
- •РАБОЧАЯ ТЕТРАДЬ
- •Справочный материал для задач 1–8
- •Справочный материал для задачи 1
- •Основные свойства определителей
- •Задача 1
- •Решение задачи
- •Справочный материал для задачи 2
- •Задача 2
- •Решение задачи
- •Справочный материал для задачи 3
- •Задача 3
- •Решение задачи
- •Справочный материал для задачи 4
- •Задача 4
- •Решение задачи
- •Справочный материал для задачи 5
- •Задача 5
- •Решение задачи
- •Справочный материал для задачи 6
- •Задача 6
- •Решение задачи
- •Задача 7.1
- •Справочный материал
- •Решение задачи
- •Задача 7.2
- •Справочный материал
- •Решение задачи
- •Задача 7.3
- •Справочный материал
- •Элементарные преобразования в расширенной матрице:
- •Решение задачи
- •Справочный материал к задаче 8
- •Задача 8.1
- •Решение задачи
- •Задача 8.2
- •Решение задачи
- •Справочный материал к задаче 9
- •Задача 9
- •Решение задачи
- •Справочный материал для задач 10–12
- •Задача 10.1
- •Решение задачи
- •Задача 10.2
- •Решение задачи
- •Задача 10.3
- •Решение задачи
- •Задача 11.1
- •Решение задачи
- •Задача 11.2
- •Решение задачи
- •Задача 12
- •Решение задачи
- •Справочный материал для задачи 13
- •Задача 13.1
- •Решение задачи
- •Задача 13.2
- •Решение задачи
- •Задача 13.3
- •Справочный материал для задачи 14
- •Задача 14.1
- •Решение задачи
- •Задача 14.2
- •Решение задачи
- •Задача 14.3
- •Решение
- •Справочный материал для задач 15, 16
- •Задача 15.1
- •Решение задачи
- •Задача 15.2
- •Решение
- •Задача 16.1
- •Решение задачи
- •Задача 16.2
- •Решение
- •РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА
- •Основная
- •Дополнительная
РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА
Основная
1.Бугров Я.С., Никольский С.М. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии. М., Наука, 1984.
2.Воеводин В.В. Линейная алгебра. М., Наука, 1980.
3.Головина Л.Н. Линейная алгебра и некоторые ее приложения.
М., Наука, 1985.
4.Ильин В.А., Позняк Э.Г. Линейная алгебра. М., Наука, 1987.
5.Сборник задач по математике для втузов. Под ред. Ефимова А.В. М., Наука, ч. 1, 1981.
Дополнительная
6.Коноплев В.А., Федотова С.П. Элементы алгебры и аналитической геометрии. Ч. 1, 2. Мет. указ. к практ. зан. Л.,
изд. ЛКИ, 1986.
60

Задача 1. Вычислить определитель.
Задача 2. Даны матрицы A и B . Найти матрицу C .
Задача 3. Найти произведение матриц A B . Существует ли произведение B A ? Почему?
Задача 4. Найти обратную матрицу для матрицы A . Сделать проверку. Задача 5. Решить матричное уравнение.
Задача 6. Найти ранг матрицы.
Задача 7. Решить систему линейных уравнений:
1)по формулам Крамера;
2)с помощью обратной матрицы;
3)методом Гаусса.
Задача 8. Найти общее решение и фундаментальную систему решений для системы уравнений.
Задача 9. Написать разложение вектора x по векторам p , q и r . Задачи 10-16. Условия приведены в задании.
61
ВАРИАНТ 1
|
|
−1 6 5 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−4 5 1 |
|
|
|
|
|
−7 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
−2 8 6 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T |
|
|||||||||||||||||||||
1. |
|
|
|
|
2. A = |
, B = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
2 16 7 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10 −5 , C = B −2 A |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 −3 8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
−3 9 3 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 16 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
−2 3 1 |
|
1 2 |
|
|
3 5 |
|
|||||||||||||||||
3. A = (1 −1 2 3), B = |
|
3 6 |
|
|
|
|
X |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
5 |
− |
|
4. |
A = |
3 6 2 |
|
5. |
|
|
|
|
= |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 2 1 |
|
3 4 |
|
|
5 9 |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
− |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
1 1 1 1 |
2x −y−z= 4 |
|
|
|
x1 − 2x2 +3x3 −4x4 = 0 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
6. |
|
1 2 1 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−4x2 |
+ 5x3 |
+7x4 = 0 |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
7. |
3x + 4 y − 2z =11 |
8. 2x1 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
3 1 3 1 |
|
3x − 2 y + 4z =11 |
|
|
|
|
6x |
−12x |
2 |
+17x |
3 |
|
−9x |
4 |
= 0 |
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
0 1 1 0 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7x1 |
−14x2 |
+18x3 |
+17x4 = 0 |
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
={−2 ;4;7 }, |
|
|
={0;1;2 }, |
|
={1;0;1} и |
|
|
|
={−1;2;4 } |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
9. |
|
x |
q |
r |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
p |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
10. Вычислить проекцию вектора |
|
|
|
= {−3;1;3 } |
на направление векто- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
a |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ра |
|
, где A( 7;3; −2 ) ; |
B ( 8;2; −2 ) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
AB |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
30o , |
|
|
|
= 6 , |
|
=1 . |
|
|||||||||||||||||||||||
11. Векторы |
a |
и |
b |
образуют угол в |
|
a |
b |
Найти длину |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
, если |
|
= (7 |
|
−2 |
|
) ×(2 |
|
+3 |
|
) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
вектора |
p |
p |
a |
b |
a |
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
12. Лежат ли точки A( 5;7; −2 ) , B ( 3;1; −1) , C ( 9; 4; −4 ) |
|
и D (1;5;0 ) в |
одной плоскости?
13. Составить уравнения сторон треугольника, зная одну из его вершин A( 3; −4 ) и уравнения двух высот: 7x −2 y −1 = 0 и 2x −7 y −6 = 0 .
14. Написать уравнение плоскости, проходящей через ось |
Ox и точку |
|||||||||||||||||
M ( 0; −2;3) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
15. |
Составить |
уравнение |
прямой, |
которая |
проходит |
через точку |
||||||||||||
M (1;−2;3) |
перпендикулярно к вектору |
|
={9;−3;−1} и пересекает пря- |
|||||||||||||||
a |
||||||||||||||||||
мую |
x +1 |
= |
y −1 |
= |
z |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
3 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
1 |
|
|
x −13 |
|
y −1 |
|
z − 4 |
|
|||||||
16. |
Принадлежит ли |
прямая |
= |
= |
плоскости |
|||||||||||||
8 |
2 |
3 |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x +2 y −4z +1=0 ?
62

|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ВАРИАНТ 2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
5 |
62 −79 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 1 3 |
|
1 −1 3 |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
0 |
|
2 |
|
|
3 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T |
|
|||||||||||||||||
1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. |
|
A = 0 −1 |
|
2 , B = |
|
2 |
1 |
|
|
0 |
, C = (3A) |
− B |
||||||||||||||||
|
|
|
6 183 |
201 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
0 3 |
|
|
4 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 1 |
− |
1 |
1 1 −1 |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 −1 1 |
|
|
|
|
|
5 −1 2 1 |
2 2 −1 |
|
|
||||||||||||||||||||||
3. A = 2 1 0 |
|
, B |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
= |
2 2 0 1 4. A = |
2 |
−1 2 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
7 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 − |
1 5 4 |
|
|
−1 2 2 |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
3 − |
2 |
|
−1 2 |
|
|
2 −1 3 − 2 4 |
|
|
x |
+ y |
+ 2z = −1 |
|
|
|||||||||||||||||||
5. |
|
|
|
|
|
= |
6. |
4 −2 5 1 7 |
|
|
|
|
− y |
+ 2z = −4 |
|
|
||||||||||||||||||||||
X |
5 − |
4 |
|
|
−5 6 |
|
7. 2x |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 −1 1 8 2 |
|
|
4x |
|
+ y |
+ 4z = −2 |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x1 |
+ 3x2 |
− x3 |
−5x4 |
= 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
4x1 |
+ 6x2 |
+ 2x3 |
− x4 |
|
= 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
8. 2x |
+ 3x |
2 |
−5x |
3 |
− |
14x |
4 |
= 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
10x1 +15x2 + 3x3 |
− 7x4 |
= 0 |
|
|
|
={2; −1;1} и |
|
|
={0; −1;2 } |
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
={6 ;12;−1}, |
|
={1 ;3;0 }, |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
9. |
|
|
x |
q |
r |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
p |
|
|
10. Найти единичный вектор, перпендикулярный векторам a = i + j + 2k
и b = 2i + j +k .
11. Сила F ={2; −4;5} приложена к точке A( 4; −2;3) . Определить момент этой силы относительно точки B ( 3;2; −1) .
12. Какую тройку (левую или правую) образуют векторы a = 7i −3 j +2k ,
b = 3i − 7 j +8k и c = i − j +k ?
13. Составить уравнения сторон треугольника, зная одну его вершину B ( 2; −7) , а также уравнения высоты 3x + y +11 = 0 и медианы
x +2 y +7 = 0 , проведенных из различных вершин.
14. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку M (1;7; −5)
и отсекающей от осей координат положительные и равные отрезки.
15. Составить каноническое уравнение прямой, лежащей в плоскости yOz , проходящей через начало координат и перпендикулярной к прямой
x−+13 = y 2−1 = z 1+1 .
16. Найти угол между прямой
щей через точки A( 2;3; −1) ,
x + y + z − 2 = 0
2x + y − z −1 = 0 и плоскостью, проходя-
B ( 1 ; 1 ; 0 ) , C ( 0; −2;1) .
63
ВАРИАНТ 3
|
|
|
|
|
|
−5 6 10 6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 − 2 |
|
|
|
|
− 4 −1 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
−9 8 8 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T |
|
|
|||||||||||||||||||
1. |
|
|
|
2. A = |
4 3 |
, |
B = |
A + B |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
−8 5 9 5 |
|
|
|
2 3 − |
|
, C = |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
−11 7 |
7 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
− 2 3 0 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
− |
0 |
|
|
1 −3 −1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
, B = |
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
3. A = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4. |
A = − 2 7 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 1 2 −1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
−1 2 |
|
|
3 2 − 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 2 |
|
|
3 0 |
|
|
2 1 4 5 |
3x + 2 y + z = 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
6. |
1 0 1 2 |
7. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
5. |
3 4 |
|
X = |
7 2 |
|
2x + 3y + z =1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 2 4 0 |
|
2x + y + 3z =11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
14x + 35x |
|
|
− 7x |
|
|
|
− |
63x |
|
= 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
8. |
|
|
−10x1 − 25x2 |
+ 5x3 |
+ 45x4 = 0 |
9. |
|
x = {3;1;3}, |
|
|
|
|
|
p = {2;1;0}, |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
26x1 + 65x2 −13x3 −117x4 = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
={1;0;1} |
|
|
|
={4;2;1}. |
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
= {6;0;12 } |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
q |
и |
|
r |
10. |
При |
каком |
|
векторы |
a |
и |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
={-8;13;t} |
будут взаимно перпендикулярны? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
11. Вычислить площадь треугольника, построенного на векторах 3a − |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
b |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
и 2 |
|
− a , если |
|
a |
|
= 3, |
|
|
|
= 4 , угол между векторами a |
и |
|
равен 150o . |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
b |
|
|
|
b |
|
b |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
12. |
|
|
Компланарны |
ли |
векторы |
|
a ={12;14;−21}, |
|
|
|
={−9;36;8} |
и |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
b |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
c ={9;−36;−8} ? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
13. |
|
Через точку пересечения прямых 2x + 5y −8 = 0 |
|
и |
|
|
x − 3y + 4 = 0 |
провести прямую, которая, кроме того: 1) проходит через начало координат; 2) параллельна оси абсцисс; 3) параллельна оси ординат; 4) проходит через точку (4;3) .
14. Написать уравнение плоскости, проходящей через точки M (0;1; 2) и N (2;1;1) параллельно вектору a = {3;0;1}.
15. Составить уравнение прямой, проходящей через точку M (3; − 2;0)
перпендикулярно к прямой |
x +1 |
= |
y |
= |
z − |
2 |
и расположенной в плоско- |
||
|
|
|
|
|
|
||||
2 |
|
−1 |
|
|
|||||
|
|
|
3 |
|
|
сти xOy .
16. Составить уравнение прямой, проходящей через точки пересечения
плоскости |
x − 3y + 2z +1 = 0 с прямыми |
x −5 |
= |
y +1 |
= |
z −3 |
и |
|||||||
5 |
−2 |
|
−1 |
|||||||||||
|
x − 3 |
|
y + 4 |
|
z −5 |
|
|
|
|
|||||
|
= |
= |
. |
|
|
|
|
|
|
|
||||
4 |
− 6 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
64

