Решение задачи 10

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Санкт-Петербургский государственный морской технический университет

Предмет:

Высшая математика

Файл:

2_Rabochaya_tetrad_po_teorii_predelov (1).pdf

Скачиваний:

Добавлен:

18.04.2015

Размер:

586.37 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1819 / 1919

Определение 7

Точка разрыва x0 называется точкой разрыва второго рода

функции y = f (x), если в этой точке хотя бы один из

односторонних	пределов lim	f (x) или	lim		f (x) не
	x→x0 −0		x→x0	+0
существует или бесконечен.
	Решение задачи 10		f1(x)
а) Каждая	составляющая	функции	f1(x)		является

элементарной и, следовательно, непрерывной функцией. Поэтому разрывы возможны лишь в точках «соединения» этих составляющих.

x =1:

Значение f1(1) не определено.

lim	f	1	(x)=	lim		(− x2 −2x)= −3 ,
x→1−0				x→1−0
lim f1(x)=					lim (3x −6)= −3 .
x→1+0				x→1+0
Следовательно,	точка			x =1 -			точка		устранимого	разрыва
первого рода.
x = 3 :
Значение f1(3)= 3 3 − 6 = 3 .
lim			f1(x)=		lim		(3x −6)= 3 ,
x→3	−0				x→3	−0
			f (x)=					1	= +∞.
lim			f (x)=		lim				= +∞.
lim		0	1		lim			−3
x→3	+	0			x→3+0 x			−3
Следовательно,	точка			x = 3			является точкой			разрыва
второго рода.
График функции y = f1(x) изображен на рис. 10.

0	1	3		x
−3
		Рис. 10.
Разрыв в точке	x =1 можно устранить,			доопределив f1(x)
следующим образом:
~		f1(x), еслиx ≠		1
f1	(x)=		еслиx =1	.
		−3,	еслиx =1
б) Областью определения			функции f2 (x) является вся

числовая ось за исключением точек x =1 и x = 2 , в которых обращается в ноль знаменатель. В этих точках функция разрывна. Вычислим односторонние пределы и установим тип разрывов.

x =1:

Значение f2 (1) не определено.

lim f2 (x)=

x−1

lim 2

x−1

lim 2

x2 −3x+2

(x−

1)(x

−2)

x→1−0

−(x −1)

−1

= lim

(x −1)(x −2)

lim

(x −2)

= 2 ,

x→1−0

f2 (x)=

x −1

lim 2

x −1

lim

lim 2

x2 −3x+2

(x−

1)(x

−2)

x→1+0

(x−1)

−1 = 1 .

lim 2

(x−1)(x−2)

= lim 2

(x−2)

= 2

x→1+0

Таким образом, точка x =1 - точка неустранимого разрыва первого рода. Скачок функции в этой точке равен δ = 2 − 12 =1 12 .

x = 2 :

Значение f2 (2) не определено.

f2 (x)= lim

x −1

= 2−∞ = 0 ,

lim

x 2 −3x +2

lim

(x −

1)(x

−2)

x→2 −0

x→2−0

x→2 −0

f2 (x)= lim

x −1

= 2+∞ = +∞.

lim

x2 −3x +2

lim

(x−

1)(x

−2)

x→2+0

Следовательно,

точка x = 2

является точкой разрыва

второго рода.

График функции y = f2 (x) см. на рис. 11. y

0,5

0 1 2 x

Рис. 11.

Задание к типовому расчету

Задачи 1-2

На языке окрестностей и на языке "ε − δ " сформулировать

определения предела функции в точке и одностороннего предела, соответствующие символическим равенствам.

Задачи 3-7

Вычислить пределы функций (не пользуясь правилом Лопиталя).

Задача 8

Определить порядок функций f1 (x) и f2 (x)относительно x ,

предварительно установив, являются ли они в точке x0 бесконечно малыми или бесконечно большими. Сравнить функции f1 (x) и f2 (x). Выделить главную часть.

Задача 9

Определить характер функций (б. б. или б. м.) f1 (x), f2 (x), f3 (x) в точке x0 и выделить главную часть.

Задача 10

Исследовать функции f1 (x) и f2 (x) на непрерывность,

установить тип точек разрыва, построить графики функций в окрестности точек разрыва.

						Вариант 1
1.	lim f (x) = −3 .
	x→5	log4 (x − 2) = −∞.
2.	lim	log4 (x − 2) = −∞.
	x→2+0
3.	lim	x3	+ 2x2 − 4x −8				.
3.	lim				x3	+8	.
	x→−2				x3	+8
4.	lim		x	2	−	2x −1 − x		2	−7x +3
4.	lim		x		−	2x −1 − x			−7x +3	.
	x→±∞

5.lim 2 sin x −1 .

