
- •РАБОЧАЯ ТЕТРАДЬ
- •Справочный материал для задач 1–8
- •Справочный материал для задачи 1
- •Основные свойства определителей
- •Задача 1
- •Решение задачи
- •Справочный материал для задачи 2
- •Задача 2
- •Решение задачи
- •Справочный материал для задачи 3
- •Задача 3
- •Решение задачи
- •Справочный материал для задачи 4
- •Задача 4
- •Решение задачи
- •Справочный материал для задачи 5
- •Задача 5
- •Решение задачи
- •Справочный материал для задачи 6
- •Задача 6
- •Решение задачи
- •Задача 7.1
- •Справочный материал
- •Решение задачи
- •Задача 7.2
- •Справочный материал
- •Решение задачи
- •Задача 7.3
- •Справочный материал
- •Элементарные преобразования в расширенной матрице:
- •Решение задачи
- •Справочный материал к задаче 8
- •Задача 8.1
- •Решение задачи
- •Задача 8.2
- •Решение задачи
- •Справочный материал к задаче 9
- •Задача 9
- •Решение задачи
- •Справочный материал для задач 10–12
- •Задача 10.1
- •Решение задачи
- •Задача 10.2
- •Решение задачи
- •Задача 10.3
- •Решение задачи
- •Задача 11.1
- •Решение задачи
- •Задача 11.2
- •Решение задачи
- •Задача 12
- •Решение задачи
- •Справочный материал для задачи 13
- •Задача 13.1
- •Решение задачи
- •Задача 13.2
- •Решение задачи
- •Задача 13.3
- •Справочный материал для задачи 14
- •Задача 14.1
- •Решение задачи
- •Задача 14.2
- •Решение задачи
- •Задача 14.3
- •Решение
- •Справочный материал для задач 15, 16
- •Задача 15.1
- •Решение задачи
- •Задача 15.2
- •Решение
- •Задача 16.1
- •Решение задачи
- •Задача 16.2
- •Решение
- •РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА
- •Основная
- •Дополнительная

б) пересекает две прямые L : |
x −2 |
= |
y |
= |
z −1 |
и |
||||||
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
1 |
1 |
2 |
2 |
|
||||
|
x −1 |
|
y −3 |
|
z −3 |
|
|
|||||
L : |
= |
= |
; |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
2 |
0 |
2 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
в) образует с осями координат углы, соответственно равные π4 ,
π3 и 2π
3;
г) перпендикулярна прямой L1 : x−−31 = y 4+1 = z +111 и пересе-
кает её.
Решение
Найдём точку пересечения прямой и плоскости. Для этого уравнения прямой запишем в параметрическом виде
x = 2t
y = −t +2z = 3t −6
и подставим в уравнение плоскости:
2 2t −(−t + 2)+3t −6 = 0 , t =1.
Подставим полученное значение t в уравнения прямой и найдём точку пересечения прямой и плоскости
M (2;1; −3).
а) Зная две точки, сразу можем написать уравнения прямой |
||||||||||||
|
x −2 |
|
y −1 |
z −(−3) |
||||||||
|
|
|
= |
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
5 −2 |
|
1 −1 |
−10 −(−3) |
||||||||
или |
|
|
|
y −1 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
x −2 |
|
= |
|
= |
z +3 |
. |
||||
3 |
|
|
|
|||||||||
|
0 |
|
|
−7 |
б) Проведём плоскость α через точку M и прямую L1 . Искомая прямая будет лежать в этой плоскости и пересечёт прямую L2 в точке M1 , в которой L2 пересечётся с плоскостью α (рис. 19).
55