|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ВАРИАНТ 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
9 |
|
7 9 7 |
|
|
|
|
|
|
2 3 5 |
|
1 |
− 2 |
−1 |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
1. |
|
|
8 6 8 6 |
|
|
2. |
A = |
|
|
C = 2 A +3B |
|
|
|||||||||||||||
|
−9 |
− |
7 9 7 |
|
|
|
|
, |
B = |
|
|
|
|
, |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
−1 2 −4 |
|
4 3 2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
−8 |
− |
6 8 6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
3. A = |
−1 1 1 |
= |
1 1 |
2 1 −1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
1 0 1 , B |
1 3 |
4. A = |
3 1 |
− 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 0 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
0 1 −1 |
|
1 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
5. |
|
|
|
|
3 |
2 |
= |
−1 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
X |
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
2 −1 |
−1 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
1 3 5 −1 |
x |
+ 2 y + 4z = 31 |
|
9x |
+ 21x |
|
−15x |
|
+5x |
|
= 0 |
|||||||||||||||
6. |
|
2 −1 |
− |
3 4 |
|
|
|
|
|
29 |
2 |
3 |
4 |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7. 5x + y + 2z = |
8. |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
5 1 |
− |
1 7 |
|
|
3x − y + z =10 |
12x1 |
+ 28x2 |
− 20x3 |
+ 7x4 |
= 0 |
|||||||||||||||
|
|
7 |
7 |
|
9 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
9. |
|
x = {11;5; −3}, |
p = {1;0; 2}, q = {−1;0;1}и |
r |
= {2;5; −3}. |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
10. Доказать ,что точки |
A(1; −1;1), |
B(1;3;1), C(4;3;1), |
D(4; −1;1) являют- |
ся вершинами прямоугольника. Вычислить длину его диагоналей.
11. Вычислить площадь треугольника ABC , вершины которого лежат в точках A(2;3; 4), B(4;3; 2), и C(1;1;1).
12. При каком значении k точки A(1;0;3), B(−1;3; 4), C(1; 2;1), и D(k; 2;5) лежат в одной плоскости?
13. Написать уравнение прямой, проходящей через точку пересечения |
||||||||||||||||||||||
прямых 2x − y +3 = 0 и 3x + 5y +11 = 0 и через точку A(2;1). |
|
|||||||||||||||||||||
14. Даны координаты вершин тетраэдра |
A(2;0;0), |
|
|
B(5;3;0), C(0;1;1), |
||||||||||||||||||
|
D(− 2; − 4;1). Найти двугранный угол между гранями ABC и ABD . |
|
||||||||||||||||||||
15. При каком значении λ прямые |
x +2 |
= |
y −1 |
= |
z |
|
|
x + y − z = 0 |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|||||||||||||
λ |
−2 |
1 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
параллельны? |
|
|
|
|
|
|
x − y −5z −8 = 0 |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A(4;0; −1) |
|
|||||||||
16. Составить уравнение прямой, проходящей через точку |
и |
|||||||||||||||||||||
пересекающей две данные |
прямые |
|
x −1 |
= |
y +3 |
= |
z −5 |
|
и |
|||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
x |
|
y −2 |
|
z +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
3 |
|
|
|||
|
= |
= |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
5 |
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
65

|
|
|
|
|
|
|
ВАРИАНТ 5 |
|
|
|||
|
6 |
8 |
−9 |
−12 |
|
|
3 0 |
|
4 |
1 |
|
|
|
|
|
||||||||||
1. |
4 |
6 −6 |
−9 |
2. |
, C = AT − BT |
|||||||
A = |
−2 1 |
, B = |
− 3 1 |
|||||||||
|
−3 |
− 4 |
6 |
8 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
− 2 |
−3 |
4 |
6 |
|
|
1 3 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 2 |
|
|
|
|
3 2 1 |
2 2 3 |
|
1 3 |
|
2 11 |
||||||||||||||||||||
3. A = |
1 1 |
, |
|
B = |
|
|
|
|
|
4. A = |
1 |
−1 0 |
|
5. |
0 2 |
X |
= |
2 6 |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
0 1 |
|
|
|
|
|
|
5 1 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−1 2 1 |
|
|
|
|||||||||||||||
|
1 3 −1 2 |
|
|
x + 5y − 4z + 5 = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
6. 2 −1 3 5 |
7. 2x − 3y + z − 2 = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
1 10 − |
|
|
|
|
|
|
|
4x + y − 3z + 4 = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
6 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
x + |
4x |
2 |
+ |
2x |
3 |
− 3x |
5 |
= 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
8. 2x1 + 9x2 + 5x3 + |
2x4 + x5 = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
x1 + 3x2 + x3 − 2x4 − 9x5 = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
9. x = {13; 2;7}, p = {5;1;0}, |
q = {2; −1;3} и |
r |
= {1;0; −1}. |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
10. |
|
В прямоугольном треугольнике ABC |
углы при вершинах |
|
A и C |
||||||||||||||||||||||||||||||
равны |
60o |
|
и |
90o , а |
длина |
гипотенузы |
равна |
2. |
Вычислить |
||||||||||||||||||||||||||
( |
|
|
|
+ |
|
|
|
) |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
A |
B |
C |
B |
A |
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
11. |
|
|
Найти |
|
вектор |
|
|
, |
|
зная, |
что |
он |
|
|
перпендикулярен |
векторам |
|||||||||||||||||||
|
|
|
d |
|
|
|
a = {0; −1; 2} и b = {1;3;3}и удовлетворяет условию d (3i − j +2k ) =8 . 12. Вычислить объем треугольной пирамиды с вершинами A(0;0;1),
B(2;3;5), C(6; 2;3), D(3;7; 2).
13. Вычислить координаты вершины ромба, если известны уравнения
двух его сторон: |
x + 2 y = 4 и x + 2 y =10 , и уравнение одной из его диа- |
|||||||
гоналей: y = x + 2 . |
|
|
|
|
M (1;1;1) |
|
||
14. Найти уравнение плоскости, проходящей через точки |
и |
|||||||
N (−1;1; −1) параллельно прямой , |
определяемой точками |
A(5; − 2;3) |
и |
|||||
B(6;1;0). |
|
|
|
|
|
|
|
|
15. При каком значении D прямая |
2x − y +3z + D = 0 |
проходит через |
||||||
|
+3y − z = 0 |
|||||||
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
начало координат? |
|
|
A(3; −1; 4) относительно прямой |
|||||
16. Найти точку , |
симметричную точке |
|||||||
2x − 2 y + z − 3 |
= |
0 |
. |
|
|
|
|
|
|
= |
0 |
|
|
|
|
|
|
2x + y − 2z + 3 |
|
|
|
|
|
|
66

|
|
|
|
|
|
|
|
|
ВАРИАНТ 6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
2 −5 |
1 2 |
|
|
2 − 4 |
|
|
|
|
4 0 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
−3 7 |
−1 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
1. |
|
2. A = |
3 7 |
|
|
|
|
|
= 2 A − B |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
5 −9 2 7 |
, B = |
6 1 − |
|
|
, C |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
4 − |
6 |
1 2 |
|
|
6 −1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
2 |
0 |
|
−2 3 0 1 |
|
|
|
1 2 −3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
1 |
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
3. A = |
|
|
|
, B = |
|
|
|
|
|
4. |
A = |
0 1 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
−1 2 |
|
|
1 1 2 −1 |
|
|
|
|
1 0 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
1 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
5. |
|
−1 |
2 |
−1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
X |
3 |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
−5 |
11 |
−19 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
1 1 |
−1 2 |
x |
− 2 y + 4z = 3 |
3x1 + 4x2 + 3x3 + 2x4 = 0 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
5x |
+ 7x |
|
|
+ 4x |
|
+ 3x |
|
|
= 0 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
6. |
|
2 −1 1 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
3 |
4 |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
7. 2x − 4 y + 3z =1 8. |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
1 10 |
− |
|
3x − y + 5z = 2 |
|
4x1 |
|
+ 5x2 |
|
+ 5x3 |
+ 3x4 |
= 0 |
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
6 1 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5x |
+ 6x |
2 |
|
+ 7x |
3 |
+ 4x |
4 |
= 0 |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
9. |
|
x = {2;7;5}, |
p = {1;0;1}, q = {1; − 2;0} и |
r |
= {0;3;1}. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
10. Даны точки |
A(0; −3; 4), B(2;5; −1) |
и C(− 4; 2; − 2). Вычислить скаляр- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ное произведение векторов 3 |
|
|
|
− 2 |
|
|
|
и |
|
|
|
+ |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
A |
B |
B |
C |
C |
B |
B |
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
11. Найти длину высоты треугольника |
ABC , опущенной из вершины C |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
на сторону AB , если A(2;3; 4), |
B(4;3; 2) |
и C(1;1;1). |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
12. |
|
|
, |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
Какую тройку (правую или левую) образуют векторы a = i − j +k |
b = i + j +k и c = 2i + 3 j + 4k ?
13. Найти вершины прямоугольного равнобедренного треугольника, если дана вершина прямого угла C(3; −1) и уравнение гипотенузы
3x − y + 2 = 0 .
14. Составить уравнение плоскости, проходящей через перпендикуляры, |
|
опущенные из точки A(2;0;1) |
на плоскости x −3y + 2z = 0 и |
2x − y + 2z = 0 .
15. Написать каноническое уравнение прямой, проходящей через точку M (2;1;3), параллельно прямой x = 3 + t , y = 3t , z = 2 −t .
16. Найти угол между прямой, проходящей через точки A(−1;0; −5) и B(1; 2;0), и плоскостью x −3y + z +5 = 0 .
67

|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ВАРИАНТ 7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
−3 |
|
9 |
|
3 |
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 1 0 |
|
|
0 −1 3 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
1. |
−5 8 2 7 |
|
|
2. |
|
|
|
|
, B = |
, C |
= (2B)T + A |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
A = |
− 2 −1 4 |
|
|
2 |
|
− |
1 4 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
4 |
−5 |
− |
3 − |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 6 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
7 |
−8 |
− |
4 |
|
− |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 2 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
5 |
−1 3 1 |
|
|
|
|
−1 3 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
4 −8 −5 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
B = |
|
− |
2 1 1 |
4. A |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
3. A = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
3 0 − 2 |
|
= |
− |
4 7 |
−1 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 0 −1 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
3 5 1 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
5. |
|
−3 1 |
|
|
|
|
|
−8 |
−5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
X |
= |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
2 −1 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
3 −1 3 2 5 |
|
|
|
2x − y + z = 2 |
|
|
|
|
x1 + 3x2 + 2x3 = 0 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x1− x2 + 3x3 = 0 |
||||||||||||||||||||||||
6. |
|
5 −3 2 3 4 |
7. 3x + 2 y + 2z = −2 |
8. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
1 |
− |
3 |
−5 0 |
−7 |
|
|
|
|
x − 2 y + z =1 |
|
|
|
|
3x1 |
−5x2 |
+ 4x3 |
= 0 |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
7 |
− |
5 1 4 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x +17x |
2 |
+ 4x |
3 |
= 0 |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||||
9. |
|
x = {−9;5;5}, |
p = {4;1;1}, |
q = {2;0; −3} и |
r |
= {−1; 2;1}. |
|
|
A(−1; − 2; 4), |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
10. |
|
Треугольник |
|
ABC задан координатами своих вершин |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
B(− 4; − 2;0) |
|
и |
C(3; −2;1). |
Определить его внешний угол при вершине |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
B . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
11. Раскрыть скобки и упростить выражение: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
i ×( j +k |
) − j ×(i +k ) +k ×(i + j +k ) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
12. Вычислить объем параллелепипеда, |
|
построенного |
на векторах |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
a = p −3q + |
r |
, |
b |
= 2 p + q − 3 |
r |
, |
c = p +2q + |
r |
, где |
p, q |
и |
r |
|
— взаимно |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
перпендикулярные орты. |
BC |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
13. |
|
Стороны |
AB |
и |
|
|
параллелограмма |
заданы |
уравнениями |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2x − y +5 = 0 |
и |
|
|
|
x − 2 y + 4 = 0 , |
диагонали |
|
его |
пересекаются в точке |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
M (1; 4). Найти уравнение сторон CD и AD . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
14. Найти уравнение плоскости, |
проходящей через точку M (2; −3;1) па- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
раллельно векторам a = (−3;2;−1) и |
|
= (1;2;3) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
15. Даны вершины треугольника |
|
A(1;0; −1), B(2;1;3), C(0; −1;1). Соста- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
вить уравнение высоты, опущенной из вершины B на сторону AC . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
16. Найти основание перпендикуляра, опущенного из точки |
A(−1;3; 2) на |
плоскость 2x − y + z + 3 = 0 .
68

