Свойства преобразований Лапласа

1. Свойство линейности: если и, то

. (6)

Используя это свойство и соотношение (4), найдем изображение тригонометрических и гиперболических функций

(7)

(8)

(9)

Аналогично

(10)

2. Теорема подобия. Для любого

. (11)

Доказательство

3. Теорема смещения: умножение оригинала на множитель приводит к смещению аргумента изображения на.

, .(12)

Пример 4.

(13)

(14)

(15)

4. Теорема запаздывания: включению оригинала с запаздыванием на соответствует умножение изображения на.

(16)

Доказательство. Рассмотрим функцию , тогда

Функцию можно представить в видеи тогда.

Пример 5. Найти изображение функции , которая представляет собой единичный импульс, действующий в течение промежутка времени.

На рисунке представлен график функции .

Учитывая соотношение (3), в соответствии с теоремой запаздывания получим

.

Пример 6. Найти изображение функции

Представим эту функцию с помощью функции Хевисайда в виде

Здесь были использованы формулы приведения и нечетность функции синуса. В соответствии с формулой (8)тогда по теореме запаздывания. Отсюда для исходной функции получим изображение.

Пример 7. Найти изображение функции .

Запишем функцию с помощью функции Хевисайда в виде. Преобразуем эту функцию к функции аргумента. Очевидно, что. Тогда

Учитывая, что в соответствии с (5) , получим. Отсюда по теореме смещения

. Применяя теперь теорему запаздывания, получим

Пример 8. Найти оригинал для функции .

Учитывая, что соответствии с формулами (7), (8), и (5) , получим по теореме запаздывания., Тогда

. Следовательно, функцию можно записать в виде

5. Теорема о дифференцировании оригинала:

Если и функцииявляются оригиналами, то

, (17)

(18)

………………………………………………..

(19)

В частности, если , то

. (20)

Доказательство.

Здесь было использовано интегрирование по частям при обозначениях . Поскольку, топри, если. Поэтому неинтегральный член дает вклад в результат.

Применим соотношение (17) к (17) повторно, тогда получим

(21)

Применяя соотношение (17) к (21), получим

Продолжая этот процесс. получим

Замечание. Если функция является оригиналом, то для нее выполняются условия (2), при этом функция является кусочно-непрерывной, т.е. она может иметь на каждом отрезке при лишь конечное число точек разрыва первого рода. Если оригиналом является, то сама функцияпри всехдолжна быть непрерывной. Если оригиналом является, топри всехдолжна быть непрерывной и т.д. .

6. Теорема об интегрировании оригинала: интегрирование оригинала в пределах от 0 до приводит к делению изображения на.Еслии, то, т.е.

(22)

Доказательство. Обозначим . Учитывая, чтои, получим в соответствии с теоремой дифференцирования оригинала

. Поскольку , то. Отсюда.

Из свойств (5) и (6) следует, что более сложным действиям над оригиналами (дифференцированию и интегрированию) соответствуют более простые действия над изображениями (умножение и деление на р).

7. Теорема о дифференцировании изображения: дифференцирование изображения сводится к умножению оригинала на .

. ,,, ,

. (23)

Доказательство. Учитывая, что , найдем.

Следовательно, . Применяя эту теорему несколько раз, последовательно найдем оригиналы для высших производных изображения.

8. Теорема об интегрировании изображения: если интеграл сходится, то интегрирование изображения в пределах отдосоответствует делению оригинала на.

, (24)

т.е. интегрирование изображения в пределах от досоответствует делению оригинала на.

Пример 9. Найти изображение функции.

Учитывая, что , получим по теореме об интегрировании изображения. Применяя теорему об интегрировании оригинала к полученному соотношению, найдем. Отметим, что интегралопределяет неэлементарную функцию, которая называется интегральный синус.

Пример 10. Найти изображение для функции .

Учитывая, что , с помощью теоремы об интегрировании изображения получим.

Следовательно,