Решение задачи 2

∞

4

n

n!

Для исследования ряда ∑

воспользуемся

n

n=1

(n +3)

u

=

4n n!

,

u

n+1

=

4n+1 (n +1)!

.

Рассмотрим

предел

их

(n +3)n

n

(n +4)n+1

отношения:

lim

u

n+1

= lim

4n+1 (n +1)!(n +3)n

= 4 lim

(n +1)(n +3)n

=

un

4n n!(n +4)n+1

(n +4)n

(n +4)

n→∞

n→∞

n→∞

n +3 +1−1

n

1

n

1

nln 1−

= 4 lim

= 4 lim 1−

= 4 lim e

n+4

=,

n +

4

n +

4

n→∞

n→∞

n→∞

lim nln

1−

1

4

= 4 e

n→∞

n+4

=

так как

e

1

1

1

1

lim n ln 1

−

=

ln 1+

n

= lim n −

=

n→∞

n +4

n→∞ n

n→∞

n +4

= lim

n

= −1

−n

n→∞

Поскольку lim

un+1

=

4

>1 , то по признаку Даламбера ряд

e

n→∞ un

расходится.

∞

4

n

n!

Ответ: ∑

- расходится.

n

n=1

(n +3)

∞

1

∑n=1

.

(n +1)ln2 (n +1)

∞

1

Исследуем сходимость ряда ∑

, где

α >1 ,

n ln

p

n=1

(αn)

p R . Положим

f (x)=

1

и рассмотрим интеграл

x ln p (αx)

+∞

dx

e

ln (αx)= t .

∫a

a ≥

, где

.

Сделаем замену

Тогда

x ln p (αx)

α

α

dx = dt , то есть dt =

1 dx , а пределы интегрирования будут

xα

x

(

αa

)

x = a t = ln

. Получим

выглядеть следующим образом:

x = +∞ t = +∞

+∞

интеграл

ln(∫αa) tdtp ,

который сходится при p >1 и расходится при

p ≤1 (см. компендиум

по дисциплине «Математика», Тема 7

«ИНТЕГРАЛЫ»).

∞

1

Ряд

∑

можно использовать для сравнения с

p

n=1 n ln

(αn)

Поскольку

n -ый

член

исследуемого

ряда

un =

1

,

положим

f (x)=

1

и

(n +1) ln2 (n +1)

(x +1) ln2 (x +1)

рассмотрим интеграл:

∞

1

∞

d ln (x +1)

1

A

∫

dx

=

∫

= lim

−

=

(x +1) ln2 (x +1)

ln2 (x +1)

ln (x +1)

A→+∞

1

1

1

1

1

1

1

= − lim

−

= 0 +

=

, следовательно,

ln 2

ln 2

ln 2

ln (1+ A)

A→+∞

+∞

1

∫1

dx

-

сходится,

а значит

сходится

и

(x +1) ln2 (x +1)

исследуемый ряд.

∞

1

Ответ: ∑

- сходится.

(n +1)ln

2

(n +1)

n=1