|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ВАРИАНТ 8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
2 −5 |
4 3 |
|
2. A = 3 − 4 2 |
|
−2 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
1. |
|
|
3 − 4 7 5 |
|
|
C = A − BT |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
, B = |
6 6 , |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
4 −9 8 5 |
|
|
|
|
7 5 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
−3 2 |
−5 3 |
|
|
|
|
|
|
|
−3 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 2 |
1 |
|
|
|
|
|
2 −3 |
|
|
|
|
7 −12 |
|||||||||
3. |
|
A = |
2 |
|
, B = (3 2 1) 4. A = |
|
4 3 − 2 |
5. X |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
−1 |
|
2 |
|
|
= |
− |
4 |
|
7 |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−5 − 4 −1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
0 −3 3 −3 |
|
x +3y + |
4z = 6 |
x1 − 2x2 + x3 + x4 − x5 = 0 |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
2x + x |
|
− x |
|
− x |
|
|
+ x |
|
= 0 |
|
|
|||||||||||||||||||
6. |
|
1 1 0 3 |
|
7. |
|
|
|
2 |
3 |
4 |
5 |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
2x − y − z =1 8. |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
− 2 2 |
− 4 − 2 |
|
x +2 y + |
3z = 5 |
x1 + 7x2 |
−5x3 |
−5x4 + 5x5 |
= 0 |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3x1 − x2 |
− 2x3 |
+ x4 |
− x5 = 0 |
|
||||||||||||||
9. |
|
x = {−5; −5;5}, |
p = {−2;0;1}, |
q = {1;3; −1} и |
r |
= {0; 4;1}. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
10. Найти координаты вектора |
p , коллинеарного вектору q ={3; -4; 0}, |
|||||||||||||||||||||||||||||||
если известно, что вектор p образует с осью Ox тупой угол и |
|
p =10. |
|
11. a ={3; 1; -1}, b ={-2; 1; 4}. Вычислить b ×(a −2i ).
12. Вычислить объем треугольной пирамиды с вершинами A (0; 0; 1),
B (2; 3; 5), C (6; 2; 3) и D (3; 7; 2).
13. Написать уравнение прямой, проходящей через точку M пересечения прямых 2x + y + 6 = 0 и 3x +5 y −15 = 0 и через точку N (1; -2).
14. Найти уравнение плоскости, проходящей через точку M (2; 5; 3) параллельно плоскости x + 2 y −3z + 2 = 0 .
15. При каком значении λ |
прямые |
x |
= |
|
y −1 |
= |
z |
и |
3x + y −5z +1 = 0 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2x + 3y −8z + 3 = 0 |
||||||||||||||
1 |
λ |
|
3 |
|||||||||||||||||||
перпендикулярны? |
|
x |
|
y − 2 |
|
|
z +1 |
|
|
|
|
x +3 |
|
y − 2 |
|
z |
|
|
||||
16. Проверить, что прямые |
|
= |
= |
|
и |
|
= |
= |
пере- |
|||||||||||||
0 |
1 |
|
|
|
|
|
−1 |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
3 |
1 |
|
|
секаются. Найти уравнение плоскости, в которой они лежат.
69

|
|
|
|
|
|
|
|
ВАРИАНТ 9 |
|
|
||||
|
3 |
−5 |
2 −4 |
|
7 |
−4 |
|
−1 4 |
|
|||||
|
|
|
||||||||||||
1. |
−3 |
4 −5 3 |
|
, C = 3B −2 A |
||||||||||
2. A = |
0 |
−3 |
, B = |
−1 2 |
||||||||||
|
−5 |
7 |
−7 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
−8 |
5 − |
6 |
|
|
1 2 |
|
|
6 3 |
|
|||
|
|
|
|
|
1 5 |
3 |
1 |
1 |
1 |
|||||
3. A= 1 2 3 4 |
|
, B = 6 8 2 |
||||||||||||
4. A = |
2 |
−3 1 |
||||||||||||
|
2 1 − 2 3 |
|
1 2 |
−1 |
|
4 1 |
−5 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
3 0 |
1 |
|
|
|
|
3 − 2 |
|
4 −5 |
|
|
1 2 3 |
4 |
|
5 |
|
x + y + z − 3 = 0 |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 3 1 |
−1 |
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
5. |
|
|
|
|
X = |
|
|
|
|
6. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7. 2x + 3y − z = 0 |
|
|||||||||||
−1 1 |
|
− 2 3 |
|
|
|
1 3 8 13 16 |
|
|
x − y + |
3z − 7 = 0 |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 0 |
|
−7 |
−14 |
|
−17 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
x + x |
− 3x |
− x |
= 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
x11− x22 |
+ 2x34 − x45 |
= 0 |
− 4x |
= 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
8. 4x |
− |
2x |
+ 6x |
+ 3x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
2x1 |
+ |
4x2 |
− 2x3 |
+ |
4x4 |
− |
7x5 = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
1 |
|
|
2 |
|
3 |
|
4 |
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
9. x ={13; 2; 7}, |
p ={5; 1; 0}, |
q ={2; -1; 3} и |
|
|
={1; 0; -1}. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
r |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
10. По координатам вершин треугольника |
ABC |
|
A (1; 1; -1), |
B (2; 4; -1) и |
|||||||||||||||||||||||||||||
C (8; 3; -1) выяснить, является ли он прямоугольным, остроугольным или |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
тупоугольным. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
11. Раскрыть скобки и упростить выражение: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
(a + |
|
+c) ×c +(a + |
|
+ c) × |
|
+( |
|
−c) ×a . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
b |
b |
b |
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
12. |
При |
|
каком |
m |
|
векторы |
|
|
, |
|
|
|
|
|
и |
||||||||||||||||||
|
|
a = i + j +mk |
b |
= j +i +(m +1)k |
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
компланарны? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
c = i − j + mk |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
13. В треугольнике ABC даны: |
уравнение стороны AB : 3x + 2 y =12 , |
||||||||||||||||||||||||||||||||
уравнение высоты BM : |
x + 2 y = 4 , уравнение высоты AM : 4x + y = 6 , |
||||||||||||||||||||||||||||||||
где |
M — точка пересечения высот. Написать уравнения сторон |
AC и |
|||||||||||||||||||||||||||||||
BC . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
проходящей через точки A (2; 3; |
-1) |
и |
||||||||||||||||
14. Найти уравнение плоскости, |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
B (1; 5; 3) перпендикулярно плоскости 3x − y + 3z +15 = 0 . |
|
|
|
|
|
15. Через точку M (2; -1; 3) провести прямую, параллельную прямой
x − y + 2z −1 = 03x + 2 y − z + 2 = 0 .
16. Написать каноническое уравнение прямой, которая проходит через точку M (3; -2; -4) параллельно плоскости 3x − 2 y −5z −7 = 0 и пересе-
кает прямую x −3 2 = y−+24 = z 2−1 .
70

|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ВАРИАНТ 10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
7 6 3 7 |
|
|
|
|
|
6 1 −3 , B = |
7 3 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
1. |
|
3 5 7 2 |
|
2. A = |
, C = AT |
|
+ BT |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
5 4 3 5 |
|
|
|
|
|
2 |
|
−1 0 |
|
|
|
|
− |
5 1 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
5 6 5 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
3 2 1 |
|
|
1 2 |
|
|
|
2 |
−1 |
0 |
|
|
2 3 |
|
0 9 |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
B |
= |
1 1 |
4. |
A = |
5 3 −6 5. X |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
3. A = |
|
|
|
|
|
, |
|
|
1 −3 |
|
|
= |
3 0 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
5 1 1 |
|
|
|
0 1 |
|
|
|
|
−1 |
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
2 −1 3 − 2 4 |
|
|
|
|
2x −4 y +9z = 28 |
|
x1 + 2x2 |
|
+ 4x3 −3x4 |
= 0 |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
3x |
+5x |
2 |
|
+6x |
3 |
−4x |
4 |
= 0 |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
4 − |
2 5 1 7 |
|
7. 7x +3y −6z = −1 |
8. |
1 |
|
|
|
|
|
|
= 0 |
|||||||||||||||||||||||||||||
6. |
|
4x |
+5x |
2 |
−2x |
3 |
|
+3x |
4 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 − |
1 1 8 2 |
|
|
|
|
|
7x + |
9 y −9z = 5 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3x1 +8x2 + 24x3 −19x4 = 0 |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
9. x ={-19; -1; 7}, |
p ={0; 1; 1}, |
q ={-2; 0; 1} и |
r |
={3; 1; 0}. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
10. Проверить, будет |
ли |
треугольник |
ABC |
( A(1; 2;3), |
|
B(7;10;3), |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
C(−1;3;1)) прямоугольным. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
11. Раскрыть скобки и упростить выражение: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
(2a + |
|
|
) ×(c −a ) +( |
|
+ c) ×(a + |
|
) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
b |
b |
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A(2; 2; 2), |
|||||||||||||||||||||||||||
12. |
Найти объем |
параллелепипеда |
с |
вершинами в |
|
точках |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
B(4;3;3), C(4;5; 4) и D(5;5;6). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
13. |
Дано |
|
|
уравнение |
|
3x + 4 y −12 = 0 |
|
стороны |
AB |
|
|
|
параллелограмма |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ABCD , |
|
|
уравнение |
|
x +12 y −12 = 0 |
диагонали |
|
|
AC |
|
и |
середина |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
E(−2; 13) |
|
|
стороны BC . Найти уравнения сторон BC , CD и AD . |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
проходящей через точку M (2; −3;5) |
|||||||||||||||||||||||
14. Составить уравнение плоскости, |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
перпендикулярно |
|
линии |
пересечения |
плоскостей 2x + y − 2z +1 = 0 и |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x + y + z −5 = 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
15. |
|
Из |
|
|
начала |
|
координат опустить |
перпендикуляр |
|
|
на |
|
|
прямую |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
x −5 |
= |
|
y − 2 |
= |
z +1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
4 |
|
|
|
|
|
3 |
|
− 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5x −3y + λz +1 = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
16. При каком значении λ плоскость |
|
|
будет парал- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x − 4z −1 = |
0 |
? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
лельна прямой |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y − 3z + 2 = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
71

