Свертка функций и ее свойства

Сверткой двух функций иназывается интеграл

. (25)

Свертка не зависит от порядка, в котором расположены функции

(26)

Доказательство.

Пример 11.

.

Если функции иявляются оригиналами, то их свертка также является оригиналом:

1) обращается в нуль при, так какипри;

2) кусочно-непрерывна при, так какикусочно-непрерывны при;

3) имеет конечную степень роста

Пусть ,для. Тогда

, так как при всех значениях.

9. Теорема об умножении изображений.

Если и, то

. (27)

Доказательство.

На рисунке заштрихована область интегрирования для двойного интеграла, для которой легко получить пределы интегрирования соответствующих повторных интегралов.

Интеграл Дюамеля.

Найдем оригинал, соответствующий произведению .

Здесь были использованы теорема умножения и свойство линейности.

Следовательно,

. (28)

Отсюда получим интеграл Дюамеля

Если , то

(29)

Аналогично

(30)

Из формул (28) и (30) получим оригиналы для в виде

(31)

Обращение преобразования Лапласа. Теорема Меллина.

Если аналитическая в области функцияявляется изображением кусочно-гладкой на каждом конечном отрезке лучафункциис показателем роста, то

. (32)

В этой формуле путь интегрирования – любая прямая , параллельная мнимой оси, лежащая правее прямой.

Непосредственное применение формулы (32) для отыскания оригинала по заданному изображению часто вызывает затруднения. Поэтому обычно пользуются теоремами разложения, которые являются следствиями из нее.

Первая теорема разложения. Если разложение функции в ряд по степенямимеет вид, то оригиналом является функция, где, (при).

Вторая теорема разложения. Если -рациональная функция, гдеи- многочлены, причем 1) степень многочленаменьше степени многочлена, 2)ине имеют общих корней, т.е. дробьнесократима. Тогда оригинал, соответствующий функции, имеет вид

, (33)

где - нули знаменателя, а- их кратность. В правой части вычисляется предел от производной порядкапо комплексной переменнойпри постоянном.

В том случае, когда знаменатель -многочлен стпени имеет только простые корни формула (33) упрощается

(34)

10. Теорема об умножении оригиналов: если иявляются оригиналами с показателями роста,соответственно и,, то произведениеявляется оригиналом с показателем ростаи справедливо соотношение

(33)

где ,.

Таблица оригиналов и изображений

№	Оригинал	Изображение
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13

15