π6 sin 6xx→

lim

ln(4x −1)

1 −cosπ x −

x→1

ctg2 x

−

lim

cos x

x→0

а) f

(x) = 3arcsin(2x2 + x4 ),

б) f2 (x) = tg 2

x(1 −cos 2

x),

x0 = 0 .

а) f1

(x) =

3cos 4x

x0 = 0,

esin 2x −esin x

б) f2 (x) = (3x2 +1) tg

, x0 = ∞,

в) f3 (x) = tg 3π x,

x0 = 2 .

sin x, x < 0,

+ 2

10. а) f1 (x) =

x3 ,

0 < x ≤ 2, б) f2

(x) =

+ x .

+ 2

− x , x > 2

Вариант 2

lim f (x) = +∞ .

x→3−0

lim

= 0 .

x→−∞ x

lim

x2 −8x +12

−7x

x→6 x

lim

x2 −25

−

x→5

x −1

1−sin

lim

x→π

π − x

lim

ln(x2 + 2x) −ln(x2 +3)

x→∞

e x2 −1 −1

(2 −cos 3x)

ln(1+x2 )

lim

x→0

а) f1 (x) = sinπ(x +5),

б) f2 (x) = (e3x −1)2 , x0 = 0 .

9.а)

б)

в)

10.а)

f1(x) =	1	, x0	=1,
	x2 − x +1 −1

f2 (x) = (2x +3)(x + 3 x),			x0 = ∞,

f3 (x) = cos x −3 cos x , x0

		− x2 , x < 0
	4
f1			< x ≤ 4 , б)
	(x) = 4ex , 0
		1
			x > 4

	x −4 ,

= 0 .

x − 2 f2 (x) = x + 2 x − 2 .

lim f (x) = −∞.

Вариант 3

x→+0

lim

= +∞ .

(x −1)2

x→1

lim

2x2 + x −1

−3x

−2

x→−1 x

lim

x −2

x −4

x→16

lim

ln(1−7x)

x→0sin(π(x +7))

lim

tg(3 x

−3)

x→π

cos

−1

ctg 2x

lim

(cos x) sin 3x .

x→2π

а) f (x) = sin(x

x +e2x −1),

б) f2 (x) = x tg 3 x ,

x0 = 0 .

а) f (x) = ln(13 −3x2 ),

= −2,

б) f2 (x) = (x2 −3x) tg 2x2 , x0 = 0,

в) f3 (x) = x x(x + x2 +1) , x0 = ∞.

, x < −3

x +3

10. а) f1 (x) = x +3,

−3 ≤ x ≤ 0 , б) f2

(x) =

x > 0

−9

Вариант 4

1. lim f (x) = 0 . x→+∞

2. lim ex =1. x→−0

3. lim	(1	+ x)3 −(1+3x)
3. lim		x + x5
x→0		x + x5

4.lim (x +3 1− x3 ) .

x→∞

5.	lim		3x+1 −3
					1 + xe2x
	x→0 ln(1 + x
			sin	x2
6.	lim			π		.

		2	sin x+1
	x→π				− 2

sin π2x

7. lim (2 − x )ln(2−x). x→1

)

8.	а) f1 (x) = 5x3 +3x2 arctg x,
	б) f2 (x) =			1		,	x0 =1.
	б) f2 (x) =					,	x0 =1.
	(1	− x2 ) sinπ x
9.	а) f1 (x) = tg 2 x −sin 2 x,						x0 = 0,
	б) f2 (x) = (x2 −3x) tg 2x2 , x0 = 0,
	в) f3(x) =ln(x + 2) −ln x,						x0 = ∞.
	x2 + 2x,				x < 0
			3					1
10. а) f1(x) = − x				, 0	< x <		2 , б) f2 (x) =		.
10. а) f1(x) = − x				, 0	< x <		2 , б) f2 (x) =	(x − 2)(x +1)	.
	x	+3,			x ≥ 2			(x − 2)(x +1)
	x	+3,			x ≥ 2

lim

f (x) = 0 .

Вариант 5

x→−∞

lim

= +∞.

x→−4+0 x + 4

lim

x3 + 2x2 − x −2

+ x

x→−1

lim

x +13 − 2

x +1 .

x→3

x2 −9

lim

sin(α + x) −sin(α − x)

x→0

lim

tg(x +1)

x→−1

3 х3 −4х2 +6

−e

lim

2x −1

3 x −1

x→1

а) f (x) = ln(1+ x2 + x5 ),

б) f2 (x) = 3x + x x ,

x0 = 0

а) f (x) =1−cos3 x,

= 0,

3x + 7

б) f2 (x) =

x0 = −3,

x2 − x −12

в) f3 (x) = 4 x4 + x2 + x3 ,


		e	x	,		x < 0
		e		,		x < 0
10. а) f1						0 < x ≤ 2,
10. а) f1	(x) = x +1,					0 < x ≤ 2,
			1
					,	x > 2
					,	x > 2
			−2
	x		−2

x0 = ∞.