|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ВАРИАНТ 11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
3 −3 −5 |
|
|
8 |
|
2. A = − 2 1 −5 |
|
|
|
|
|
5 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
1. |
−3 2 4 −6 |
|
, B = |
|
|
|
|
|
|
− AT |
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
3 0 |
, C = 2B |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
−5 |
−7 5 |
|
|
|
4 3 − 2 |
|
|
|
|
|
|
− 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
− 4 3 5 |
−6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 4 |
|
1 |
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
3. A = 3 2 1 2 |
|
, B |
= |
2 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
4. A = |
2 1 |
|
|
− 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
4 1 1 3 |
|
|
|
|
|
1 1 |
|
|
|
2 |
− 2 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
2 2 |
X = |
− 2 |
−10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
5. |
− |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
1 3 |
|
|
|
|
|
|
− 7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
3 2 −1 −3 |
7. |
x + y + z −3 = 0 |
|
|
|
2x1 |
− 4x2 |
+ 5x3 |
+ 3x4 |
|
= 0 |
||||||||||||||||||||||||||
6. |
2 |
−1 3 0 |
|
2x + y −2z −1 = 0 8. |
|
3x |
|
− |
6x |
2 |
+ 4x |
3 |
+ |
2x |
4 |
= 0 |
||||||||||||||||||||||
|
|
4 5 −5 − |
6 |
|
|
x + y −3z +1 = 0 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
+ |
|
= 0 |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
4x |
−8x |
2 |
+17x |
3 |
11x |
4 |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
9. x ={3; -3; 4}, |
|
p ={1; 0; 2}, |
q ={0; 1; 1} и |
|
|
={2; -1; 4}. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
10. Найти работу силы |
f ={4; -1; 1} на перемещении s ={5; 3; -2}. |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
11. |
Вычислить |
|
|
координаты |
|
вектора |
c , |
перпендикулярного |
векторам |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
и образующего тупой угол с осью |
Oy , |
||||||||||||||||||||||||||||
a = 2 j −k |
|
b = −i +2 j −3k |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
если |
c = |
7 . |
что точки A(1; − 2; 2), |
B(1; 4;0), |
C(− 4;1;1) и |
D(−5; −5;3) |
||||||||||||||||||||||||||||||||
12. |
Доказать, |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
лежат в одной плоскости. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ABCD : |
|
AB : |
|||||||||||||||||||
13. |
|
Даны |
уравнения |
сторон |
параллелограмма |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
3x + 4 y −12 = 0 , |
AD : |
5x −12 y −6 = 0 и середина |
|
E(− 2;1) стороны |
BC . Найти уравнения двух других сторон параллелограмма.
14. Написать уравнение плоскости, проходящей через три заданные точ-
ки |
M 1 (1; 2; 0), |
M 2 |
|
|
(2; 1; 1), M 3 (3; 0; 1). |
|
|
|
|
|
|
||||||||
15. Через точку |
A(0; −2;1) |
провести прямую так, чтобы она пересекала |
|||||||||||||||||
две данные прямые |
|
x +1 |
= |
y −1 |
= |
z |
|
и |
x |
|
= |
y +2 |
= |
z |
. |
|
|||
|
|
1 |
−1 |
|
−1 |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
3 |
|
|
1 |
|
|
||||||
16. |
Найти |
расстояние |
от |
точки |
|
A(2;3; −1) |
до прямой |
||||||||||||
2x − 2 y + z + 3 = 0 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
3x − 2 y + 2z +17 = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
72

|
|
|
|
|
|
|
|
ВАРИАНТ 12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
3 |
2 2 |
2 |
|
|
|
− 4 2 −1 |
|
|
0 −2 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
9 −8 5 10 |
|
|
|
|
|
|
|
T |
|
|
||||||||||||
1. |
|
2. A = |
|
−1 0 − 2 |
|
|
|
|
|
|
, C = (2 A) |
− B |
|
||||||||||
5 |
−8 5 8 |
|
|
|
, |
B = |
5 1 3 |
|
|
|
|||||||||||||
|
6 |
−5 4 7 |
|
|
|
3 1 0 |
|
|
|
2 0 |
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
3 1 1 |
1 1 −1 |
|
|
2 1 1 |
|
|
3 4 |
|
|
5 6 |
|||||||||||
3. A = |
2 1 2 |
|
, B = |
2 −1 1 |
4. |
A = |
0 2 1 |
|
|
|
|||||||||||||
5. X |
1 2 |
|
= |
11 16 |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
1 2 3 |
|
|
|
|
|
|
|
3 1 2 |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
1 0 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 3 5 −1 |
2x + 2 y + 2z = 6 |
3x1 + 5x2 + 2x3 = 0 |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
2 −1 − |
3 4 |
|
|
x + 2 y + 3z =1 8. |
4x1+ 7x2 |
+ 5x3 |
|
= 0 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
6. |
7. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
5 1 −1 7 |
|
x + 3y + 6z = 2 |
|
x1 |
+ x2 |
− 4x3 |
|
= 0 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
7 7 9 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x |
+ 9x |
2 |
+ 6x |
3 |
= 0 |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
9. x ={8; 0; 5}, p ={2; 0; 1}, q ={1; 1; 0} и |
|
={4; 1; 2}. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
10. |
Найти скалярное произведение векторов |
p = 2a − |
|
|
|
и q = 2 |
|
+ a , |
|||||||||||||||||||||||||||
b |
|
|
b |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
если a = −i +3 j −7k |
и b = 2i − j +5k . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
11. |
Найти |
площадь |
параллелограмма, |
построенного |
|
на векторах |
|||||||||||||||||||||||||||||
(a + 3 |
|
) и |
(3a + |
|
) , |
если |
|
a |
|
= |
|
|
=1 , а угол между векторамиa и |
|
|
||||||||||||||||||||
b |
b |
|
|
b |
|
b |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
равен 30o .
12. Какую тройку (левую или правую) образуют векторы a = 2i + j −3k , b = i −4 j +k , c = 3i − 2 j + 2k ?
13. Даны вершины треугольника A(2;1), |
B(−1; −1), |
C(3; 2). Составить |
|||||||||
уравнение высоты, опущенной на сторону BC , и медианы, |
проведенной |
||||||||||
к стороне AC . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
14. Плоскость проходит через ось Oz |
и составляет с |
плоскостью |
|||||||||
2x + y − 5z = 0 угол π . Найти её уравнение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4x + z −1 = 0 |
и |
3x + y − z +4 = 0 |
? |
||||||||
15. Пересекаются или нет прямые |
+3 = 0 |
|
|
y +2z −8 = 0 |
|||||||
x −2 y |
|
|
|
|
|||||||
16. Найти проекцию точки M (0;1; 2) на прямую |
x −1 |
= |
|
y |
= |
z +1 |
. |
|
|||
|
1 |
|
|
||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
0 |
|
|
73

|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ВАРИАНТ 13 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
1 |
2 |
−1 1 |
|
|
|
|
|
|
− 4 3 |
−7 1 |
− 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
2 −1 0 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
1. |
|
|
|
|
2. A = |
2 1 , B = |
|
|
C |
= 3A |
+ B |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
−1 1 −2 2 |
|
|
|
1 3 2 |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
1 |
4 |
1 1 |
|
|
|
|
|
|
0 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
0 |
1 2 0 |
|
|
−1 0 |
|
|
|
|
|
−3 2 |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
− 4 |
|
X |
|||||||||||||||||||||||||||
3. A = (5 1 0 −3), B = |
|
4. A = |
|
4 5 1 |
5. |
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 1 |
|
3 1 1 |
|
|
|
2 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 −1 |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 3 −5 2 |
3 |
2x − 4 y + z = 3 |
|
|
|
2x |
|
− x |
|
|
+5x |
|
|
+7x |
|
|
|
= 0 |
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
8 6 |
−7 4 |
2 |
|
|
|
|
2 |
3 |
4 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
6. |
7. |
x |
−5y + 3z = −1 8. |
|
1 |
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
= 0 |
|
|
||||||||||||||||||||
4 3 |
− |
8 2 7 |
4x |
−2x |
2 |
7x |
3 |
+5x |
4 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
4 3 1 2 − |
5 |
|
|
x − y + z =1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
− x |
+ x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x |
|
|
2 |
3 |
|
−5x |
4 |
|
= 0 |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
8 6 |
−1 4 − |
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
9. x ={3; 1; 8}, p ={0; 1; 3}, q ={1; 2; -1} и |
|
={2; 0; -1}. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
10. Найти угол между векторами a + |
|
|
и |
a − |
|
, |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
b |
|
b |
|
если a = 3i − j +2k |
и |
b = i + j −k .
11. Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах a = {2; -1; 5} и b = {2; 3; 6} как на сторонах.
12. Проверить, компланарны ли векторы a = 2i + j −3k , b = i −4 j +k , c = 3i −2 j +2k .
13. Найти проекцию точки M (1; 1) на прямую |
x −2 |
= |
y +1,5 |
. |
1 |
|
|||
|
|
−2 |
14. Написать уравнение плоскости, параллельной оси Oy и проходящей
через точки |
A (-1; 2; 1) и B (3; 0; 2). |
x −1 |
|
y −7 |
|
z −5 |
|
||||||||||||||
15. |
|
Проверить, |
пересекаются ли прямые |
= |
= |
и |
|||||||||||||||
2 |
|
1 |
|
||||||||||||||||||
|
x − 6 |
|
|
y +1 |
|
z |
|
|
|
|
|
4 |
|
||||||||
|
= |
= |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
− 2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
16. |
|
Написать |
уравнение плоскости, проходящей |
|
через |
прямую |
|||||||||||||||
|
x −1 |
= |
y |
= |
z +4 |
|
, перпендикулярно плоскости 3x + y − 2z +5 = 0 . |
|
|
||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
3 |
|
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
74

|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ВАРИАНТ 14 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
1 −1 |
2 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
− 2 3 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 1 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
1. |
|
3 4 |
−1 0 |
2. |
|
A = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 2 A −3B |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
2 1 3 1 |
|
|
|
|
, B = |
|
|
|
|
|
|
|
|
, C |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
−1 2 − |
5 |
|
|
|
|
|
−3 2 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
−5 |
0 |
1 − |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
2 1 1 |
|
|
|
|
3 1 |
|
3 − 4 |
|
5 |
|
|
|
5 4 |
|
|
|
|
|
8 6 |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
B = |
|
2 1 |
|
4. A = |
2 −3 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
3. A = |
3 0 1 |
, |
5. X |
3 2 |
|
= |
−1 − 2 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 −5 −1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
3 1 1 4 x − y + z = 6 |
|
3x |
+ 2x |
2 |
+ x |
3 |
+ 3x |
4 |
+5x |
|
|
= 0 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
6. |
0 4 10 1 7. |
2x + y + z = 3 8. |
|
1 |
+ 4x |
|
+ |
|
|
|
+ |
5 |
|
= 0 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
6x |
2 |
|
3x |
3 |
+5x |
4 |
7x |
5 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ y +2z = 5 |
|
1 |
+ 6x |
|
+ |
5x |
+7x |
+ |
|
|
|
|
= 0 |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
1 7 17 3 x |
9x |
2 |
|
3 |
4 |
9x |
5 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2 2 4 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
9. x ={8; 1; 12}, |
p ={1; 2; -1}, |
q ={3; 0; 2} и |
|
|
={-1; 1; 1} |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
10. |
Даны |
векторы |
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
При каком |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
a = mi + 3 j + 4k |
|
b = 4i + mj − 7k . |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
m векторы a и |
|
перпендикулярны? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
11. |
Вычислить площадь треугольника с вершинами в точках A(2; 2; 2), |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
B(4;0;3) и C(0;1;0). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
12. Проверить будут ли компланарны векторы a = {1;6;5}, |
|
|
= {3; − 2; 4} и |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
b |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
c = {7; −18; 2}. |
|
|
|
|
симметричную точке M (0; −3) относительно прямой |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
13. Найти точку N , |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x −1 |
= |
|
y +1,5 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
1 |
|
|
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Oy и точку |
|||||
14. Написать уравнение плоскости, проходящей через ось |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
M (2; −1;3). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A(1;0; 2), |
|
|
B(− 2;3; −1), C(3; − 2; 4). Со- |
||||||||||||||||||||||||||||||||
15. Даны вершины треугольника |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ставить уравнение медианы из вершины B на сторону AC . |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
16. |
Через прямую |
x = 2t +1 , y = −t + 2 , z = 3t − 2 провести плоскость, |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
параллельную прямой |
|
x |
= |
y −2 |
= |
z +1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
75

