9 |
|
= |
|
5 |
−11 |
9 |
|
= |
|
−3 |
2 |
−9 |
|
|
|
2 6 |
0 |
|
|
|
2 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
(− |
|
3) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6
= 2 (−1)3+1 |
|
−1 |
4 |
|
= 2(−1 9 − (−11) 4)= 70 . |
|
|
||||
|
|
−11 |
9 |
|
|
Справочный материал для задачи 2
Суммой матриц Am×n и Bm×n называется матрица Cm×n ,
элементы которой вычисляются по формуле: |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
cij = aij |
+bij , |
i =1, 2, ..., m и |
j =1, 2, ..., n . |
|
|||||||||||
Для суммы матриц используют обозначение: |
C = A + B . |
|
|||||||||||||||
Произведением матрицы Am×n на число α называется мат- |
|||||||||||||||||
рица Cm×n , элементы которой вычисляются по формуле: |
|
||||||||||||||||
|
|
cij |
=αaij , i =1, 2, ..., m и |
j =1, 2, ..., n . |
|
||||||||||||
Обозначение: C =α A . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
Задача 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Даны матрицы A и B . Найти матрицу C . |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
−2 |
−1 |
3 |
|
|
1 |
−3 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
B = |
|
3 |
2 |
|
, |
C = 3A + BT . |
|
|||||||||
A = |
|
|
|
, |
|
|
|
||||||||||
|
|
1 |
0 |
−4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
6 |
−4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
Решение задачи |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
− |
2 |
−1 |
|
3 |
|
1 |
− |
3 T |
|
|
|
||
|
3A + BT = |
|
|
3 |
|
2 |
|
= |
|
|
|||||||
|
3 |
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
1 |
0 |
|
−4 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
− |
4 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
−6 −3 |
|
9 |
|
1 3 |
|
6 |
−5 0 |
|
15 |
||||||||
= |
|
|
|
+ |
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
. |
||
|
3 |
0 |
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
0 2 −16 |
|
||||
|
−12 |
−3 2 |
4 |
|
|||||||||||||
|
Справочный материал для задачи 3 |
|
|
||||||||||||||
Произведением матрицы Am×l |
на матрицу Bl×n |
называется |
|||||||||||||||
матрица Cm×n , элементы которой вычисляются по формуле:
l
cij = ∑aikbkj , i =1, 2, ..., m и j =1, 2, ..., n .
k =1
7