б) f2	(x) =	cos x −1	.

		x2

lim

f (x) = +∞.

Вариант 6

x→−∞

lim

arcsin x = −π .

x→−1+0

lim

(x2 + 2x −3)

+ 4x

3х

x→−3 x

+ 4

−

x +3

lim

x→∞

lim

sin 3x −sin 2x

x→0 ln(1 + 2 tg 3x)

lim

x2 −3x +3 −1

sin π x

x→1

3x+2

lim(2ex−2 −1 )x−2 .

x→2

а) f1 (x) = (3x +1) arctg 4x2 ,

б) f2 (x) = x x2 +1,

x0 = 0 .

а) f (x) = sin

x(e2

x −1),

x +3

б) f2 (x) =

x0 =1,

3 −1)2

в) f3 (x) = sin

arcsin

3 x

5x2 +3

x < −1

10. а) f1(x) =

≤1

б)

ln(x −

1),

x >1

= 0,

x0 = ∞ .

f2 (x) =	1		.
		1

5 + 2 x

Вариант 7

1.lim f (x) =1.

x→−1

2.lim log0,5 х = +∞.

x→+0

lim

(2x2 − x −1)

− x

−2

x→1 x

8 +3x − x2

−2

lim

3 x2 + х3

x→0

lim

cos 2x −cos x

x→0

1 −cos x

lim

ln(x2 −1) −ln(x +1)

3 x −1

−1

x→2

lim(cos

x )

x→+0

а) f1 (x) = ln(1 +

x sin x),

б) f2 (x) = e2x −1,

x0 = 0 .

а) f (x) = e2x +e

−x −2, x

= 0,

x −3

б) f2 (x) =

, x0 = 2,

sin 2 π x

в) f3 (x) = (2x2 +3x) arctg 3x2 ,

x0 = ∞.

x < −3

10. а) f1(x) =

−3≤x≤ 3 ,

б) f2 (x) =

6 − x ,

x > 3

5 +3 x

Вариант 8

1.	lim f (x) = 2 .
	x→−∞
2.	lim tg x = +∞.
	x→π −0
	2
3.	lim	x4 − x3		+ x −1									.
3.	lim		2x2 − x −1										.
	x→1		2x2 − x −1
4.	lim		1−2x	− x2 −(1+ x)														.
4.	lim						x											.
	x→0						x
	lim	esin 2x −esin x
5.												.
5.			tg 3x									.
	limx→0		tg 3x
6.			ln(x + 2)−ln(2x −1)														.
6.																	.
	x→3		sinπx											3
	lim[1 −ln(1 + x3 )]													3
7.	lim[1 −ln(1 + x3 )]												x2 arcsin x					.
	x →0
8.	а) f1(x) = x2 +3 x +4x3,
	б) f2 (x) = x2 −2x +3,																		x0 = ∞.
9.	а) f1 (x) = ln(1 + 2 sin														x + tg 2 x), x0 = 0,
	б) f2 (x) = tg					π x				,				x0 = 5,
	б) f2 (x) = tg									,				x0 = 5,
							2
	в) f3		(x) =			x					sin			x	2			,		x0 = ∞.
			x	2 +5										x		x

					x		2	,					x ≤ 0
					x			,					x ≤ 0						1		1
10. а) f1			(x) =		1				,			0 < x <							1	, б) f2 (x) = arctg	1	.
10. а) f1			(x) =		2				,			0 < x <						2		, б) f2 (x) = arctg		.
			x											1				2			x2 −1
				4,							x		>	1

														2
														2

Вариант 9

lim f (x) = 4 .

x→−2

lim log2 x = −∞ .

x→+0

lim

x3 −3x + 2

− x

− x +1

x→1 x

lim

x +1 −

1− x .

x→0

7 x

cos(x +

5π

) tg x

lim

arcsin 2x2

x→0

lim

ln(5−2 x)

x→2

10 −3x −2

lim (cos x)

x→0

а) f (x) = x2 +3 x +1,

б) f2 (x) = x2 +5x +1, x0 = ∞ .

а) f1 (x) = tg x − 2 sin x , x0 = 0,

б) f2 (x) =

2x +3

x0 =π,

sin 3x

в) f3 (x) = ln(x2 + x) −ln(x2 +1), x0 = ∞ .

sin x,

x ≤ 0

− x3

10. а) f1(x) =

cos x,

0 < x ≤π , б) f2

(x) =

x −1

x >π

−π

lim f (x) = +∞.