|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ВАРИАНТ 15 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
−1 |
|
3 |
1 2 |
|
|
|
|
|
|
|
− 2 |
1 |
|
|
|
7 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
1. |
|
|
−5 8 2 7 |
|
|
2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
, C = 2 AT − BT |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
A = |
5 − |
7 , B |
= |
−2 −1 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
3 |
− |
2 |
−2 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
1 0 |
−1 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
4 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 2 3 |
|
|
|
|
1 1 1 1 |
4. A |
= |
|
|
4 −8 −5 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
3. A = |
− |
2 3 1 |
, B = |
2 3 |
−2 3 |
|
− 4 7 |
|
−1 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
4 2 4 |
|
|
|
|
− 2 −1 5 − |
2 |
|
|
|
|
|
|
−3 5 1 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
5. |
|
|
2 1 |
2 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
X = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
4 3 |
6 9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
6. |
2 −4 3 −3 5 |
|
2x + y + z = 6 5x1 + 6x2 |
− 2x3 |
|
+ 7x4 |
+ 4x5 |
= 0 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
1 |
−2 1 5 3 |
7. |
x − y + z = 5 |
8. |
2x |
+ 3x |
2 |
− x |
3 |
|
+ 4x |
4 |
+ 2x |
5 |
= 0 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ y +2z = 4 |
|
|
1 |
+ |
|
|
|
|
|
|
|
+ x |
+ 6x |
= 0 |
|
|
||||||||||||||
|
|
−2 4 −34 0 |
|
|
|
x |
|
|
5x |
9x |
2 |
− 3x |
3 |
4 |
5 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
9. x ={-9; -8; -3}, |
p ={1; 4; 1}, q ={-3; 2; 0} и |
|
|
={1; -1; 2}. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
10. Найти скалярное произведение векторов |
p = a −2 |
|
и |
q = 2a + |
|
, |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
b |
b |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
если a = 2i −5 j −7k |
, b = 5i + 2 j −5k |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
11. Найти вектор c , |
зная, что он перпендикулярен векторам a = (2;3;−1) |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
и |
|
|
|
) = −6 . |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
b |
= (1;−2;3) и удовлетворяет условию c (2i − j +k |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
12. |
|
Заданы точки |
A(1; 2; − 2), |
B(3; 2; −1), C(0;1; − 2) и |
|
D(3; 2;3). Найти |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
объем тетраэдра ABCD . |
|
|
|
|
|
|
|
|
зная его вершину C(1; 2), |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
13. Составить уравнения сторон треугольника, |
а так же уравнения высоты x − 2 y +1 = 0 и медианы 4x + y + 2 = 0 , проведенных из одной вершины.
14. Из точки P(2; −1;3) опущен на плоскость перпендикуляр, его основа-
ние M (1; 2; 4). Найти уравнение плоскости. |
|
15. Составить уравнение прямой, которая |
проходит через точку |
A(1; −5;3) и образует с осями координат углы, |
соответственно равные |
60o , 45o , 120o .
16. Найдите точку B , симметричную точке A(2;0;1) относительно пря-
мой x 3+1 = −y1 = z 2−1 .
76
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ВАРИАНТ 16 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
1 2 3 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 −3 2 |
|
|
|
|
|
6 1 − 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1. |
|
2 2 1 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2. A = |
1 0 3 , |
|
B = |
4 3 2 |
, C = A E + BT |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
3 1 3 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−8 −3 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
4 4 3 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 7 |
|
−3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 1 1 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
2 7 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
3. A = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, B = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4. A = |
3 9 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 2 1 −2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
3 − |
5 |
|
|
|
|
|
1 5 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
2 −1 |
|
|
|
|
−14 9 |
|
2 3 1 −1 |
|
x + y + z −1 = 0 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 1 4 2 |
|
|
+ 2 y + 3z − 2 = 0 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5. X |
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7. x |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
−5 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 − |
1 |
|
|
1 2 3 − |
1 |
|
x + 3y + 6z −1 = 0 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 − 4 |
−7 |
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
3x |
+ 4x |
2 |
+ x |
3 |
+ 2x |
4 |
+ 3x |
5 |
= 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
8. |
|
|
|
5x1 |
+ |
|
7x2 |
+ x3 |
+ 3x4 |
+ 4x5 |
= 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
+ 5x2 + 2x3 + x4 + 5x5 = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
4x1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
9. x ={-5; 9; -13}, |
p ={0; 1; -2}, |
|
|
q ={3; -1; 1} и |
|
|
={4; 1; 0}. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
r |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
10. Векторы a |
и |
|
|
|
|
|
|
|
образуют угол π . Найти длину вектора a − 2 |
|
, |
ес- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
b |
|
b |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ли |
a |
= 2 , |
|
b |
=1 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
11. |
|
Найти |
|
|
|
площадь |
|
|
параллелограмма, |
|
построенного на векторах |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
(a + 3 |
|
) |
и |
|
|
(3a + |
|
|
) , |
если |
|
a |
|
= |
|
|
=1 , а угол между векторами |
a и |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
b |
|
b |
|
|
b |
|
b |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
равен 30o . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
12. Компланарны ли векторы a ={3;7;2}, |
|
={−2;0;−1}, c ={2;2;1} ? |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
b |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
13. В треугольнике |
ABC даны: уравнение стороны |
AB : 3x − 4 y +5 = 0 , |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
уравнение высоты |
|
|
|
|
AM : |
x + 2 y −10 = 0 и высоты |
BN : |
2x −3y + 4 = 0 . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Составить уравнения двух других сторон треугольника. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
14. |
|
|
Через |
|
|
|
линию |
пересечения |
плоскостей |
4x − y + 3z −1 = 0 |
|
и |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x +5y − z + 2 = 0 |
провести плоскость, проходящую через точку M (1;1;1). |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
15. Написать уравнение перпендикуляра, опущенного из точки A(−1;0;3) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
на прямую |
|
x +1 |
= |
y −1 |
|
= |
z |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
16. |
|
|
Написать |
|
|
уравнение |
|
|
плоскости, |
проходящей |
через |
прямую |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x −1 |
= |
|
y +1 |
= |
z +2 |
|
и перпендикулярной к плоскости 2x + 3y − z = 4 . |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
77

|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ВАРИАНТ 17 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
4 3 −1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
3 −1 |
|
|
−2 1 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
2 1 2 −1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T |
|
||||||||||||||||
1. |
|
|
|
2. A = |
|
|
6 8 , |
B = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
3 1 −1 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−2 |
, C = A −2B |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
− 2 |
|
|
|
−7 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
1 2 |
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
2 1 1 |
|
|
|
2 |
|
1 2 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 −3 |
|
|
|
|
|
|
7 − 4 |
||||||||||||
3. A = |
|
1 2 1 |
|
, B = |
|
−1 |
|
|
|
2 3 4 |
|
|
|
|
|
|
|
X = |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
4. A = |
|
|
|
5. |
− |
1 2 |
|
|
−6 2 |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
1 1 2 |
|
|
|
|
|
1 4 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
3 1 1 4 |
|
|
|
− 2z − 4 = 0 |
|
3x1 |
|
+ 4x2 |
−5x3 |
|
+ 7x4 |
|
= 0 |
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
2x |
− |
3x |
2 |
+ 3x |
3 |
− 2x |
4 |
|
= 0 |
|
|||||||||||||||||||
6. |
2 4 10 1 |
|
|
7. 2 y + z − 3 = 0 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 0 |
|
|||||||||||||||
1 7 17 3 |
|
|
8. 4x +11x |
2 |
−13x |
3 |
+16x |
4 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x − z = 6 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
+ x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
2 2 4 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7x |
|
|
− 2x |
2 |
3 |
+ 3x |
4 |
= 0 |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
9. x ={3; 3; -1}, |
p ={3; 1; 0}, |
q ={-1; 2; 1} и |
|
|
|
={-1; 0; 2}. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
10. Найти, |
при каком t |
векторы |
p = a +t |
|
и q = a −t |
|
будут взаимно |
||||||||||||||||||||||||||||||||
b |
b |
перпендикулярны, если a = 6i + 2 j −3k , b = 3i − 4k .
11. Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах a ={2;−1;5} и b ={2;3;6} как на сторонах.
12. Вычислить объем тетраэдра с вершинами в точках A(1;3;6),
B(2; 2;1), C(−1;0;1), D(− 4;6; −3).
13. Найти уравнения прямых, проходящих через точку M (−1; 2) под уг-
лом 45o к прямой x − 2 y + 3 = 0 .
14. Составить уравнение плоскости, проходящей через начало координат и перпендикулярной к двум плоскостям: 2x − y +5z + 3 = 0 и x + 3y − z −7 = 0 .
15. Даны точки пересечения прямой с двумя координатными плоскостями ( x1, y1,0) и (x2 ,0, z2 ) . Вычислить координаты точки пересечения
этой же прямой с третьей координатной плоскостью.
16. Написать уравнение перпендикуляра, опущенного из точки
M (1;0; −1) на прямую x 1+1 = y2−1 = −z3 .
78

|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ВАРИАНТ 18 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
1 |
|
1 3 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 1 −3 |
−7 8 1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
1. |
|
|
|
2 −3 1 2 |
2. |
|
|
A = |
, C = 3A |
− B |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 0 5 , B = |
0 3 0 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
2 4 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
−1 1 5 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 −4 3 |
|
− 2 1 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
3 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 1 1 |
|
|
|
|
|
3 2 1 |
|
|
6 1 |
−2 −3 |
|||||||||||||||||||||
3. A = |
2 1 |
|
, B = |
|
|
|
|
A = |
1 − 2 1 5. |
X |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
4. |
|
− 4 − 2 |
|
= |
− |
28 −6 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 0 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 2 3 |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
1 |
|
2 3 − 2 |
|
|
|
2x − y + z = 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
6. 2 −3 1 − 4 |
|
− x + 3y − 2z = −3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
9 8 |
− |
2 |
|
|
3x + 2 y − z = 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
1 −12 − |
7 |
− |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
x1 − 2x2 + x3 − x4 + x5 = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2x |
+ x |
2 |
|
− x |
3 |
+ 2x |
4 |
|
− 3x |
5 |
= 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
8. |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
3x |
|
− 2x |
2 |
|
− x |
3 |
+ x |
4 |
|
− 2x |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
1 |
−5x |
|
+ x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
2x |
2 |
3 |
|
− 2x |
4 |
+ 2x |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
9. x ={2; -1; 11}, |
|
p ={1; 1; 0}, |
|
q ={0; 1; -2} и |
|
|
={1; 0; 3}. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
r |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
10. |
|
Заданы |
|
точки |
|
|
A (-2; 4; 0), |
B (1; |
3; |
|
-5), |
|
C (0; -1; 1) |
и вектор |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
Вычислить |
скалярное |
произведение |
векторов |
|||||||||||||||||||||||||||||
a = 3i +10 j −5k |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
− 3 |
|
|
|
и a + 2 |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
A |
B |
A |
C |
A |
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11. Найти орт e , перпендикулярный векторам a ={1;−1;0} и b ={2;1;−1} .
12. Заданы векторы a = {−3;3;3} , |
b |
={2;1;1} |
и |
c = {19;11;17} . Какую |
|
тройку (левую или правую) образуют векторы a , |
|
|
и с ? |
||
b |
13. Даны две вершины треугольника A (5; -2) и B (-4; 1); его высоты пересекаются в точке N (3; 2). Найти координаты третьей вершины C .
14. Через точку M (-5; 16; 12) проведены две плоскости: одна из них содержит ось x , другая - ось y . Вычислить угол между этими двумя
плоскостями.
3y + 2 = 0
15. Указать особенность в расположении прямой x −3y + 2z +1 = 0 .
16. Найти точку B , симметричную точке A (1; 2; 0) относительно плоско-
сти 2x −3y +5z = 5 .
79

