Линейная Алгебра
.pdf
|
0 |
−7 0 |
|
|
4 |
2 |
|
|
|
|
||||
9. |
B |
|
3 − |
9 |
|
|
|
|||||||
A = |
|
|
|
, |
= |
. |
|
|
||||||
|
|
3 |
8 |
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
− |
7 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
6 |
−1 |
−9 |
|
|
−8 |
−5 |
|
|||||
10. |
A = |
|
|
|
−4 |
−1 |
|
|||||||
|
|
|
|
, |
B = |
. |
||||||||
|
|
|
−1 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−6 |
|
|
5 |
|
|
0 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Задание 4. Метод Гаусса решения систем линейных уравнений
Варианты задания 4 для контрольной работы
Решить систему методом Гаусса. Найти общее и два частных решения.
|
− 4x1 |
+ |
2x2 |
+ 2x3 |
− |
3x4 |
+ |
8x5 |
= −8, |
|||
1. |
|
5x1 |
+ |
11x2 |
− |
2x3 |
− |
6x4 |
+ |
20x5 |
= |
−23, |
− |
||||||||||||
|
− 3x |
− 7x |
+ |
6x |
|
|
− 4x |
= |
7. |
|||
|
|
1 |
|
2 |
|
3 |
|
|
|
5 |
|
|
|
2x1 |
+ 8x2 |
− 7x3 |
− 7x4 |
− 3x5 |
= |
9, |
|||||||
2. |
|
4x1 |
+ |
6x2 |
+ |
|
7x3 |
+ |
19x4 |
+ |
11x5 |
= |
−19, |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
3x |
+ 7x |
|
|
|
+ 6x |
+ 4x |
= −5. |
|||||
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
4 |
|
|
5 |
|
|
|
8x1 |
− 5x2 |
+ 3x3 |
+ 8x4 |
− 8x5 |
= |
7, |
|||||||
3. |
|
2x1 |
|
|
− |
|
18x3 |
− |
32x4 |
+ |
|
2x5 |
= |
−10, |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
9x |
− 5x |
− 6x |
− 8x |
− 7x |
= |
2. |
||||||
|
|
1 |
|
2 |
|
|
3 |
|
4 |
|
|
5 |
|
|
|
− |
5x1 |
+ x2 |
− 6x3 |
+ 4x4 |
|
|
= 4, |
|
|||||
4. |
|
6x1 |
+ x2 |
− 19x3 |
+ 3x4 |
− x5 = −1, |
||||||||
− |
||||||||||||||
|
− |
4x |
+ |
x |
+ |
7x |
+ |
5x |
+ |
x |
= 9. |
|
||
|
|
1 |
|
2 |
|
|
3 |
|
4 |
|
5 |
|
|
|
|
|
x1 |
+ 7x2 |
+ 4x3 |
|
|
+ 8x5 |
= 2, |
||||||
5. |
|
|
|
6x2 |
+ 8x3 |
+ 8x4 |
+ 7x5 |
= 7, |
||||||
|
|
|
||||||||||||
|
|
2x |
+ 8x |
|
|
|
− 8x |
+ 9x |
= −3. |
|||||
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
4 |
|
|
5 |
|
|
|
|
|
− 6x2 |
|
+ 8x3 |
− 4x4 |
+ 4x5 |
= 7, |
||||||
6. |
|
16x1 |
+ 12x2 |
− 6x3 |
− 2x4 |
− 8x5 |
= −1, |
|||||||
|
||||||||||||||
|
|
8x |
+ 3x |
|
+ |
x |
− 3x |
− 2x |
= 3. |
|||||
|
|
1 |
|
2 |
|
|
3 |
|
4 |
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11 |
|
|
|
|
|
6x1 |
|
|
− x3 |
− 8x4 |
− 8x5 |
= 5, |
||||
7. |
|
17x1 |
+ |
9x2 |
+ |
3x3 |
− |
7x4 |
− |
22x5 |
= |
19, |
|
||||||||||||
|
− 5x |
− 9x |
− 5x |
− 9x |
+ 6x |
= −9. |
||||||
|
|
1 |
|
2 |
|
3 |
|
4 |
|
5 |
|
|
|
− 6x1 |
+ 6x2 |
+ 9x3 |
+ 7x4 |
|
|
= 3, |
|||||
8. |
|
8x1 |
− 12x2 |
+ 7x3 |
− 13x4 |
+ 4x5 |
= 7, |
|||||
|
||||||||||||
|
|
x |
− 3x |
+ 8x |
− 3x |
+ 2x |
= 5. |
|||||
|
|
1 |
|
2 |
|
3 |
|
4 |
|
5 |
|
|
|
|
|
− 7x2 |
|
|
+ 3x4 |
+ 8x5 |
= 0, |
||||
9. |
|
7x1 |
− 18x2 |
− 2x3 |
+ 3x4 |
+ 25x5 |
= 7, |
|||||
− |
||||||||||||
|
|
7x |
+ 4x |
