P = ∫∫(ar,ns)dσ = ± ∫∫ |
(ar, |
grad |
F ) |
dydz . |
|
|
∂F |
|
|||
σ |
Dyz |
|
|
|
|
|
∂x |
|
|
||
Во всех этих формулах следующее правило выбора знака: знак плюс берется, если grad F ↑↑ nr ,
знак минус – если grad F ↑↓ nr .
ЗАМЕЧАНИЕ 1
Если в поверхностном интеграле второго рода ∫∫(ar, nr)dσ,
σ
поверхность σ - часть плоскости, параллельной одной из координатных плоскостей, то единичной нормалью будет один из
базисных векторов i , j , k или противоположный ему вектор в зависимости от направления потока.
ЗАМЕЧАНИЕ 2
Поток через цилиндрическую поверхность удобно вычислять, записывая его в виде поверхностного интеграла 1 рода и задавая эту поверхность параметрическими уравнениями или векторным уравнением.
Если векторное |
уравнение |
поверхности |
σ |
имеет вид |
rr = rr(u, v), где |
a ≤ u ≤ b , |
c ≤ v ≤ d , |
то |
поверхностный |
интеграл первого рода сводится к двойному интегралу по области
a ≤ u ≤ b
D : по формуле:
c ≤ v ≤ d
∫∫ f (x, y, z)dσ = ∫∫ f (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) [rru′, rrv′] dudv
σ D
Решение задачи 9.1
Поверхность σ2 , заданная уравнением x2 + y2 = z и
ограниченная плоскостью z =1 , показана на рисунке 19. Вычислим поток векторного поля через нее двумя способами.
41
|
|
|
|
|
|
σ1 |
z |
|
n1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
σ2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 19. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
1. Используем теорему Гаусса - Остроградского. Для этого |
|||||||||||||||||||||||
вычислим дивергенцию поля. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
div a = 2x + 2 y −1 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
По теореме Гаусса – Остроградского вычислим поток |
P через |
||||||||||||||||||||||
замкнутую поверхность σ1 +σ2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
P = ∫∫∫div a dxdydz =∫∫∫(2x + 2 y −1)dxdydz . |
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
V |
|
|
|
|
|
|
|
V |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тройной интеграл сведем к двойному интегралу, проектируя |
|||||||||||||||||||||||
область V в плоскость xOy . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
P = ∫∫dxdy |
|
2 |
1∫(2x + |
2 y −1)dz =∫∫dxdy(2x + 2 y −1)z |
|
x |
2 |
1 |
2 = |
||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||
D |
x |
+y |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
+ y |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
= ∫∫dxdy(2x + 2 y −1)(1 − x2 − y2 ) |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решив совместно уравнения ограничивающих область V |
|||||||||||||||||||||||
поверхностей |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
+ y |
2 |
= z |
|
|
2 |
+ y |
2 |
=1 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
x |
|
|
|
, |
x |
|
|
, |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
z =1 |
|
|
|
|
|
z =1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
42
выясним, что область D , на которую проектируется область V ,
представляет собой круг радиуса 1, лежащий в плоскости z =1 (рис. 20).
y
1
D
x
1
Рис. 20.
Перейдем в полученном двойном интеграле к полярным координатам.
P = ∫∫(2ρcosϕ+2ρsin ϕ−1)(1 −ρ2 )ρdρdϕ =
D
= 22∫π(cosϕ+sin ϕ)dϕ1∫(ρ2 −ρ4 )dρ− |
2∫πdϕ1∫(ρ−ρ3 )dρ . |
||
0 |
0 |
0 |
0 |
В каждом из двух повторных интегралов переменные разделены. Поэтому каждый из них является произведением интегралов, из которых один зависит только от переменной ϕ, а другой – от
переменной ρ. Первый повторный интеграл равен нулю, так как в нем внешний интеграл вычисляется от синуса и косинуса по
промежутку длины периода. Следовательно, поток P записывается в виде интеграла
2π |
1 |
|
|
2 |
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
P = − ∫ dϕ∫ |
(ρ−ρ3 )dρ = −2π |
ρ |
|
− |
ρ |
|
|
1 |
= |
|
|
|
|
2 |
|
4 |
|
0 |
|
||
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
1 |
|
1 |
|
= − |
π |
|
||
= −2π |
|
− |
|
|
|
. |
||
2 |
4 |
2 |
||||||
|
|
|
|
|
||||
Теперь вычислим поток P1 через поверхность σ1 в направлении
нормали nr1 .
43
|
|
|
|
|
|
|
|
P1 = ∫∫(ar, nr1 )dσ. |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
σ1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Поверхность проектируются в плоскость xOy область D (рис. |
|||||||||||||||||
20). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
r |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
σ1 : z =1 ; nr1 = k |
= |
|
; (a, n1 )= −z = −1. Тогда |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P1 = ∫∫(−1)dσ = −Sкруга = −π . |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
σ1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Поскольку поток |
P = P1 + P2 , |
где |
P2 - поток через поверхность |
||||||||||||||
σ2 , заданную уравнением x2 + y2 = z |
при z ≤1 , то поток через эту |
|||||||||||||||||||
поверхность равен |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
P |
2 |
= P − P |
= − π |
+ π = π . |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
2 |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
2. Для вычисления |
|
потока |
P2 |
|
через поверхность σ2 в |
||||||||||||
направлении нормали nr2 |
(рис. 19) можно использовать следующую |
|||||||||||||||||||
формулу: |
|
|
|
|
|
|
(a, |
|
|
|
|
|
F ) |
|
|
|||||
|
|
|
P2 = ∫∫(ar, nr2 )dσ = ±∫∫ |
|
grad |
|
|
dxdy . |
|
|||||||||||
|
|
∂F |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
σ2 |
|
|
|
|
|
D |
|
|
|
∂z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
Поскольку уравнение поверхности |
σ2 можно преобразовать к |
||||||||||||||||
виду: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F(x, y, z)= 0 , |
|
|||||
|
|
|
x2 + y2 = z , |
|
x2 + y2 − z = 0 , |
|
|
|
|
|
где |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x |
|
|
|
||||||||
|
F (x, y, z)= x2 + y2 − z , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
то grad F = |
2 y . Ясно, что grad F ↑↑ nr2 , |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−1 |
|
|
|
|||||||
так как оба вектора образуют с осью |
|
Oz угол, больший, чем |
90o. |
|||||||||||||||||
|
∂F |
|
=1 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
∂z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
Вычислив скалярное произведение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
44 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|