8. Определение максимального напряжения и проверка условий прочности в наиболее опасном сечении

кН/м² = 53.2МПа <R = 190 МПа.

Следовательно, условие прочности рассматриваемой рамы обес­печено.

5.7. Сейсмические колебания системы с конечным числом степеней свободы

В теории расчета сооружений на сейсмические воздействия (теория сейсмичности), как и в других областях динамики различ­ных механических систем, обычно применяются расчетные схемы с распределенными и дискретными параметрами (массами). Система с дискретными параметрами хотя и носит приближенный характер, но более универсальна и можно получить решение для системы любой сложности, вследствие чего наиболее часто применяются в инженерных расчетах.

Для получения динамичных расчетных схем в виде системы с ко­нечным числом степеней свободы, фактическая распределенная масса система концентрируется в определенных местах в виде мате­риальных точек. В итоге получается, невесомая система, несущая определенное количество сосредоточенных масс. Число степеней свободы система равно числу независимых геометрических пара­метров, однозначно определяющих положение сосредоточенных масс в произвольном моменте времени.

Рис. 5.13

Массы рассматриваемой системы целесообразно сконцентриро­вать в местах, где сосредоточены значительные нагрузки. Достовер­ность и точность ре­зультатов расчета в значительной мере за­висят от удачного вы­бора расчетной схемы, ее соответствия факти­ческим условиям рабо­ты сооружения.

В качестве примера рассмотрим методику расчета здания, име­ющего n этажей на сейсмическом воздей­ствии. Сконцентриро­вав массу здания на уровнях перекрытия и фундаментной плиты получим, систему в виде консольного стержня жестко заделанной в фундаментной плите, лежащей в условиях полного прилипания на поверхности упругого инерционного основания (рис. 5.13).

Будем рассматривать поперечные колебания стержня в плос­кости (zy). Начало системы координат поместим в центре тяжести подошвы фундамента сооружения. Жесткость стержня по высоте изменяется по произвольному закону. На характер деформаций стержня не накладывается никаких ограничений, кроме требования линейной деформируемости.

Положение системы в произвольный момент времени t > 0 оп

ределяется линейными горизонтальными смещениями (y_i + y₀) (i = 1,2,..., n + 1) (рис. 5.13).

Так как y₀(t) есть перемещение грунтов основания при земле­трясении на свободной поверхности земли, в предположении от­сутствия сооружения, то оно здесь принимается заранее заданной величиной. Следовательно, если нам удастся определить величины y_i (t) (i = 1,2,..., n + 1), мы через значения этих величин в произ­вольный момент времени можем определить положение заданной системы.

Отсюда следует, что рассматриваемая система, располагая (n + + 1) количеством сосредоточенных масс, имеет (n + 1) степеней свободы.

Колебания линейной системы при заданном внешнем кинема­тическом воздействии y₀(t) полностью определяется ее инерцион­ными и деформативными свойствами и параметрами рассеивания энергии. Инерционные свойства рассматриваемой системы харак­теризуются сосредоточенными массами m_i (i = 1,2,..., n + 1) и ха­рактером их распределения по высоте. Деформативные свойства системы могут быть охарактеризованы при помощи единичных перемещений d_ik (i, k =1,2,..., n + 1) представляют собой горизон­тальное перемещение точек i от действия единичной горизонталь­ной силы, приложенной в точке k. Перемещение d_ik  в рамках при­нятой расчетной схемы определяется:

, (5.48)

где - горизонтальные перемещения точки i от действия единичной горизонтальной силы, приложенной в точке k, обуслов­ленные соответственно: деформациями конструктивных элементов здания; относительным сдвигом между подошвой фундаментной плиты и основанием; поворотом подошвы фундаментной плиты от­носительно основания.

Выражение d_ik  можно записать в следующем виде:

, (i, k = 1,2,..., n + 1), (5.49)

Так как, фундаментная плита считается абсолютно жестким, поэтому при i = n + 1, или k = n + 1 следует принимать .

Здесь определяется по формуле Мора; с₁ и с_j - являются коэффициентами квазистатической жесткости основания при рав­номерном сдвиге и неравномерном сжатии или растяжении и их значения можно определить по следующим соотношениям а автора

[7]:

    , (5.50)

где приняты следующие обозначения: - скорость распространения поперечных волн в грунтах основания; r - плот­ность грунтов основания; F - площадь подошвы фундаментной плиты; - момент инерции площади подошвы фундаментной плиты относительно оси х.

Для учета рассеивания энергии при колебаниях системы вос­пользуемся теорией Фойгта, согласно которой диссипативные силы прикладываются к сосредоточенным массам в состоянии движения системы, величина которых пропорциональна скорости движения сосредоточенных масс. Коэффициенты пропорциональности для рассматриваемой системы определяются по формуле автора [7]:

,   i, k = 1,2,..., n + 1. (5.51)

Величина , где ; d - логарифмический декре­мент колебания, характеризует рассеивания энергии по корректи­рованной гипотезе Фойгта за счет внутреннего неупругого сопро­тивления материалов конструкций при их деформации; h₁ - харак­теризует излучение энергии в основании за счет сдвиговых дефор­маций, происходящих на контактной поверхности между фунда­ментной плитой и основанием; h_j - коэффициент рассеивания энергии за счет неравномерных линейных деформаций, происходя­щих на контактной поверхности между фундаментной плитой и основанием.