Вариант 10

x→0

lim arcsin x = π2 .

x→1−0

lim

x2 + 2x −3

+3x

x→−3 x

lim

3 x −1

1+ x −

x→1

lim

1 −cos 2x

x→0 cos 7x −cos 3x

lim

ln(x2 −1) −ln(x +1)

3 x −1 −1

x→2

2 −

arctg2

sin x

lim

x→0

а) f1 (x) = x2 + 6x,

б) f2 (x) = ln(1 + 2 tg x),

x0 = 0 .

а) f1(x) = arcsin 3x −sin 4x, x0 = 0,

б) f2 (x) =

2x −1

x0 = −3,

ln(4 + x)

в) f3 (x) =

2x2

−3x

3 + 4

x +5

x0 = ∞ .

+ 4x

x +1,

x ≤2

10. а) f1(x) =

+11,

2 < x <4,

б) f2 (x) = 2 x

−1 .

x2 −6x

2x −5,

x >4

Вариант 11

lim

f (x) = +∞.

x→−∞

lim sin x =1.

x→π

lim

(x2 + 2x −3)2

x→−3 x

lim

3 x −6 + 2

x + 2

x→−2

lim

x2 − 2x

x→0 tg[2π (x + 0,5)]

lim

ln 2x −lnπ

x→π2

sin

cos x

1/ tg2 x

lim

−

cos x

x→0

а) f (x) = 6x3 + x6 +1,

б) f2 (x) = 3 x9 +1 + x2 ,

x0 = ∞ .

а) f

−

= 0,

(x) = e

1 sin 2x,

б) f2 (x) =

x0 = −3,

ln 2 (x2 −8)

в) f3 (x) =

x0 = ∞.

2 + x

−x,

x ≤−1

10. а) f1(x) =

−1< x <0

б) f2 (x) = e

x .

−2x

+x,

x ≥0

Вариант 12

1. lim f (x) = +∞. x→3−0

2.lim log1 x = −∞ .

x→+∞ 3

lim

x4 −1

2x4 − x2

−

x→1

lim

9 + 2x −5 .

x→8

3 x − 2

lim

ln cos2x

sin

x→0

lim

35x−3 −32x2

x→1

ln(5x2 −4x)

lim

5 −

sin2 3x

(

cos x )

x→0

а) f1 (x) = (e2x −1)2 ,

б) f2 (x) =1−cos3 x ,

x0 = 0 .

а) f (x) = 5 1+3 x −1,

= 0,

2x +1

б) f2 (x) =

, x0 = −1,

x3 + 2x2 + x)

в) f

(x) = arctg 4x e

−1 ,

= ∞.

х<−2

х+2

10. а) f

(x) =

−2 ≤ x <0, б) f

(x) = e

x+1

<∞

sin x, 0 <x

Вариант 13

1. lim f (x) = −∞. x→3+0

2. lim 1 = 0 . x→+∞ x

lim

x3 −3x − 2

+ 2x

− x −

x→−1 x

(x +

−

(x −1)

lim

x→∞

lim

sin 7π x

x→2

tg 8π x

lim

a x2 −a2

−1

x→a

tg ln

lim x2

2 −cos x .

x→0

а) f

(x) = sin 3

x(1 −cos x),

б) f2 (x) = tg(π(x −5)), x0 = 0 .

а) f

(x) =

x +6

, x

=3,

2x −

б) f2 (x) = x−1 (ln(x +1)−ln x),

x0 = ∞,

в) f3 (x) = x2 + 2x +3sin 2 x − 4 tg x,

x0 = 0 .

− x

x <0

e4x

−1

б) f2

(x)=

10. а) f1

(x) =

tg x,

0 < x <

x ≥

Вариант 14

1.lim f (x) = 3 .

x→−∞

2.lim log2 (x −1) = −∞.

x→1+0

3.	lim		x3 + 4x2 +3x									.
3.	lim											.
	x →−3				x2 + x −6
4.				3	(x +1)			2	−	3	(x
4.	lim				(x +1)				−		(x
	x →∞
5.	lim			2sin x −					3	.
5.	lim				cos	3x				.
	x →π					3x
	x →π	3				2
		3				2
	lim				arcsin		x+2
6.					arcsin						.
								2

	x →−2 3 2+x+x2								−9
	lim(2 −ex2 )								1
7.	lim(2 −ex2 )							1−cosπx			.

x→0

−1)2 .

