Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
1_Rab_tetr_alg_i_geom (1).pdf
Скачиваний:
72
Добавлен:
18.04.2015
Размер:
752.48 Кб
Скачать

б) пересекает две прямые L :

x 2

=

y

=

z 1

и

 

 

 

 

 

 

 

1

1

2

2

 

 

x 1

 

y 3

 

z 3

 

 

L :

=

=

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

0

2

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

в) образует с осями координат углы, соответственно равные π4 ,

π3 и 2π3;

г) перпендикулярна прямой L1 : x31 = y 4+1 = z +111 и пересе-

кает её.

Решение

Найдём точку пересечения прямой и плоскости. Для этого уравнения прямой запишем в параметрическом виде

x = 2t

y = −t +2z = 3t 6

и подставим в уравнение плоскости:

2 2t (t + 2)+3t 6 = 0 , t =1.

Подставим полученное значение t в уравнения прямой и найдём точку пересечения прямой и плоскости

M (2;1; 3).

а) Зная две точки, сразу можем написать уравнения прямой

 

x 2

 

y 1

z (3)

 

 

 

=

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

5 2

 

1 1

10 (3)

или

 

 

 

y 1

 

 

 

 

 

 

 

x 2

 

=

 

=

z +3

.

3

 

 

 

 

0

 

 

7

б) Проведём плоскость α через точку M и прямую L1 . Искомая прямая будет лежать в этой плоскости и пересечёт прямую L2 в точке M1 , в которой L2 пересечётся с плоскостью α (рис. 19).

55

L2

α

M1

L3

 

 

 

M

 

 

 

L1

 

Рис. 19.

Найдём нормальный вектор плоскости α . Для этого выберем два произвольных вектора, которые параллельны этой плоскости. Пусть первый из них — это направляющий вектор прямой L1

l1 ={1; 2; 2}.

Начало второго вектора расположим в точке M , а конец — в произвольной точке B на прямой L1 (поскольку обе точки лежат

в плоскости α ). Точка B(2; 0;1) находится непосредственно из

уравнения прямой. Получаем координаты вектора MB :

MB = {0; 1; 4}.

Теперь, зная координаты двух векторов, параллельных плоскости, мы можем найти вектор нормали этой плоскости как их векторное произведение

r

r

 

ir

rj

kr

 

r

r

r

 

 

 

1

2

2

 

n

= l1

× MB =

 

 

=10i

4 j

k ,

 

 

 

 

0

1

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а затем и написать уравнение самой плоскости

10(x 2)4(y 1)1(z (3))= 0

или

10x 4 y z 19 = 0

56

Осталось найти точку M1 . Запишем параметрические урав-

нения прямой L2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x =1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+3

 

 

 

 

 

 

y = 2t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z = 4t +3

 

и подставим их в уравнение плоскости α :

 

10 1 4 (2t +3)(4t +3)19 = 0 ,

 

 

 

 

 

t = −2 .

 

Точка пересечения прямой и плоскости — M1 (1; 1; 5).

Осталось найти прямую, проходящую через точки M и M1 :

 

x 2

=

 

y 1

=

z (3)

,

 

 

 

 

 

5 3

 

1 2

 

1 1

 

 

 

 

x 2

 

=

y 1

=

z +3

.

 

 

 

1

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

8

 

в) Косинусы углов, которые направляющий вектор прямой составляет с осями координат, являются направляющими косинусами этого вектора, то есть его можно записать так:

r

 

π

;cos

π

;cos

2π

 

2

;

1

;

1

 

l

= cos

 

 

 

=

 

 

 

.

 

 

4

 

3

 

3

 

2

 

2

 

2

 

Зная точку, через которую проходит прямая, и направляющий вектор этой прямой, мы можем написать уравнения прямой

 

x 2

=

 

y 1

=

z +3

 

 

2 2

 

1 2

 

1 2

 

 

 

 

или

 

 

 

 

 

 

 

x 2 =

 

y 1

= z +3 .

2

 

1

 

 

1

г) Прежде всего найдём точку M1 — проекцию точки M на пря-

мую L1 . Искомая прямая L2

будет проходить через эти две точ-

ки (рис. 20).

 

 

 

 

 

 

57

L1

α

M1

M

L2

Рис. 20.

Проведём плоскость α через точку M перпендикулярно прямой L1 . Нормальный вектор n плоскости α коллинеарен направляющему вектору прямой L1

n ={3;4;1},

и мы можем написать уравнение плоскости α

3(x 2)+ 4(y 1)+1(z +3)= 0

или

3x + 4 y + z +5 = 0 .

Проекцию M1 найдём как точку пересечения прямой L1 и

плоскости α . Для этого запишем параметрические уравнения прямой

x = −3t +1y = 4t 1

z = t 11

иподставим их в уравнение плоскости

3(3t +1)+4(4t 1)+t 11 +5 = 0 ,

t = 12 ,

x = − 12 , y =1, z = −10 12 ,

58

 

M1

 

1

; 1; 10

1

 

то есть

 

 

 

.

2

2

 

 

 

 

 

 

Осталось провести прямую через точки M и M1

 

x 2

=

y 1

 

=

 

z +3

 

1 2 2

1 1

10.5 +3

 

 

 

или

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 2

=

y 1

=

 

z +3

.

 

 

2.5

0

 

 

 

 

 

 

 

 

7.5

59

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]