|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ВАРИАНТ 19 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
2 1 1 3 |
|
|
|
|
|
− |
2 1 4 |
|
6 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
1 2 1 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
1. |
|
|
|
2. |
|
= |
−3 2 |
, C = 2 A + B |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
1 1 2 5 |
|
|
A = |
−3 7 2 |
, B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 − |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
1 1 1 6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 4 − 2 1 |
4. |
|
|
|
1 − 2 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
3. A = (1 2 −1), B = |
1 2 1 2 |
A = |
−3 7 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−1 2 − 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 1 −3 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
−3 |
2 |
X |
|
|
3 −9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
5. |
|
|
= |
− |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
2 −1 |
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
3 4 −1 5 − 2 |
|
3x + y − 2z = −2 |
|
2x1 + 3x2 − x3 + 5x4 = 0 |
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
1 5 − 2 3 4 |
|
|
|
|
3x |
− x |
|
|
+ 2x |
|
|
− 7x |
|
|
= 0 |
|
|
||||||||||||||
6. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
3 |
4 |
|
|
|||||||||||||||||||
|
2 |
−1 1 2 3 |
|
7. |
x + y + z = 0 8. |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
3 |
−7 4 1 |
−7 |
|
x |
− 2 y + 3z = −3 |
4x1 |
+ x2 |
− 3x3 |
+ 6x4 |
= 0 |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
0 11 |
−5 4 |
−4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x − 2x |
2 |
+ 4x |
3 |
− 7x |
4 |
= 0 |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
9. x ={5; 15; 0}, |
p ={1; 0; 5}, |
q ={-1; 3; 2} и |
|
={0; -1; 1}. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
10. |
|
Определить |
|
|
угол |
между |
векторами |
|
|
|
|
|
и |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
a = i + 2 j + 3k |
|
b = 6i + 4 j −2k .
11. Вычислить векторное произведение векторов (4b − a ) и (2b + 3a ) ,
если a = −i − j +3k , b = 2i −7 j +k .
12. Проверить, |
лежат ли точки A (5; 2; |
0), B (2; 5; 0), C (1; 2; 4) и |
D(−1;1;1) в одной плоскости. |
|
|
13. Найти точку |
B , симметричную точке |
A (4; -3) относительно прямой, |
проходящей через точки M (1; -2) и N (-3; 2).
14. Написать уравнение плоскости, проходящей через линию пересече-
ния плоскостей |
4x − y + 3z −6 = 0 и |
x +5y − z +10 |
= 0 |
и перпендику- |
|||
лярной к плоскости 2x − y +5z −5 = 0 . |
|
|
|
|
|
||
15. При каких |
|
значениях коэффициентов |
B |
и |
D |
прямая |
|
x −2 y + z −9 = 0 |
лежит в плоскости |
xOy ? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
3x + By + z + D = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
16. Найти точку пересечения прямой |
x = 2t −1 , |
y = t + 2 , |
z =1 −t с |
||||
плоскостью 3x − 2 y + z −3 = 0 . |
|
|
|
|
|
80
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ВАРИАНТ 20 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
2 −3 −3 |
|
9 −11 |
|
|
6 |
− 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
1. |
|
|
|
4 6 −6 −9 |
|
, B |
|
|
|
= A −3B |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2. A = |
7 |
− |
3 |
= |
1 |
− |
3 |
, C |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
− |
3 |
− |
4 |
6 |
8 |
|
|
0 − |
|
|
|
|
|
8 |
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
− |
5 |
− |
7 10 14 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 2 3 |
|
−1 − 2 − 4 |
|
|
|
1 0 1 |
|
|
|
|
3 2 |
15 7 |
|||||||||||||||||||||||
3. A = |
2 4 6 |
, |
B = |
−1 − 2 − 4 |
|
4. A = |
2 1 0 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
5. X |
− |
3 1 |
= |
|
6 4 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
3 6 9 |
|
|
|
1 2 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−3 2 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
1 2 −1 1 |
x + 2 y − z =1 |
|
|
|
|
|
3x1 + 5x2 + 2x3 + 4x4 = 0 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
6. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− 3y + 2z = 0 8. |
5x1+ 4x2 |
+ 3x3 |
+ 5x4 |
= 0 |
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
5 1 2 1 |
7. − 2x |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
4 |
− |
1 − |
3 0 |
|
x + 5y + z = −5 |
|
|
|
|
|
|
9x1 + 2x2 |
+ 5x3 |
+ 7x4 |
= 0 |
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
3 |
− |
3 4 |
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5x |
− 9x |
2 |
+ |
2x |
3 |
= 0 |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
9. x ={6; -1; 7}, p ={1; -2; 0}, |
q ={-1; 1; 3} и |
|
={1; 0; 4}. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
10. |
|
|
Найти |
угол |
|
между векторами |
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
если |
|
A (-4; |
-2; |
0), |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
AB |
|
|
AC , |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
B(−1; − 2; 4) и C (3; -2; 1). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
11. Найти единичный вектор, перпендикулярный векторам |
|
a ={3;−1;−1} |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
и |
|
={0;2;1} . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
12. Вычислить объем тетраэдра с вершинами в точках |
|
A (2; |
-1; |
-2), |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
B(1; 2;1), C (5; 0; -6) и D (-10; 9; -7). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
13. Найти проекцию точки |
P (4; 5) на прямую, проходящую через точки |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
A (3; -2) и B (6; -1). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
14. Найти угол между плоскостью, проходящей через точки O (0; 0; |
0), |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
A(a; −a;0) |
и B(a;a;a), и плоскостью xOy . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
15. Какому условию должны удовлетворять коэффициенты в уравнениях
|
|
|
|
Ax + By +Cz + D = 0 |
Oy ? |
||||||||||
прямой A x + B y |
+C z + D |
= 0 , чтобы прямая пересекала ось |
|||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
1 |
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
16. |
Написать |
уравнение |
плоскости, проходящей через |
прямые |
|||||||||||
|
x −3 |
= |
y |
= |
z −1 |
и |
|
x +1 |
= |
y −1 |
= |
z |
. |
|
|
2 |
|
1 |
2 |
|
2 |
|
1 |
2 |
|
|
81

|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ВАРИАНТ 22 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
6 6 10 |
−5 |
|
|
|
|
|
|
|
3 4 −2 |
|
|
6 1 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
5 8 |
8 |
−9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
1. |
|
|
|
2. A = |
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
−3 1 4 |
|
, |
C |
= A − B E |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
5 5 9 |
−8 |
|
|
|
1 0 −3 |
B = |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
4 7 7 |
−11 |
|
|
|
|
|
|
−7 5 1 |
|
|
|
2 |
|
− |
1 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
3. |
|
|
|
1 −3 2 |
, B = |
2 5 6 |
|
5 3 −6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
A = |
3 |
− |
4 1 |
|
|
1 2 5 |
4. |
A = |
2 |
− |
1 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
−5 3 |
|
|
|
|
|
1 3 2 |
|
|
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−2 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
5. |
|
|
|
− 2 1 |
|
|
|
12 −8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
X |
|
|
|
= |
|
−20 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
−6 4 |
|
|
|
13 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
4 3 −1 1 |
|
3x + y + z = 4 |
|
2x1 + x2 |
+ 4x3 |
+ x4 |
= 0 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2 1 |
− |
3 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3x |
|
+ 2x |
2 |
− x |
3 |
− 6x |
4 |
|
= 0 |
|||||||||||||||
6. |
|
− |
|
|
7. x + 2 y + 2z = 3 |
|
|
|
1 |
|
|
+ |
|
|
− |
|
|
= 0 |
|||||||||||||||||||||||||
1 1 1 |
1 |
8. 7x |
+ 4x |
2 |
6x |
3 |
5x |
4 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
6 5 1 − |
|
|
|
x + 4 y − z = −2 |
|
|
|
1 |
x |
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+8x |
3 |
+ 7x |
4 |
0 |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
9. x ={6; 5; -14}, |
p ={1; 1; 4}, |
q ={0; -3; 2} и |
r |
={2; 1; -1}. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
10. Вычислить проекцию вектора |
|
a ={−3;1;3} |
на направление вектора |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
A (7; 3; -2), B (8; 2; -2). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
AB |
, где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
11. Раскрыть скобки и упростить выражение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
2i ( j ×k |
) +3 j (i ×k ) +4k (i × j) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
12. Проверить, |
будут ли компланарны векторы a ={5;3;−1} , |
|
|
={1;−2;3} , |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
b |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
c ={2;0;−4} . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
13. Вершины треугольника |
A (-3; 3), B (5; 1), |
C (6; -2). Составить урав- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
нения: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
а) медианы, проведенной из вершины C ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
б) высоты, опущенной из вершины A на сторону BC . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
14. Найти угол между плоскостями x − 2 y + 2z −8 = 0 и x + z −6 = 0 . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
15. |
|
Написать |
|
|
уравнение |
|
перпендикуляра, |
|
опущенного из точки |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
M (−1; 2;3) |
на ось Oz . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
16. Через точку M (1;-1; 2) провести плоскость так, чтобы она была параллельна прямым x 2−1 = −y1 = z +1 3 и x−+22 = y1−1 = z 3+1 .
82

|
|
|
1 22 12 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ВАРИАНТ 23 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
4 0 5 |
|
6 −1 |
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
−1 4 3 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T |
|
||||||||||||||||||||||||||
1. |
|
|
2. A = |
= |
|
3 2 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
2 16 7 3 |
|
|
− |
6 − |
|
|
|
|
, B |
, C = 3B − A |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 1 |
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
−3 |
9 |
3 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−3 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
5 0 2 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
2 1 −1 |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4. |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
3. A = |
4 1 5 3 , B = |
− 2 |
|
|
|
A = |
2 |
−1 2 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
3 1 −1 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
0 |
1 |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
5. |
1 |
− 2 |
X = |
|
−1 −8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
1 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
1 − 2 |
|
3 −1 −1 |
|
|
|
4x − y − z +3 = 0 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
6. |
|
|
−1 |
|
1 0 − |
2 |
|
7. |
|
|
|
|
+3y +3z = −4 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
1 |
− |
1 |
−1 |
−1 1 |
|
|
|
|
− x +2 y − z = 5 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
3 |
−10 |
|
1 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
2x1 − 2x2 + 3x3 + 6x4 + 5x5 = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
− 4x |
+ 5x |
2 |
|
− 7x |
3 |
− 3x |
4 |
+8x |
5 |
= 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
8. − |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
6x + 7x |
2 |
−10x |
3 |
− 9x |
4 |
|
+ 3x |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
8x |
1 |
9x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
2x |
|
= 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
− |
2 |
+13x |
3 |
|
+15x |
4 |
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
9. x ={-15; 5; 6}, p ={0; 5; 1}, |
|
q ={3; 2; -1} и |
r |
= {-1; 1; 0}. |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
10. |
|
Заданы точки |
|
A (-2; |
|
|
|
4; |
0), |
|
B (1; |
3; |
|
-5) |
|
и C (0; -1; 1) |
и вектор |
||||||||||||||||||||||
|
|
. |
|
|
Вычислить |
|
|
|
скалярное |
|
произведение |
векторов |
|||||||||||||||||||||||||||
a = 3i +10 j −5k |
|
|
|
|
|
|
( 2 AB − 3CA ) и (a +2AC ).
11. Вычислить площадь треугольника, построенного на векторах a = 6i +3 j −2k и b = 3i −2 j +6k .
12. Какую тройку (левую или правую) образуют векторы AB , AC и
|
A |
|
D |
, если A (1; 1; -1), B (2; 3; 1), |
C (3; 2; 1) и D (5; 9; 8). |
|
||
13. Найти уравнение прямой, проходящей через точку M (1; -4) и |
|
|||||||
а) параллельной прямой 2x − 3y =1 ; |
|
|
||||||
б) перпендикулярной прямой 5x −7 y + 3 = 0 . |
|
|
||||||
14. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку M (−1; −1; 2) |
||||||||
и |
|
|
перпендикулярной |
к |
плоскостям |
x − 2 y + z − 4 = 0 |
и |
x + 2 y − 2z + 4 = 0 .
15. Написать уравнение прямой, проходящей через точку M (-1; 3; 2) параллельно оси Oz .
16. Найти проекцию точки A (2; 3; 4) на прямую x = y = z .
83