8. а) f1 (x) = 4−3x2 −1
б) f2 (x) = sin 5x −3sin 2x ,							x0 = 0 .
9. а) f1	(x) =	1		, x0 =π,
9. а) f1	(x) =		x sin 3x	, x0 =π,
			x sin 3x
б) f2	(x) =		(2x +3)3		(3x − 2)	3	,	x0 = ∞,
б) f2	(x) =		x4		+1		,	x0 = ∞,
			x4		+1
в) f3 (x) = arctg(				4 + x2 − 2) ,				x0 = 0 .
		3x +1,			x <1			x −	1

10. а) f1	(x) =				1 < x ≤ 3,				x .
10. а) f1	(x) =	2x + 2,			1 < x ≤ 3,			б) f2 (x) = 2	x .

		lg(x −3), x > 3

Вариант 15

lim

f (x) = +∞.

x →3 +0

lim

= 0 .

x →−∞ x2

lim

x4 −1

x →1 x

3 − x2 − x +1

lim

1 − x −3 .

x →−8

2 +3 x

lim

1 + xsin x −cos 2x

x →0

sin 2 x

lim

x2 − x +1 −1 .

x →1

ln x

lim[1 −ln(1+3 x)]

sin4 3 x

x →0

а) f1 (x) = arctg (x2 +3x) ,

б) f2 (x) =1 − 3x +1 , x0 = 0 .

а) f (x) = 1 + x2 +3x −1, x

= 0 ,

б) f2 (x) = 2

cos2 x−1

− 2 −5х ,

x0 =π 2,

в) f3 (x) = x2 +

x sin

1 ,

x0 = ∞.

x < −3

f2 (x) = arctg

10. а) f1 (x) = | x |,

−3 < x ≤

б)

x +3

−3),

x >

ln(x

Вариант 16

1.lim f (x) =1 .

x→10

2.lim 3x = +∞.

x→+∞

3.	lim		x3 −8			.
					8
	x →2 x3 + 2x2 −4x −
4.	lim(		(x + a)(x +b)− x).
	x→±∞
5.	lim	1 + cosπx		.

	x→1		tg 2 πx
6.	lim esin2 6x −esin2 3x .
	x → π		log3 cos 6x
	3

7.lim(3 − 2 cos x)−cosec2 x .

x→0

8. а) f1(x) =

−

3x +1

б) f2

(x) =

x0 = 0 .

3x2

9. а) f1 (x) = 3 x + 2 −2,

x0 = 6 ,

б) f2

(x) =

3cos 2x

, x0 = 0,

1 − 4−sin 2x

в) f3 (x) = 2x2 −3 x8 −5x2 +1 , x0 = ∞.

x < 0

10. а) f1 (x) =

cos x,

0 < x <π, б) f2

(x) =

− 4

x ≥π

π ,

Вариант 17

1.lim f (x) = 4 .

x→−∞

2.	lim		1	= −∞.

	x →−5 −0 x +5
	xlim→−1	(x3 −2x −1)2
3.			(x4 + 2x +1)		.
4.	lim		1 +3x	2 −(1 + х)		.
				3 x
	x →0

5.	lim1 − cos x .
	x →0	xsin 2 x
6.	lim	x2 − x +1 −1 .
	x →1	tgπx

7.lim sin x x−3 .

x→3 sin 3

8.а) f1 (x) =1 −cos10x2 ,

б) f2 (x) = 1 + x −1, x0 = 0 .

9. а) f (x) = ln(1 + 2x							x +3x2 ) ,
1				1
б) f2	(x) =			1		,	x0 = 3,
б) f2	(x) =					,	x0 = 3,
			2 x −8					1
в) f3	(x) = arctg 3 x sin							1	,
в) f3	(x) = arctg 3 x sin							x + 2x2	,
								x + 2x2
		x3 ,				−∞ < x < 0
				2
10. а) f1	(x) =			2	+1,		0 ≤ x < 4,
10. а) f1	(x) =	x			+1,		0 ≤ x < 4,
		lg(x − 4),						x > 4

x0 = 0 ,

x0 = ∞ .

б) f2 (x) = x + xx ++ 22 .

Вариант 18

1.lim f (x) = 0 .

x→+∞

2. lim	1	= −∞ .
	x +3
x →−3 −0

3.lim x4 + 2x +1 .

x→−1 x2 − x −2

4.lim 3 x −6 + 2 .

x→− 3 +82 x

5.lim1 − cos x . x →0 1 −cos x

6.lim 2cos2 x −1 .

x→π 2 ln sin x

2x −1

x −1

7. lim

x →1

8. а) f1 (x) = x3 5x3 + 4 x12 +1,

б) f2 (x) = (x2 −1)2 − x4 ,

x0 = ∞ .

