Справочный материал для задачи 14

Плоскость в пространстве задаётся общим уравнением

Ax + By +Cz + D = 0

и уравнением вида

A(x − x0 )+ B(y − y0 )+C(z − z0 )= 0 .

Здесь nr ={A; B;C}— вектор нормали или нормальный вектор

(он перпендикулярен плоскости), M0 (x0; y0; z0 ) — точка, через которую проходит плоскость (рис. 16).

n

M 0

Рис. 16.

Рассмотрим несколько частных случаев.

1.A = 0 — плоскость параллельна координатной оси Ox .

2.B = 0 — плоскость параллельна координатной оси Oy .

3.C = 0 — плоскость параллельна координатной оси Oz .

4.A = B = 0 — плоскость параллельна координатной плоскости

Oxy .

5.A =C = 0 — плоскость параллельна координатной плоскости

Oxz .

42

Угол между плоскостями равен углу между их нормалями. Параллельность плоскостей равносильна коллинеарности векторов нормалей. Перпендикулярность плоскостей означает перпендикулярность векторов нормалей.

Задача 14.1

Написать уравнение плоскости, походящей через точку M (2;0;−4) и проходящей:

а) через ось Oy ;

б) перпендикулярно оси Oy ;

в) перпендикулярно линии пересечения плоскостей x − y +2z = 0

и 2x − y = 0 ;

г) параллельно плоскости 2x −5y + z +1 = 0 ;

д) таким образом, что она отсекает от осей координат равные отрезки в отрицательном направлении;

е) через линию пересечения плоскостей x −3y + z = 0 и 2x + y − z −1 = 0 .

Решение задачи

а) Плоскость проходит через ось Oy , следовательно, её нор-

Получаем уравнение плоскости

− 4(x − 2)+ 0(y − 0)− 2(z − (− 4))= 0

или

2x + z = 0 .

44

б) Плоскость перпендикулярна оси Oy , то есть вектор нормали коллинеарен вектору j . Поэтому мы можем положить A = 0 ,

B =1 , C = 0 , и сразу получаем искомое уравнение плоскости y = 0 .

в) Вектор нормали искомой плоскости перпендикулярен векторам нормалей плоскостей x − y +2z = 0 и 2x − y = 0 , то есть колли-

неарен их векторному произведению n = n1 ×nr2 ,

где nr1 ={1;−1;2}, n2 ={2;−1;0}.

Теперь можем записать уравнение плоскости

2(x −2)+4(y −0)+1(z −(−4))= 0

или

2x +4 y + z = 0 .

г) Нормали плоскостей коллинеарны, следовательно, для искомой плоскости n ={2;−5;1}, и её уравнение

2(x −2)−5(y −0)+1(z −(−4))= 0

или

2x −5y + z = 0 .

д) Воспользуемся уравнением плоскости в отрезках на осях. Поскольку отрезки равные и отрицательные, уравнение можно записать в виде

−xa + −ya + −za =1.

Значение a ( a > 0 ) найдём, подставив в уравнение координаты

точки M

−2a + −0a + −−a4 =1, a = 2 .

Окончательно

45

−x2 + −y2 + −z2 =1

или

x + y + z +2 = 0 .

е) На линии пересечения плоскостей найдём две произвольные точкиM1 и M2 , после чего сможем построить плоскость, прохо-

дящую через три точки. Для этого решим методом Гаусса систему уравнений

x −3y + z = 02x + y − z −1 = 0

бодная. Подставив вместо z любое число, мы получим какуюнибудь точку на линии пересечения плоскостей.

Найдём вначале точку M1 . Положим z = 0 . Оставшиеся две координаты будут решением системы линейных уравнений

Отсюда y =17 и x = 37 . То есть M1(3 7;1 7;0).

Теперь отыщем точку M2 . Пусть z = −13 . Абсцисса и ордината точки есть решение системы линейных уравнений

Тогда M2 (1 3;0;−1 3).

Найдём два вектора, параллельных искомой плоскости. Пусть

→ →

это будут MM1 и MM2 .

→

MM1 ={3 7 −2;1 7 −0;0 −(−4)}={−117;17;4},

46