|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ВАРИАНТ 24 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
−1 |
|
2 − 2 −1 |
|
|
|
|
|
|
7 −3 1 |
|
|
|
|
|
|
|
6 1 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
1. |
|
3 − 4 7 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= A +(2B)T |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2. A = |
0 2 1 |
, B = |
4 |
|
−2 1 , C |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
4 |
−9 |
8 |
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
−3 2 − |
5 3 |
|
|
|
|
|
|
−4 5 −3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 1 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
−1 2 0 3 |
|
|
2 |
4 |
|
|
|
4 |
−4 −3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
7 1 |
|||||||||||||||||||||||||||||
3. A = |
|
|
|
0 1 |
− |
|
5. X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
− 2 0 |
, |
B = |
1 |
4. A = |
|
8 7 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
− |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
1 1 |
|
|
|
|
−1 |
|
− |
5 |
−1 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 1 |
|
|
|
|
2 0 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
0 4 10 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x |
|
− x |
|
|
|
|
|
− x |
|
|
|
− x |
|
|
|
|
− x |
|
|
= 0 |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2x − y = 7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
||||||||||||||||||||
|
4 8 18 7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
− x + 2x − x − x − x = 0 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
6. |
7. |
5x + 3y − 6z = −5 |
8. 4x |
1 |
+ x |
|
|
|
|
−5x |
3 |
−5x |
|
|
|
|
−5x = 0 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
10 18 40 17 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
− x − 2 y + 3z = 7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
+ x5 |
5 |
|
|||||||||||||||||||||||
|
1 7 17 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x1 |
+ x2 |
|
+ 2x3 + x4 |
|
|
= 0 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
+ x |
2 |
|
+ x |
3 |
+ |
2x |
4 |
|
|
+ x |
5 |
= 0 |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
9. x ={8; 9; 4}, |
p ={1; 0; 1}, |
q ={0; -2; 1} и |
r |
= {1; 3; 0}. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 2 , |
|
|
|
|
= 5 , |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
10. Найти работу силы |
|
на перемещении |
|
|
, если |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
F |
S |
|
|
|
|
F |
S |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ϕ = ( |
|
|
= |
π . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
F |
, |
S |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
A (0; 2; 0), B (3; 0; -4), C (2; 1; 1) и D (-1; -1; -1). Вы- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
11. Заданы точки |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
числить векторное произведение векторов ( |
|
|
|
− 3 |
|
|
|
) и ( |
|
|
|
+ |
|
|
|
) . |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
A |
|
B |
B |
|
C |
C |
D |
A |
C |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
12. |
|
Найти |
|
объём |
|
параллелепипеда, |
|
|
построенного |
|
|
на |
|
|
|
векторах |
a ={6;3;4} , b ={−1;−2;−1} , c ={2;1;2} .
13. Даны |
уравнения двух смежных сторон параллелограмма |
x − y −1 = 0 , |
x − 2 y = 0 и точка пересечения его диагоналей M (3; -1). |
Найти уравнения двух других сторон параллелограмма.
14. Написать уравнение плоскости, проходящей через ось Oz и точку
M (2; − 4;3).
15. |
Найти |
угол |
между прямыми: |
x − y + z − 4 = 0 |
|
и |
||||||
|
= |
0 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x + y − 2z + 5 |
|
||
|
x + y + z − 4 = 0 |
. |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
2x + 3y − z − 6 = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
16. |
Написать |
уравнение плоскости, проходящей через |
прямую |
|||||||||
|
x − 2 |
= |
y −3 |
= |
z +1 |
|
и точку M (3; 4; 0). |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||||||
2 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
84

|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ВАРИАНТ 25 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
5 −9 |
2 7 |
|
|
|
|
−6 |
1 |
|
6 1 −3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
−3 7 −1 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
1. |
|
2. |
A = |
|
0 −2 , |
|
C = 4 A |
+ B |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
−5 1 2 |
B = |
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
− 2 0 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
4 |
−6 |
1 2 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
3. A = |
|
1 2 |
|
|
|
|
3 1 2 |
|
2 1 3 |
5. |
3 −1 |
X |
|
19 1 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
−3 4 |
, B = |
−1 3 0 |
4. A |
= |
1 0 1 |
|
|
5 − |
2 |
|
= |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 2 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
32 1 |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
0 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
3 2 − 4 |
|
|
3 |
|
3x − y + z =12 |
|
3x1 + 6x2 +10x3 + 4x4 − 2x5 = 0 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 1 −3 |
− |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
6. |
|
1 |
7. |
|
|
+2 y |
− z =12 |
|
6x |
+10x |
2 |
+17x |
3 |
+ 7x |
4 |
− |
3x |
5 |
= 0 |
|
|||||||||||||||||||||||
|
1 3 0 |
− |
1 |
|
x |
8. |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
1 0 |
− 2 |
−5 |
|
2x − y |
+3z = 9 |
|
9x1 |
+ 3x3 |
+ 2x4 + 3x5 |
= 0 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
0 3 2 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12x1 − 2x2 + x3 +8x4 + 5x5 = 0 |
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
9. x ={23; -14; -30}, |
p ={2; 1; 0}, |
q ={1; -1; 0} и |
r |
= {-3; 2; 5}. |
|
|
|
|
|
|
|
и |
|||||||||||||||||||||||||||||||
10. |
|
Определить |
|
|
угол |
|
между |
векторами |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
a = 3i + 4 j + 5k |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
b |
= 4i + 5 j − 3k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
11. |
Найти |
|
|
|
вектор |
|
|
|
|
, |
|
зная, |
что |
|
он |
удовлетворяет |
условию |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
d |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
) =10 |
|
и |
|
|
перпендикулярен |
векторам |
a ={2;−3;1} |
и |
|||||||||||||||||||||||||||||||
d |
(i +2 j +7k |
|
|
|
b ={1;−2;3} .
12. Найти объём тетраэдра, построенного на векторах a ={−1;−2;−1} , b ={4;3;6} и c ={2;1;2} .
13. Найдите уравнение прямой, проходящей через точку M (-2; 6) и составляющей с осью Ox угол, вдвое меньший угла, который составляет с
осью Ox прямая 3 y −3x +5 = 0 .
14. Написать уравнение плоскости, параллельной оси Ox и проходящей
через точки A (0; 1; 3) и B (2; 4; 5).
15. Составить каноническое уравнение прямой, проходящей через точку
M (1; 2; -3) параллельно прямой |
x −1 |
= |
y |
= |
z + |
2 |
. |
|
|
|
|
||||
2 |
|
− 3 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
x +a |
1 |
|
y −1 |
|
z +2 |
|
||||||
16. При каких значениях a и b |
прямая |
|
= |
= |
лежит в |
||||||||||
|
3 |
|
−2 |
|
−1 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
плоскости bx + 2 y − z +1 = 0 .
85

|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ВАРИАНТ 26 |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
9 |
|
7 |
|
|
9 |
7 |
|
|
|
|
|
|
− 2 3 0 |
|
|
7 −3 1 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
1. |
|
|
4 3 4 3 |
2. |
A |
= |
|
|
|
= 3A +2B |
|||||||||||||||||||
|
|
9 7 |
−9 −7 |
|
− 4 − |
|
, B = |
|
|
, C |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 −1 |
|
|
−1 2 3 |
|
||||||||||||||||
|
|
|
−8 −6 |
|
|
8 |
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
4 5 1 |
|
|
−1 2 |
2 21 |
||||
3. A = (1 2 3 4) |
, B = |
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
4. A = |
1 2 0 |
5. |
X |
= |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
3 1 1 |
|
|
|
1 3 |
− 2 −1 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
1 −3 5 6 |
|
x +3y −2z = −4 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
6. |
1 |
−3 |
1 |
|
|
1 |
|
|
x − y +4z = 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
7. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
1 |
−3 13 16 |
|
3x +2 y − z = −9 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
1 |
−3 |
9 11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
x1 + 2x2 + 3x3 + 2x4 − 6x5 = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
8. |
2x |
|
+ 3x |
2 |
+ 7x |
3 |
+ |
6x |
4 |
−18x |
5 |
|
= 0 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 0 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
3x1 |
+ 5x2 |
+11x3 |
+ 9x4 |
− 27x5 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
x |
|
+ |
4x |
2 |
+ |
5x |
3 |
+ |
2x |
4 |
− 6x |
5 |
= 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
9. x ={3; 1; 3}, p ={2; 1; 0}, |
q ={1; 0; 1} и |
r |
= {4; 2; 1} |
|
10. Найти скалярное произведение векторов (3a − 2b ) и (5a −6b ) , если
|
a |
|
= 4 , |
|
|
= 6 и угол между векторами a и |
|
|
равен |
π . |
|
|
||||||||
|
|
b |
|
b |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
11. Вычислить площадь треугольника с вершинами A (1; 1; 1), B (2; 3; 4) |
||||||||||||||||||||
и C (4; 3; 2). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a ={1;2;2} , |
||||||||
12. Найти объём тетраэдра, |
построенного |
|
на |
векторах |
||||||||||||||||
|
|
={2;1;2} , |
c ={4;8;9} . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
13. Вершины треугольника A (1; 4), B (2; 5), |
C C(5; |
-2). Найдите точку |
||||||||||||||||||
пересечения стороны AB с перпендикуляром, восстановленным из се- |
||||||||||||||||||||
редины стороны AC . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
14. Даны точки A (1; 3; -2) и B (7; -4; 4). Через точку |
|
B провести плос- |
||||||||||||||||||
кость, перпендикулярную к отрезку AB . |
|
|
|
|
|
|
M (-4; 3; 0) и |
|||||||||||||
15. Написать уравнение прямой, проходящей через точку |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x − 2 y + z = 4 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
параллельной прямой |
− z = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2x + y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
16. При |
каких значениях |
коэффициентов |
a |
|
и |
b |
плоскость |
|||||||||||||
ax + by − 2z +1 = 0 перпендикулярна прямой |
|
x |
= |
y −1 |
= |
z +2 |
? |
|||||||||||||
|
1 |
|
−1 |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
86

|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ВАРИАНТ 26 |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
9 |
|
7 |
|
|
9 |
7 |
|
|
|
|
|
|
− 2 3 0 |
|
|
|
7 −3 1 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
1. |
|
|
4 3 4 3 |
2. |
A |
= |
|
|
|
|
=3A + 2B |
|||||||||||||||||||
|
|
9 7 |
−9 −7 |
|
− 4 − |
|
, B = |
|
|
, C |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 −1 |
|
|
|
−1 2 3 |
|
||||||||||||||||
|
|
|
−8 −6 |
|
|
8 |
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
4 5 1 |
|
|
|
−1 2 |
2 21 |
||||
3. A = (1 2 3 4) |
, B = |
|
|
4 |
|
|
|
|
|
5. |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
4. A = |
1 2 0 |
|
X |
= |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
3 1 1 |
|
|
|
|
1 3 |
− 2 −1 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
1 −3 5 6 |
|
x +3y −2z = −4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
6. |
1 |
−3 |
1 |
|
|
1 |
|
|
x − y +4z = 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
7. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
1 |
−3 13 16 |
|
3x +2 y − z = −9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
1 |
−3 |
9 11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
x1 + 2x2 + 3x3 + 2x4 − 6x5 = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
8. |
2x |
|
+ 3x |
2 |
+ 7x |
3 |
+ |
6x |
4 |
−18x |
5 |
|
= 0 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
3x1 |
+ 5x2 |
+11x3 |
+ 9x4 |
− 27x5 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
x |
|
+ |
4x |
2 |
+ |
5x |
3 |
+ |
2x |
4 |
− 6x |
5 |
= 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
9. x ={3; 1; 3}, p ={2; 1; 0}, |
q ={1; 0; 1} и |
r |
= {4; 2; 1}. |
|
10. Найти скалярное произведение векторов (3a − 2b ) и (5a −6b ) , если
|
a |
|
= 4 , |
|
|
= 6 и угол между векторами a и |
|
|
равен π . |
|
|
|
b |
|
b |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
B(2;3; 4) и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
11. Вычислить площадь треугольника с вершинами A (1; 1; 1), |
||||||||||
C(4;3; 2). |
|
|
||||||||
12. Найти объём тетраэдра, построенного |
на векторах |
a ={1;2;2} , |
b ={2;1;2} , c ={4;8;9} .
13. Вершины треугольника A (1; 4), B (2; 5), C (5; -2). Найдите точку пе-
ресечения стороны |
AB с перпендикуляром, восстановленным из сере- |
|||||||||||
дины стороны AC . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
14. Даны точки A (1; 3; -2) и |
B (7; -4; 4). Через точку |
B провести плос- |
||||||||||
кость, перпендикулярную к отрезку AB . |
|
|
|
|
|
M (-4; 3; 0) и |
||||||
15. Написать уравнение прямой, проходящей через точку |
||||||||||||
|
x − 2 y + z = 4 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
параллельной прямой |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
2x + y − z = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
16. При каких |
значениях |
коэффициентов |
|
a |
и |
b |
плоскость |
|||||
ax + by − 2z +1 = 0 перпендикулярна прямой |
x |
|
= |
y −1 |
= |
z +2 |
? |
|||||
|
2 |
|
−1 |
|||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
87

