Лекция 4. Случайные величины

Каждому исходу эксперимента по некоторому закону можно сопоставить число, которое реализуется тогда, когда реализуется данный исход.

Примеры: 1) число очков, выпавших при бросании игральной кости;

2) число бракованных изделий среди наугад взятых изделий;

3) число попаданий в цель при выстрелах;

4) время безотказной работы прибора.

Пустьвероятностное пространство эксперимента.

Случайной величиной называется вещественная функция, определенная на пространстве элементарных событий, т.е.. Однако не любая числовая функция, определенная на, является случайной величиной, а лишь такая, которая измерима относительноалгебры. Числовая функция, называется измеримой относительноалгебры, если прообраз любого интервалапопадает валгебру:. Измеримость случайной величины относительноалгебрытребуется потому, чтоалгебравключает не все подмножества из множества, а только те, которые являются результатом счетного числа объединений и пересечений подмножеств. Несчетное число объединений и пересечений подмножестввалгебруне попадают и событиями не являются.

Случайная величина -- функция , определенная на пространстве элементарных событий, имеющая вещественные значения и измеримая относительноалгебры, т.е. прообразы всех интервалов изявляются событиями. Это означает, что для любого действительногосправедливо утверждение

.

Отсюда следует, что

1) , так как если, то и

2) ,

так как если ,, то

Случайная величина – такая функция , для которой определены вероятности событий.

Пример 1. Стохастический эксперимент: бросание двух игральных костей имеет 36 исходов. Пространство элементарных событий . Случайными величинами являются

1) ; 2)3)

Пример 2. Стохастический эксперимент: бросание монеты до появления герба. Случайная величина - число бросаний до первого герба.

Пространство элементарных событий ,

Случайные величины могут быть дискретными и непрерывными.

Дискретной называется случайная величина, множество значений которой конечно или счетно.

Непрерывной называется случайная величина, множество значений которой представляет собой интервал или всю числовую ось.

Законом распределения случайной величины называют полное описание случайной величины, т.е. соотношение, устанавливающее связь между значениями случайной величины и соответствующими им вероятностями.

Функцией распределения случайной величины называется, т.е. вероятность того, что случайная величина примет значение меньше.

Свойства функции распределения

1) , так как.

2)

, так как . Отсюдана основании свойства вероятностей:, если.

3) Если , то, т.е. функция– неубывающая функция.

Действительно, если , то.т.е..

4) .

Это свойство следует из соотношения

5) ,.

Это следует из того, что пристремится к достоверному событию, а пристремится к невозможному событию.

Следовательно, .

6) Функция непрерывна слева:.

7)

8) .

Действительно, учитывая, что и, получим.

Отсюда следует, что если функция непрерывна в точке, то, так как.

Теорема. Пусть обладает следующими свойствами:

1) – неубывающая функция на всей числовой оси;

2) – непрерывна слева в каждой точке оси;

3) ,.

Тогда существует вероятностное пространство и случайная величинатакая, что ее функция распределения равна .