Биномиальное распределение. Схема Бернулли.

Пусть производятся независимые испытания и при каждом испытании может быть 2 исхода: успех с вероятностью или неудача с вероятностью, при этом ().

Примеры

1) Стрельба по цели. При каждом выстреле 2 исхода: попадание или промах.

2) Проверка наугад выбранного изделия, которое может оказаться качественным или бракованным.

3) Подбрасывание симметричной монеты .Может выпасть герб или решетка.

Построим вероятностную модель эксперимента в случае .

Пространство элементарных событий .

, ,,. Поскольку испытания независимы, то вероятности элементарных исходов определяются как произведение вероятностей.

	0	1	2
P

В качестве случайной величинырассмотрим число успехов в серии из 2 испытаний. Построим ряд распределения случайной величины

При этом , так как.

Пусть теперь опыт повторяется раз. При каждом опыте событие А (успех) происходит с вероятностьюи не происходит с вероятностью, причем эти вероятности от опыта к опыту не меняются. Случайная величина – число успехов в серии изиспытаний, Найдем вероятность того, что, т.е. что событие А (успех) наступитраз (а, следовательно, неуспех наступитраз).Найдем вначале, что событие А (успех) произойдет при первыхопытах и не произойдет при последнихопытах. Применяя теорему умножения вероятностей, получим. Но событие А может произойтираз и в другой последовательности. Общее число всех возможных последовательностей равно. Вероятность появления события А для каждой такой последовательности равна. Вероятность появления какой либо одной из этих последовательностей найдем с помощью теоремы сложения вероятностей

, где .

Полученная формула является формулой для –го члена бинома Ньютона. Поэтому такое распределение вероятностей называется биномиальным. Впервые это распределение подробно изучил Бернулли. Поэтому стохастический эксперимент, приводящий к биномиальному распределению, называется схемой Бернулли.

Функция распределения биномиального закона имеет вид

,

где неотрицательное целое число.

Пример. Прибор состоит из четырех элементов. Вероятность отказа каждого из них равна . Найти вероятность отказа 0,1,2,3,4 элементов во время работы прибора.

Сумма всех вероятностей равна 1, так как эта сумма есть вероятность достоверного события.

Геометрическое распределение.

Пусть производятся независимые испытания и при каждом испытании может быть 2 исхода: успех с вероятностью или неудача с вероятностью, при этом (). Испытания проводятся до первого успеха. Случайная величина– число испытаний до первого успеха. Найдем распределение случайной величины. Пространство элементарных событий

. Согласно предположению о независимости испытаний в соответствии с теоремой умножения вероятностей . Это означает, что, где. Ряд распределения имеет вид

	0	1	2	…		…
				…		…

Такое распределение называется геометрическим, так как членами ряда распределения являются члены геометрической прогрессии.

Функция распределения случайной величины

.

Если случайная величина имеет геометрическое распределение, то справедливо равенство

.

Действительно,

Это равенство означает отсутствие последействия. Условная вероятность того, что , если, совпадает с безусловной вероятностью того, что.

Пример 1. Телефонные разговоры. Пусть длительность телефонного разговора измеряется целым числом минут. В начале каждой минуты с вероятностью принимается решение закончить разговор и с вероятностьюего продолжить. Тогда длительность телефонного разговора будет случайной величиной, имеющей геометрическое распределение. Условная вероятность того, что телефонный разговор будет продолжаться ровноминут, если известно, что он не закончился заминуту, совпадает с безусловной вероятностью того, разговор будет продолжаться ровноминут, т.е. вероятность появления значения случайной величиныне зависит от того, наступало событиеили нет. Это означает, что предыстория не влияет на вероятность появления события в ближайшем будущем

Среди всех дискретных распределений свойством отсутствия последействия обладает только геометрическое распределение.

Пример 2. Пусть стохастический эксперимент – бросание монеты до появления герба. Вероятности успеха и неуспеха равны соответственно,. Случайная величина – число бросаний до появления герба имеет геометрическое распределение. Ряд распределения

	0	1	2	…		…
				…		…