Л8_ Теория вероятностей
.docЛекция 8.
Кратные интегралы.
Мера Жордана. Жордановы множества.
Областью в пространстве называется непустое связное открытое множество. Замыкание области называется замкнутой областью. Замкнутым называется множество, содержащее все свои предельные точки. Замкнутое множество называется границей области .
Диаметром области называется точная верхняя грань расстояний между точками области
, где , , .
Для замкнутой ограниченной области диаметр равен наибольшему из расстояний между точками области.
Стандартным прямоугольником называется прямоугольник со сторонами, параллельными координатным осям, например,
замкнутый стандартный прямоугольник
(1)
открытый стандартный прямоугольник
, (2)
а также полуоткрытые прямоугольники, для которых хотя бы одно из трех неравенств в вышеприведенном определении (1) является строгим. Обозначим через множество стандартных прямоугольников на плоскости.
Два прямоугольника , называются непересекающимися, если они не имеют общих внутренних точек. Для прямоугольника , который является объединением непересекающихся стандартных прямоугольников , будем использовать специальное обозначение . Каждому прямоугольнику можно сопоставить число – его меру, которая удовлетворяет условиям неотрицательности: и аддитивности: . В частности, мерой непустого стандартного прямоугольника (замкнутого, открытого или полуоткрытого), определяемого числами , является его площадь .
Связное плоское множество называется элементарным, если его можно представить как объединение конечного числа непересекающихся стандартных прямоугольников .
Стандартным прямоугольным параллелепипедом в называется . Два параллелепипеда , называются непересекающимися, если они не имеют общих внутренних точек. Мерой или объемом стандартного параллелепипеда называется .
Элементарным телом называется связное множество точек пространства , представляющее собой объединение конечного числа непересекающихся -мерных стандартных прямоугольных параллелепипедов. Мера или объем элементарного тела равна сумме мер стандартных прямоугольных параллелепипедов .
Рассмотрим произвольную область на плоскости, проведем прямые, параллельные координатным осям. В результате получим стандартные прямоугольники. Обозначим такое разбиение через . Пусть – площадь стандартных прямоугольников, лежащих внутри и не имеющих общих точек с границей области, а – площадь стандартных прямоугольников, имеющих хотя бы одну общую точку с границей области. Тогда для разных разбиений получим множества и .
Нижней или внутренней мерой Жордана множества называется ; верхней или внешней мерой Жордана называется . Множество называется измеримым по Жордану, если и конечны и . В этом случае величина называется мерой Жордана, а множество называется жордановым. Аналогичным образом определяется мера области , . Мера Жордана обладает свойствами неотрицательности (), аддитивности () и монотонности (.Если жорданово множество, то .
Множество , границей которого является спрямляемая (в частности кусочно-гладкая) замкнутая кривая без самопересечений является жордановым множеством. Множество , границей которого является кусочно-гладкая замкнутая поверхность без самопересечений, является жордановым множеством.
Жордановой мерой ограниченного участка кривой или отрезка является длина, жордановой мерой ограниченной замкнутой плоской области или поверхности является площадь, жордановой мерой тела в трехмерном пространстве, ограниченного замкнутой поверхностью, является объем.
Интеграл Римана по измеримому по Жордану множеству и его свойства
Пусть – жорданово множество, на котором задана ограниченная функция . Разбиением множества называется конечная система непустых непересекающихся жордановых множеств , объединение которых равно заданному множеству: . Диаметром разбиения называется . Выберем произвольно точки , и составим интегральную сумму Римана
(3)
Интегралом Римана от функции по измеримому по Жордану множеству называется число
, (4)
которое не зависит ни от способа разбиения множества , ни от выбора точек . Для интеграла Римана используется также следующее обозначение
.
Такой интеграл называется кратным интегралом.
Если – плоская область, жордановой мерой которой является площадь, то = – двойной интеграл. Если – область в трехмерном пространстве, жордановой мерой которой является объем, то = – тройной интеграл.
Множество интегрируемых по Риману функций на множестве обозначается R.
Если R и , то ограничена на .
Если измеримое по Жордану замкнутое ограниченное множество и , то R.
Если измеримое по Жордану замкнутое ограниченное множество, ограничена на и множество точек разрыва функции имеет жорданову меру нуль, то R. В частности, ограниченная функция, имеющая не более чем счетное множество точек разрыва на жордановом множестве , интегрируема по Риману на этом множестве.
Основные свойства кратного интеграла Римана
Будем считать в дальнейшем множества измеримыми по Жордану и функции ограниченными на рассматриваемых множествах.
1. .
2. R, RR для любых постоянных и и (свойство линейности интеграла).
3. R, R,
R и (свойство аддитивности интеграла). Отметим, что здесь существенным условием является ограниченность функции на множествах и .
4. R, RR и R , если .
5. Если R, R и для любых , то . В частности, если R и для любых , то .
6. Если R, , , то
.
7. Если R, , , R, для любых , то .
8. Если ограничена на , R и почти везде на (т.е. равенство нарушается на множестве меры нуль), то .
Сведение кратных интегралов к повторным интегралам
Для вычисления двойных и тройных интегралов необходимо свести их к повторным интегралам. Это можно сделать на основе теоремы Фубини.
Область , где , , называется стандартной относительно оси , если любая прямая, параллельная оси , пересекает границу этой области не более, чем в двух точках. Иногда такая область называется правильной в направлении оси . Аналогично определяются область на плоскости, стандартная относительно оси (правильная в направлении оси ):
, где , . Стандартная относительно координатной оси область и ее замыкание являются жордановыми множествами.
Теорема Фубини для стандартной плоской области.
Если , где, , и , то
. (5)
Если , где , и , то
. (6)
Замечание. При практическом использовании формул необходимо, чтобы , (соответственно , ), в противном случае представляют интеграл в виде суммы интегралов.
Теорема Фубини для правильной пространственной области.
Пусть ограниченная и замкнутая пространственная область, правильная в направлении оси , т.е. любая прямая, параллельная оси, пересекает границу области не более чем в двух точках. Тогда – измеримый компакт. Если
, ,
, , , то
. (7)
Аналогично формулируется теорема Фубини для пространственной области, правильной в направлении оси : если
, , ,
, , , то
. (8)
Теорема Фубини для пространственной области, правильной в направлении оси : если , , ,
, , , то
. (9)
Теорема Фубини для правильной области в .
Пусть – измеримый по Жордану компакт в .
…,
. Функции , …,, непрерывны в области определения (например, функции , непрерывны на – измеримом по Жордану компакте), функция . Тогда
(10)
Пример 1 . Вычислить интеграл , где – область, ограниченная прямыми , и гиперболой .
Найдем точки пересечения кривых, ограничивающих заданную область, решив соответствующие системы уравнений
.
Отсюда следует, что область может быть представлена в виде . Тогда интеграл равен
Область можно представить также в виде , где ,
.и тогда интеграл представляет собой сумму двух интегралов
Пример 2. Вычислить тройным интегрированием объем тела , ограниченного цилиндрами , и плоскостями , .
Объем тела определяется тройным интегралом . Сведем тройной интеграл к трехкратному.
Здесь видны две цилиндрические поверхности, которые ограничивают тело снизу и сверху и две плоскости. Построим тело, объем которого нужно найти.
Спроектируем тело на плоскость . В результате получится прямоугольник, две стороны которого лежат на прямых с уравнениями , . Найдем уравнения прямых, на которых лежат две другие стороны прямоугольника. Для этого исключим из уравнений цилиндров переменную и решим полученное уравнение