(ar, grad F )= 2x3 + 2 y3 + z = 2x3 + 2 y3 + x2 + y2

и выбирая знак плюс перед интегралом, для потока P2 получим формулу:

Решение задачи 9.2

1. По теореме Гаусса – Остроградского

P = ∫∫∫div ardxdydz .

V

Так как div a =1 +1 + xy = 2 + xy , то P = ∫∫∫(2 + xy)dxdydz .

V

Область V показана на рис. 21. Она проектируется в координатную плоскость xOz на область D - круг радиуса 3.

45

Следовательно, тройной интеграл можно свести к двойному интегралу по области D .

Перейдём в этом двойном интеграле к полярным координатам:

x

3

D

3 z

Рис. 22.

Расставив пределы интеграции, запишем его в виде повторного интеграла.

P1 = ∫∫(ar, nr1 )dσ ,

σ1

где nr1 - единичная нормаль, которую можно определить через градиент по формуле

nr1 = grad F ((x, y, z)) , F (x, y, z)= x2 + z2 . grad F x, y, z

цилиндра можно записать в виде поверхностного интеграла первого рода.

P = 13 ∫∫(x2 + xyz2 )dσ.

σ1

Интегрирование ведется по цилиндрической поверхности σ1 ,

заданной уравнением x2 + z2 = 9 . Если задать поверхность σ1 параметрическими уравнениями

x = 3sin ϕ, y = y , z = 3cosϕ,

то переменные ϕ и y на заданной поверхности меняются в пределах:

0 ≤ ϕ ≤ 2π, 0 ≤ y ≤ 3 .

Векторное уравнение поверхности имеет вид:

47