+ 2x |
+ 3x |
− 9x |
= −7. |
|||||
|
|
1 |
|
2 |
|
3 |
|
4 |
|
5 |
|
|
|
|
6x1 |
− x2 |
− 9x3 |
− x4 |
+ 3x5 |
= 5, |
|||||
10. |
|
18x1 |
− |
15x2 |
− |
x3 |
− |
7x4 |
− |
5x5 |
= |
−5, |
− |
||||||||||||
|
− 6x |
− 8x |
− 5x |
− 4x |
− |
x |
= 0. |
|||||
|
|
1 |
|
2 |
|
3 |
|
4 |
|
5 |
|
|
Задание 5. Аналитическая геометрия
Общее уравнение плоскости в пространстве имеет вид:
Ax + By +Cz + D = 0. |
|
|
Параметры A, B,C, D – некоторые константы, задающие |
плоскость. |
Условие |
перпендикулярности плоскостей A1x + B1 y +C1z + D1 = 0 и A2 x + B2 y +C2 z + D2 |
= 0 может |
|
быть записано в виде: |
|
|
A1 A2 + B1B2 +C1C2 = 0. |
|
|
Пример. Написать уравнение плоскости, проходящей через |
точку M0 (−2,−3,−5) и |
|
перпендикулярной плоскостям 7x +8y −7z −9 = 0 и x −2y +5z +2 = 0 . |
|
|
Решение. Предположив, что искомая плоскость не проходит через начало координат, запишем ее уравнение в виде ax +by +cz +1 = 0 . Поскольку точка M0 должна принадлежать
этой плоскости, ее координаты M0 (−2,−3,−5) |
должны удовлетворять уравнению: |
−2a −3b −5c +1 = 0. |
|
Должны также выполняться условия |
перпендикулярности искомой плоскости и |
|
12 |
плоскостей, данных в условии задачи:
7a +8b −7c = 0,
a −2b −5c = 0.
Возникает система из трех уравнений на три переменные, решая ее (например,
методом Крамера), получим:
a = −1392 , b = 9221, c = 1192 .
Ответ: −13x +21y +11z +92 = 0 .
Варианты задания 5 для контрольной работы
1.Написать уравнение плоскости, проходящей через точки M1(−5,−3,−4) и M 2 (6,−2,−6)
иперпендикулярной плоскости − x −8y +4 = 0 .
2.Написать уравнение плоскости, проходящей через точку M0 (3,−3,−2) и перпендикулярной плоскостям −2x +3y +2z +9 = 0 и 6y − z −7 = 0 .
3.Написать уравнение плоскости, проходящей через точки M1(−5,−6,3) и M2 (4,−3,6) и
перпендикулярной плоскости − x −8y +3z +1 = 0 .
4.Написать уравнение плоскости, проходящей через точку M0 (5,2,−6) и перпендикулярной плоскостям −4x +4y + z −1 = 0 и −7 y +7z −4 = 0 .
5.Написать уравнение плоскости, проходящей через точки M1(1,−4,4) и M2 (−5,3,−5) и
перпендикулярной плоскости − x −9y −2z +8 = 0.
6.Написать уравнение плоскости, проходящей через точку M0 (−4,−6,−4) и
перпендикулярной плоскостям 6x +5z +3 = 0 и −4x −6y −6z +5 = 0 .
7.Написать уравнение плоскости, проходящей через точки M1(2,5,5) и M2 (1,−2,−2) и перпендикулярной плоскости 4x +8y +8 = 0 .
8.Написать уравнение плоскости, проходящей через точку M0 (−1,2,6) и
перпендикулярной плоскостям 4x −4y −8z +2 = 0 и −4x +2y +7z −1 = 0 .
13
9.Написать уравнение плоскости, проходящей через точки M1(3,−6,−2) и M2 (−4,5,5) и
перпендикулярной плоскости −7x − y −7z +8 = 0 .
10.Написать уравнение плоскости, проходящей через точку M0 (3,−5,2) и перпендикулярной плоскостям 6x −4y +8z −1 = 0 и 3x −8y −6z +8 = 0 .
14