9. а) f1 (x) =

x0 =1,

sinπx

б) f

= ∞,

(x) = x x x +

в) f3 (x) = sin 2

x ( tg 3x −2 tg 5x) , x0 = 0 .

x < −2

10. а) f

(x) =

| x

| x |< 2

б) f

(x) =

sin x

(x − 2)−1, x > 2

			Вариант 19
1.	lim f (x) = −3 .
	x→+∞
2.	lim tg x = −∞ .
	x → π2 +0
3.	lim	x3 −3x2 + 4	.

	x →2	x4 −4x2
4.	lim	9 +2x −5 .
	x →8	3 x −2

5.lim1 −cos 2x + tg 2 x .

x→0 x sin 2 3x

lim

lg x −1 .

x →10

x −9 −

lim(2ex−1 −1)

x−1

x →1

а) f1 (x) = arcsin(3x +5x3 ),

б) f2 (x) = 2 x2 −1, x0 = 0 .

а) f (x) = e3x

−cos 6x,

= 0 ,

x +1

б) f2

(x) =

x0 =1,

x2 − 4x +3

в) f3 (x) = (x2 + 4)2 16x4 +1, x0 = ∞.

x < −1

−

10. а) f

−1 ≤х ≤1,

б) f

(x) = | x |,

(x) = e x

1 − x2 ,

x >1

Вариант 20

1.lim f (x) = +∞.

x→4

2.lim x3 = −1 .

x→−1

lim

−

− x2

x →−4 x +

lim

+5x + 4 −

+ x .

x →+∞

lim

1 −2 cos x

x →π

π −3x

x+2

−e

x2 −4

tg e

lim

ln(3x +7)

x →−2

lim[1 − x sin 2 x]

ln(1+π x3 )

x →0

а) f1 (x) = x2 +6x +3 x,

б) f2

(x) =

x0 = ∞.

(2x +1)sin

а) f1 (x) = 2x +3arcsin 2 x −3arctg 4x ,

x0 = 0 ,

б) f2 (x) =

x0 =1,

sin π x tg 3π x

в) f3 (x) = x( x + 2 + x −3), x0 = ∞ .

10. а) f1 (x) =

| x |,

x ≤ 2

, б) f2 (x) =

− 2),

(1 − x)2

lg(x

x > 2

Вариант 21

1.lim f (x) = −∞.

x→−∞

2.lim x2 = 4 .

x→2

3. lim	x3	−3x −2		.
		2x2	− x −2
x →−1 x3 +

4.lim(x +3 1 − x3 ) .

x→∞

lim

1 − 2 cos x

x →π 3

sin(π −3x)

lim

esin 2x −etg 2x

x →π 2

ln π2х

4x2

lim

x →∞ x

8. а) f (x)

−x2

= 5

−1 x,

б) f2 (x) = (1 −cos 6x)tg 2x ,

x0 = 0 .

9. а) f (x) = 3 x2 −23 x +1,

=1,

= (x2 +5x)2 tg

б) f2 (x)

x0 = ∞,

x +1

в) f3 (x) = ex2

+ e−3x

+ 2 sin 2 x − 2 , x0 = 0 .

4 x

x <1

10. а) f

(x)

= 5 − x2

1 < x ≤ 4,

б) f

(x) = arctg

x + 2

lg(x −

4),

x > 4

Вариант 22

1.lim f (x) = 2 .

x→+∞

2.	lim	1		= +∞.

	x →−5 +0 x +5
3.	lim	4x2 −5x −6				.

	x →2 3x3 −7x2 + 2x
4.	lim 3 1 + x −1 .
	x →0	1 + x −1
5.	lim	cos 4x −1 .
	x →0	sin 2 8x
6.	lim		2sinπ x −1		.

	x →2 ln(x2 −2x +1)

7.lim(cos x +sin x) x

x→0

8.а) f1 (x) = (1 −e−6x ) cos 2x,

б) f2 (x) = ln(1 + 2sin			x + x),			x0 = 0 .
9. а) f (x) =	3cos2 x	,	x	0	= 0 ,

1	e2x −cos x

б) f2 (x) = x2 +3x −9 −1, x0 = 2,
в) f3 (x) = x(x3 + 2) + 2x2 ,						x0 = ∞.

ex , x

10. а) f1(x) = 1 ,0

3x +

≤ 0
< x < 5, б) f2 (x) =	π (x −1)	+ arctg	1

	2 \| x −1 \|		x −1
4,x ≥ 5	2 \| x −1 \|		x −1
4,x ≥ 5

Вариант 23

1.lim f (x) = −5 .

x→−∞

2.limctg x = +∞.

x→+0

3.lim x4 + 2x3 + x2 .

x→−1 x4 + 2x +1

4. lim x 2 ( x3 + 2 − x3 − 2) .

x →+∞

5.	lim		(2x −1)2	.
5.	lim		esinπ x −e−sin 3π x	.
	x →	1	esinπ x −e−sin 3π x
	2
6.	lim ln(1 + x 1 + xex ) .
	x →0		cos x −1
			5

7.lim (cos x) tg 5xsin 2x .

x→4π

8.а) f1 (x) = (2 − x)4 −(3 + x)4 ,

б) f2 (x) =

(x3 +3x2 )

, x0 = ∞.

sin

9. а) f (x) = 4 x4

+ x2 + x3 , x

= ∞,

б) f2 (x) = ln(1 + 2sin 2x + tg 2

x) ,

x0 = 0,

в) f3 (x) = (x3 −1)2 3 x −1,

x0 =1.