|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ВАРИАНТ 27 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
0 − 2 − 2 1 |
|
|
|
|
|
−3 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
7 |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
1. |
|
3 5 7 2 |
|
2. A = |
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−2BT |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
5 |
|
7 |
, |
B = − |
1 |
|
|
−2 |
, C = AT |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
7 |
6 |
|
|
3 7 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
− |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
4 0 |
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
5 6 5 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
−1 2 0 3 |
|
|
|
1 |
4 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 3 1 |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
0 −1 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
3. A = |
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
B = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4. A = |
7 9 5 |
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 2 −1 1 |
|
|
|
|
6 1 −1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 4 3 |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
5. |
|
|
2 − |
5 |
X |
= |
11 |
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
−6 |
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
−1 3 |
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
2 5 |
|
−1 4 3 |
|
|
2x + y + z = 6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
6. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 y + z =13 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
−3 1 2 0 1 |
7. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
4 1 |
|
|
6 −1 |
−1 |
|
|
3x + y + 2z = 8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
− 2 3 |
|
|
0 |
|
4 |
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
x + x |
2 |
|
+ x |
3 |
+ |
2x |
4 |
+ x |
5 |
= 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
8. x1− 2x2 |
− 3x3 + x4 − x5 |
|
= 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
2x − x |
2 |
− 2x |
3 |
+ 3x |
4 |
= |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
9. x ={-1; 7; 0}, |
|
p ={0; 3; 1}, |
|
q ={1; -1; 2} и |
r |
= {2; -1; 0}. |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
10. Найти угол между векторами |
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
, если A (3; 3; -1), B(5;1; − 2) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
A |
|
B |
A |
C |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
и C (4; 1; 1). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C (2; -1; 0) и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
11. |
|
|
A (1; 0; -3), B (-2; 1; -1), |
|
D (3; -3; 3). Найти векторное |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
произведение векторов ( |
|
|
|
+ 3 |
|
|
|
) |
и ( |
|
|
|
− |
|
|
|
) . |
|
||||||||||||||||||||||||||||
A |
|
B |
B |
|
C |
D |
C |
A |
|
C |
|
12. Проверить, лежат ли в одной плоскости точки с координатами
A(1;1;1), B (2; 3; 1), C (3; 2; 1) и D (5; 9; 8).
13. В равнобедренном прямоугольном треугольнике даны координаты вершины острого угла (1; -2) и уравнение противолежащего катета: 3x − 4 y + 2 = 0 . Составить уравнения двух других сторон треугольника.
14. Написать уравнение плоскости, проходящей через точки A (-1; -2; 0) и B(1;1; 2) и перпендикулярной к плоскости x + 2 y + 2z − 4 = 0 .
15. Составить параметрические уравнения прямой, проходящей через точку M (2; 3; -1) параллельно вектору a =(5; -3; 2).
16. При каком значении коэффициента |
a плоскость ax + 2 y − z + 3 = 0 |
||||||
параллельна прямой |
x −1 |
= |
y +2 |
= |
z −1 |
? |
|
2 |
|
3 |
−2 |
||||
|
|
|
|
|
88

|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ВАРИАНТ 28 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
1 |
3 |
0 |
1 |
|
|
|
3 −4 0 |
|
|
|
1 |
2 3 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
1. |
3 3 |
1 2 |
|
− |
|
|
, C |
= AT |
+ BE |
|
||||||||||
2. A = |
2 0 1 |
, B = −1 |
−2 − |
3 |
|
|||||||||||||||
|
−1 1 |
−2 2 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
1 4 1 1 |
|
|
|
6 7 −5 |
|
|
|
1 0 |
|
|
|
|
|||||||
|
|
3 4 |
|
|
3 2 1 2 |
1 2 1 |
|
|
− 2 4 −3 7 |
|
||||||||||
|
|
|
2 1 |
|
, |
|
|
|
||||||||||||
3. A = |
1 1 |
|
B = |
|
|
4. A = |
2 3 4 |
|
5. X |
|
|
= |
−10 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
4 1 1 3 |
|
3 4 3 |
|
|
|
−3 5 6 |
|
|||||||
|
|
|
2 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 0 4 −1 |
2x − y +3z = 8 |
|
|
2x1 −5x2 + 4x3 + 3x4 = 0 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
2 1 11 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3x1− 4x2 |
+ 7x3 |
|
+ 5x4 |
|
= 0 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
6. |
|
7. x + y −2z = 5 8. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
11 4 56 5 |
3x −2 y + z = 7 |
|
|
|
4x1 − 9x2 |
+8x3 |
+ 5x4 |
|
= 0 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2 −1 5 −6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− 3x |
+ 2x |
2 |
− |
5x |
3 |
|
+ 3x |
4 |
= 0 |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
9. x ={11; -1; 4}, |
p ={1; -1; 2}, |
q ={3; 2; 0} и |
r |
= {-1; 1; 1}. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
10. Вычислить площадь треугольника ABC , если A (1; -2; 2), |
B (1; 4; 0) и |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
C (-4; 1; 1). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
11. Найти угол между векторами |
|
|
|
и |
|
|
|
|
, если A (2; 3; 2), |
B (-1;-3;-1), |
|||||||||||||||||||||||||||||||
A |
|
B |
A |
C |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
C(−3; −7; −3). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
12. Найти объём параллелепипеда, построенного на векторах |
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
A |
|
B |
A |
C |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
и |
|
|
|
, если A (5; 2; 0), B (2; 5; 0), C (1; 2; 4) и D (-1; 1; 1). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
A |
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
13. Вершины треугольника — |
A (2; 0), |
B (5; 3), |
C (3; 7). Найти уравнение |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
прямой, проходящей через вершину |
B и параллельной медиане AM |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
треугольника. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
14. Написать уравнение плоскости, проходящей через точки M1 (1; -1; 2), |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
M 2 (2; 1; 2) и M 3 (1; 1; 4). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M (1; -1; 0) и |
|||||||||||||||||
15. Написать уравнение прямой, проходящей через точку |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
перпендикулярной к плоскости 2x − 4 y + z = 3 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
16. |
|
При каком значении λ |
прямая |
|
x +1 |
= |
|
y +1 |
= |
z −3 |
|
параллельна |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
λ |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
плоскости 2x + y − z = 0 ?
89

|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ВАРИАНТ 29 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
1 |
1 2 2 |
|
|
|
|
|
−3 6 |
|
|
− 2 1 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
2 −3 1 2 |
|
|
|
|
|
|
|
T |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
1. |
|
|
2. |
|
A = |
|
7 1 |
|
|
−3B |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
1 1 3 2 |
|
, B = |
−3 2 1 |
|
, C = A |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
−1 |
1 5 3 |
|
|
|
|
|
−2 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
−7 2 3 −1 |
|
|
|
3 − 2 |
4 |
|
|
3 1 2 |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
3. A = |
3 1 4 2 |
|
B = |
|
1 2 −3 4. |
|
|
A = |
2 − 2 2 |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
4 − 2 5 |
−3 |
|
|
|
−4 |
3 |
2 |
|
|
|
|
1 1 3 |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
5 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
5. |
|
5 −1 |
= |
|
6 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
−1 |
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
1 |
|
|
−2 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
−3 |
2 0 1 4 |
|
|
x + 3y − z = 4 |
|
|
x1 + x3 + x5 = 0 |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
6. |
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 − x4 + x6 = 0 |
||||||||||
|
5 2 3 5 |
7. − x + 2 y + 3z =12 |
8. |
||||||||||||||||||||||||
|
|
6 −12 3 −7 −8 |
|
|
2x + y − z =1 |
|
|
x1 − x2 + x5 − x6 = 0 |
|||||||||||||||||||
|
|
−3 |
7 9 4 15 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
+ x |
3 |
+ x |
6 |
= 0 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
9. x ={-13; 2; 18}, |
p ={1; 1; 4}, |
|
q ={-3; 0; 2} и |
r |
= {1; 2; -1}. |
|
|
|
|
|
10. Вычислить проекцию вектора a ={5;2;5} на ось вектора b ={2;−1;2} .
11. |
Найти |
орт e , |
перпендикулярный |
векторам |
a ={2;0;−3} |
и |
|||||
|
|
={3;−1;−1} . |
|
|
|
|
|
|
|
||
b |
|
|
|
|
|
|
|
||||
12. Проверить, |
лежат ли точки |
A (2; 3; 1), |
B (4; 1; -2), C (6; |
3; 7) |
и |
||||||
D(7;5; −3) в одной плоскости. |
|
|
|
|
|
||||||
13. Вершины треугольника A (0; 4), B (2; -3), C (-4; 5). Составить урав- |
|||||||||||
нение высоты, |
опущенной из вершины C на медиану, проведенную из |
||||||||||
вершины A . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
14. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку M (1; 1; 1): |
|
||||||||||
а) перпендикулярно и б) параллельно плоскости 2x + 4 y + z −5 = 0 . |
|
||||||||||
15. |
Найти |
|
угол |
между |
прямыми |
x −2 = |
y −3 = |
z |
и |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
−1 |
2 |
|
|
x +1 |
= y −2 |
= z +5 . |
|
|
|
|
|
|
||
1 |
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
16. Написать уравнение прямой, проходящей через точку M (2; 3; -1) и перпендикулярной к плоскости 2x + 4 y −3z = 2 .
90

|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ВАРИАНТ 30 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
2 |
3 |
|
1 −1 |
|
|
|
|
−4 0 2 |
|
|
|
|
6 1 3 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
7 |
8 |
|
2 −5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
1. |
|
− |
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
− |
2 1 0 |
|
, C = 2 A + B |
|||||||||||||||
|
0 |
− 2 |
2 3 |
|
|
2. A = |
6 1 0 |
, B = |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
1 0 |
−1 1 |
|
|
|
|
|
0 − |
3 1 |
|
|
1 |
− |
4 2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
1 2 3 |
|
2 −5 |
|
|
3 2 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
2 1 2 |
|
B = |
|
1 2 |
|
4. A = |
|
−4 −3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
3. A = |
, |
|
|
|
−5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
3 1 1 |
|
|
|
3 −4 |
|
|
|
|
5 1 |
− |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
− 2 1 −3 −1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
5. X |
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
−3 |
−1 −5 −5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
1 1 1 1 |
|
|
|
5x − y + z = −17 |
|
x1 + x2 −2x3 +3x4 −3x5 = 0 |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
7. |
|
|
− 3y + 2z = −11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
6. 1 2 1 1 |
|
x |
8. 2x1+ 2x2 +3x3 − x4 +4x5 = 0 |
|||||||||||||||||||||||||||||
1 1 3 1 |
|
|
|
|
2x + y + z = 0 |
|
|
|
4x2 |
+ x3 − x4 + |
2x5 = |
0 |
||||||||||||||||||||
1 2 |
−1 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
+ |
2x |
2 |
−4x |
3 |
+5x |
4 |
|
+ 2x |
= 0 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
||||
9. x ={0; -8; 9}, p ={0; -2; 1}, |
q ={3; 1; -1} и |
r |
= {4; 0; 1}. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
10. Определить внешний угол при вершине |
A треугольника |
ABC , если |
||||||||||||||||||||||||||||||
A(3; 2; −3), B (5; 1; -1) и C (1; -2; 1). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A(1; − 2; 2), |
|||||||||||||||||
11. |
|
Вычислить |
площадь |
треугольника |
ABC , |
|
если |
|
||||||||||||||||||||||||
B(−5; −5;3), C (-4; 1; 1). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
12. |
|
Будут |
ли |
компланарны |
векторы |
|
a ={−1;2;8} , |
|
={3;7;−1} и |
|||||||||||||||||||||||
|
|
b |
||||||||||||||||||||||||||||||
c ={2;1;1} ? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
13. Вершины треугольника |
|
A (2; -1), |
B (4; 5), C (-3; 2). Написать уравне- |
ние прямой, проходящей через начало координат и центр тяжести тре-
угольника |
ABC . |
|
|
|
14. Составить уравнение плоскости, которая |
проходит через точку |
|||
M (2; −1;1) |
перпендикулярно |
плоскостям |
2x − y + 3z −1 = 0 |
и |
x + 2 y + z = 0 .
x −2 y +3z −4 = 0
15. Составить каноническое уравнение прямой 3x + 2 y −5z −4 = 0 .
16. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку M (2; −1;3)
перпендикулярно прямой x 3+1 = 2y = z−−11 .
91