L2
α |
M1 |
L3 |
|
||
|
|
|
M |
|
|
|
L1 |
|
Рис. 19.
Найдём нормальный вектор плоскости α . Для этого выберем два произвольных вектора, которые параллельны этой плоскости. Пусть первый из них — это направляющий вектор прямой L1
l1 ={1; 2; 2}.
Начало второго вектора расположим в точке M , а конец — в произвольной точке B на прямой L1 (поскольку обе точки лежат
в плоскости α ). Точка B(2; 0;1) находится непосредственно из
→
уравнения прямой. Получаем координаты вектора MB :
→
MB = {0; −1; 4}.
Теперь, зная координаты двух векторов, параллельных плоскости, мы можем найти вектор нормали этой плоскости как их векторное произведение
r |
r |
→ |
|
ir |
rj |
kr |
|
r |
r |
r |
|
|
|||||||||
|
1 |
2 |
2 |
|
||||||
n |
= l1 |
× MB = |
|
|
=10i |
− 4 j |
− k , |
|||
|
|
|
|
0 |
−1 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а затем и написать уравнение самой плоскости
10(x −2)−4(y −1)−1(z −(−3))= 0
или
10x −4 y − z −19 = 0
56

Осталось найти точку M1 . Запишем параметрические урав-
нения прямой L2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
x =1 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
+3 |
|
|
|||||
|
|
|
|
y = 2t |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
z = 4t +3 |
|
|||||||
и подставим их в уравнение плоскости α : |
|
|||||||||||
10 1 −4 (2t +3)−(4t +3)−19 = 0 , |
||||||||||||
|
|
|
|
|
t = −2 . |
|
||||||
Точка пересечения прямой и плоскости — M1 (1; −1; −5). |
||||||||||||
Осталось найти прямую, проходящую через точки M и M1 : |
||||||||||||
|
x −2 |
= |
|
y −1 |
= |
z −(−3) |
, |
|||||
|
|
|
|
|
−5 −3 |
|||||||
|
1 −2 |
|
−1 −1 |
|
|
|||||||
|
|
x −2 |
|
= |
y −1 |
= |
z +3 |
. |
|
|||
|
|
−1 |
|
−2 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
−8 |
|
в) Косинусы углов, которые направляющий вектор прямой составляет с осями координат, являются направляющими косинусами этого вектора, то есть его можно записать так:
r |
|
π |
;cos |
π |
;cos |
2π |
|
2 |
; |
1 |
; − |
1 |
|
l |
= cos |
|
|
|
= |
|
|
|
. |
||||
|
|
4 |
|
3 |
|
3 |
|
2 |
|
2 |
|
2 |
|
Зная точку, через которую проходит прямая, и направляющий вектор этой прямой, мы можем написать уравнения прямой
|
x −2 |
= |
|
y −1 |
= |
z +3 |
|
|
|
2 2 |
|
1 2 |
|
−1 2 |
|
||
|
|
|
||||||
или |
|
|
|
|
|
|
||
|
x −2 = |
|
y −1 |
= z +3 . |
||||
2 |
|
1 |
|
|
−1 |
|||
г) Прежде всего найдём точку M1 — проекцию точки M на пря- |
||||||||
мую L1 . Искомая прямая L2 |
будет проходить через эти две точ- |
|||||||
ки (рис. 20). |
|
|
|
|
|
|
57

L1
α
M1
M
L2
Рис. 20.
Проведём плоскость α через точку M перпендикулярно прямой L1 . Нормальный вектор n плоскости α коллинеарен направляющему вектору прямой L1
n ={−3;4;1},
и мы можем написать уравнение плоскости α
−3(x −2)+ 4(y −1)+1(z +3)= 0
или
−3x + 4 y + z +5 = 0 .
Проекцию M1 найдём как точку пересечения прямой L1 и
плоскости α . Для этого запишем параметрические уравнения прямой
x = −3t +1y = 4t −1
z = t −11
иподставим их в уравнение плоскости
−3(−3t +1)+4(4t −1)+t −11 +5 = 0 ,
t = 12 ,
x = − 12 , y =1, z = −10 12 ,
58

|
M1 |
|
− |
1 |
; 1; −10 |
1 |
|
|
то есть |
|
|
|
. |
||||
2 |
2 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
Осталось провести прямую через точки M и M1
|
x −2 |
= |
y −1 |
|
= |
|
z +3 |
||
|
−1 2 −2 |
1 −1 |
−10.5 +3 |
||||||
|
|
|
|||||||
или |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
x −2 |
= |
y −1 |
= |
|
z +3 |
. |
|
|
|
−2.5 |
0 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
−7.5 |
59