−1,

x ≤ −π / 2

sin 4x

(x) =

10. а) f1 (x) = tg x,

−π / 2 < x < 0, б)

| x |

x > 0

Вариант 24

1.lim f (x) = −∞ .

x→−3 −0

2.limcos x = −1 .

x→π

3. lim	x3	−8	.
		3x −2
x →2 x3 −

4.	lim (	x2 −5x + 6 − x) .
	x →+∞
5.	lim 2cos2 x −1 .
	π	ln sin x
	x → 2
6.	3	cos2 x −3 cos x	.
6.	lim	sin 2 x	.
	x →0	sin 2 x
		1

7.lim(cos3π x) xsin 2π x .

x→0

8.а) f1 (x) = (x2 −3x + 2)(x2 − 2) ,

б) f2 (x) = 3x3 −1 + (x − 2)3 , x0 = ∞ . 9. а) f1 (x) = (x2 + 2x)(1 − cos x) , x0 = 0 ,

б) f2 (x) = ctg 8π x , x0 = 2,

в) f3

10. а) f1

(x) =	3	− 2 arcsin				1
(x) =	x3	− 2 arcsin				x2
	x3					x2
				x
	1				x < 0
			,
			,
	3
(x) =		+1, 0 < x ≤
(x) =	x	+1, 0 < x ≤
	lg(x −3),					x >

3 ,

x0 = ∞.

б) f2 (x) = 1 1 . 1 + 6 x

Вариант 25

1. lim f (x) = −∞.

x →4 −0

2.lim 4−x = 0 .

x→+∞

3.lim (1 + x)3 −(1 +3x) .

x→0 2 + x5x

4.			3	−	2
	lim		1 −				.
	x →1			x 1 −3 x
5.	lim	sin 4x − 2 sin 2x				.

	x →0		x ln cos 6x
6.	lim		2x − 3x2 −5x + 2					.

	x →2			arctg	х−2
					2

7.lim(2 −3arctg2 x ) sin x .

x→0

8.а) f1 (x) = sin10x − 4 sin x2 ,

б) f2 (x) = e6x2 −1,

x0 = 0 .

9. а) f (x) = (x + 2)(ex2 −5 −e−1 ) , x

= −2 ,

π x

б) f2

(x) =1 −sin

, x0 =1,

в) f3 (x) = 2x2 − 4 3 x12 −5x3 +1 , x0 = ∞.

−∞ < x ≤1

x − x

10. а) f

(x) =

, б) f

(x)

= x

x >1

lg(x −1),

Вариант 26

1.lim f (x) = 0 .

x→0

2.lim tg x = +∞.

x→ π2 −0

3.lim 3x3 −7x2 + 2x .

x→2 4x2 −5x −6

4.lim 4 x −1 .

x→1 3 x −1

5.lim tg(3 x −3) .

x→π 3cos32x −1

6. lim	3 2 +3x −	2x	.
	ln(x + 2) −	2 ln x
x →2

ctg 2x

7.lim (cosx) sin 3x .

x→2π

8.а) f1 (x) = 3х2 +2х1 arctg x ,

б) f2	(x) = x sin	х+1			, x0 = ∞.
		3	+3
	5	х		х

9.а)

б)

в)

10.а)

f1 (x) f2 (x) f3 (x)

f1 (x)

= ln(x2 + 4) −ln(x +10), x0 = 3 ,

= e−x2 + cos x − 2 ,				x0 = 0,
= 4 9x8 +1 +3x2 , x0 = ∞.
2−x ,			x < 0			1
				/ 2, б) f2	(x) =	1
= cos x,			0 < x ≤π				.
= cos x,			0 < x ≤π			+3−1 x	.
	1	,	x >π / 2		2	+3−1 x
	x−π / 2	,	x >π / 2

Вариант 27

1.lim f (x) = −10 .

x→−∞

2.lim log2 x = +∞.

x→+∞

3.lim x3 −3x − 2 .

x→−1 x + x2

4.	lim	3 27 + x −3 27 − x		.
		3 x2 +5 x
	x →0
5.	lim	sin 2x −2sin x	.

	x →0	x ln(1 − xsin x)
6.	lim	x2 −5x +5 −1 .
	x →1	tgπ x

7.lim(2 −earcsin2 x ) х .

x→0

8.а) f1 (x) = 1 +3x2 −1,

б) f2 (x) = x tg

2π

(x +

) ,

x0 = 0 .

9. а) f1 (x) = 2 x (1 −cos3 2x),

x0 = 0 ,

б) f2 (x) =

x2 +5

, x0

= 2,

x3 −

в) f3 (x) = (2x3 + 4x) tg

x0 = ∞.

x < −2

х+2 ,

sin x

б) f2

(x) =

10. а) f1 (x) =

| x |,

| x |< 2 ,

x |

x > 2

Вариант 28

1. lim f (x) = +∞.

x →4 +0

2.lim cos x = 0 .

x→π 2

lim

x3 −2x −1

x →−1 (x2 − x −2)2

lim x (

x2 +1 − x) .

x →+∞

lim

cos5x −cos3x

x →π

sin 2 x

lim

ln 2x −lnπ

x →π 2 etg 2x −e−sin 2x

lim(4 −

)

tg2 2x

cos x

x →0

а) f (x) = sin

х+х2

б) f2

(x) =

2x +1

x0 = ∞.

3x2

x +

а) f1 (x) = tgπ x sin 5π x,

x0 =1,

б) f2

(x) =

x0 = 0,

2 sin 3x − x +5 tg x2

в) f3

(x) =

−

+ tg

x0 = ∞.

− x,

x <1

1 < x ≤ 4, б) f2

(x) =

tg 3x

10. а) f1

(x) =

2 − x,

x > 4

х−4

Вариант 29

1.	lim f (x) = −∞.
	x →+∞
2.	lim cos x = 0 .
	x →3π 2
3.	lim		x3 −3x − 2		.

	x →−1			x2 − x − 2
4.	lim	x2 (ex −e−x )					.

	x →0			ex3 +1 −e
5.	lim			9 +2x −5 .
	x →8			3 x2 −4
6.	lim			ln cos x		.
				tg(cos x −1)
	x →2π
				1

7.lim(cosπ x) x sinπ x .

x→0

8.а) f1 (x) = x + x(1 +5x2 ) ,

б) f2 (x) = (x2 −1)2 ,

x0 = ∞ .

9. а) f1 (x) = sin 2 x (tg 3x − 2 tg 5x ),

x0 = 0 ,

б) f2

(x) =

x0 = 2,

ln x2 −ln 4

в) f3

(x) = 2x2 arctg x +3x2 sin

x0 = ∞.

3 − x,

x ≤ 3

10. а) f

(x) =

8x − x2

−15,

3 < x ≤ 5, б) f

(x) =

ln x

2x −12 ,

x > 5

Вариант 30

1.lim f (x) = −∞.

x→0

2. lim	1	= +∞.

x →1+0 (x −1)2

3.lim x3 −3x −2 .

x→2 x2 −5x +6

4.lim 3 8 +3x + x2 −2 .

x→0 x + x2

lim

1 −cos3 x

x2 +sin3 x

x →0

lim

tg ln(3x −5)

−ex

x→2 ex+3

lim (tg

) x−π 2 .

x →

а) f1 (x) =1− 1+3x 2 ,

б) f2 (x) = x tg 3x ,

x0 = 0 .

а) f (x) = 2 x −2−x +3x, x

= 0 ,

б) f2 (x) = ctg 2 π x ,

x0 =1,

в) f3

(x) = 3 x2 tg

x0 = ∞.

+ 2x2

х , x

< 0

e3x

−1

10. а) f1

(x) =

3x +1,

0 ≤ x < 2,

б) f2

(x) =

x ≥ 2

4 − x2

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1819 / 1919

Соседние файлы в предмете Высшая математика

#
18.04.2015542.52 Кб3013_Раб тетр ДИ исч ФОП ЭКОНОМ.pdf
#
18.04.2015586.37 Кб302_Rabochaya_tetrad_po_teorii_predelov (1).pdf
#
18.04.2015814.45 Кб65РАБОЧАЯ ТЕТРАДЬ ПО ТЕМАМ 6.1, 6.2 ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. ТЕОРИЯ ПОЛЯ.pdf
#
18.04.2015668.53 Кб119РАБОЧАЯ ТЕТРАДЬ по теме 4.1 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ.pdf
#
18.04.2015606.13 Кб57РАБОЧАЯ ТЕТРАДЬ ПО ТЕМЕ 7. 1. ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ.pdf
#
18.04.2015600.22 Кб16РАБОЧАЯ ТЕТРАДЬ ПО ТЕМЕ 7.2. ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ.pdf
#
18.04.2015535.48 Кб15РАБОЧАЯ ТЕТРАДЬ ПО ТЕМЕ ФУНКЦИЯ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ.pdf