Акустическое сопротивление основания при равномерном сдвиге h₁ и неравномерного сжатия и растяжения h_j определяются по известным соотношениям и автора [7]:

    , (5.52)

где - скорость распространения продольных волн в грунтовом основании.

Воспользуемся методом сил и запишем величину перемещения y_i (t) произвольной массы с номером i = 1,2,..., n + 1, от действия сил инерции и сил учитывающих рассеивание энергии в рас­сматриваемой системе:

,

(i = 1,2,..., n + 1) (5.53)

Здесь I_k(t) (k-1,2,...,n+1) сила инерции, действующая на k-ую массу и определяется по принципу Даламбера:

. (5.54)

Сила сопротивления , возникающая в k-ой массе, соглас­но гипотезе Фойхта прямо пропорциональна величине скорости его движения:

. (5.55)

Подставляя выражения (5.54) и (5.55) в (5.53) и после некото­рых преобразований получим: дифференциальное уравнение дви­жения заданной системы в следующем виде:

, (i = 1,2,..., n + 1). (5.56)

Для расчета сооружений на сейсмические воздействия справед­ливы нулевые начальные условия, т.е. предполагается что до начала землетрясения сооружение находится в состоянии покоя. При зем­летрясении сооружение, переходя в движение, ее состояния харак­теризуется системой уравнений (5.56).

Для расчета системы дифференциальных уравнений (5.56) при­меняется метод преобразования Лапласа, т.е. искомые функции на­ходятся по формуле:

, (5.57)

где y_i(s) является изображением функции y_i(t) по Лапласу и опре­деляется по формуле:

. (5.58)

Подставляя (5.57) в (5.56) с учетом нулевых начальных условий задачи, получим:

, (i = 1,2,..., n + 1). (5.59)

Последнее представляет систему алгебраических уравнений от­носительно перемещений y_i(s) в изображениях Лапласа.

Решение (5.59) в изображениях представлено в виде:

, (5.60)

где D_i(s) - представляет собой определитель системы неоднородных алгебраических уравнений (5.59); D(s) - определитель той же систе­мы при неизвестных y_i(s).

Применяя к выражению (5.60) операции обратного преобразо­вания Лапласа с применением теоремы свертки, получим решение задачи в следующем виде:

, (5.61)

где a_k корни определяются а - дифференциал определителя по a_k при s = a_k, т.е.

В традиционных методах расчета сооружения на сейсмостой­кость, как правило, применяется следующее упрощающее допуще­ние, что основание сооружения является абсолютно твердым телом, т.е. с₁®¥ и с_j®¥. Если исходить из условия существования пол­ного прилипания между фундаментной плитой и основанием на их контактной поверхности, очевидно, что масса с номером n + 1, т.е. фундаментная плита, полностью повторяет закон движения основа­ния. С другой стороны, так как закон движения основания в дан­ном случае считается исходной известной функцией, следовательно закон движения фундаментной плиты тоже следует считать извест­ной величиной. Поэтому число степеней свободы рассматриваемой системы (см. рис. 5.13) на одну единицу уменьшается и принимает значения равной n.

Искомыми величинами в данном случае являются перемещения сосредоточенных масс с номерами i = 1,2,...,n.

С учетом данного обстоятельства уравнение движения сооруже­ния из (5.56) упрощается и принимает вид:

, (i = 1,2,...,n) (5.62)

Для решения системы дифференциальных уравнений (5.62) с постоянными коэффициентами применяется метод разложения ко­лебаний по формам, основанный на методе разделения перемен­ных, т.е.

. (5.63)

Сначала, для определения собственной частоты и собственного вектора X_iv, рассматриваются собственные колебания системы без учета сил сопротивления. В данном случае из (5.62) получим урав­нения движения системы без учета сил сопротивления в свободном режиме колебаний:

= 0,   (i = 1,2,...,n). (5.64)

Подставляя решение (5.63) в (5.64), с учетом условий ортого­нальности собственных форм колебаний, т.е.

= 0,   (i ¹ k, i , k = 1,2,...,n), (5.65)

и после ряда преобразований получим:

. (5.66)

Выполнение этих равенств для произвольного значения t воз­можно лишь в том случае, если каждая из них в отдельности равна одной и той же постоянной при любом значении v. Обозначив эту постоянную через , получим:

= 0,   (i = 1,2,...,n). (5.67)

Последние уравнения представляют собой систему n линейных однородных алгебраических уравнений относительно неизвестных X_in для каждой n = 1,2...,n формы колебаний.

Для определения ненулевых решений системы (5.67) необхо­димо обеспечить равенство нулю ее детерминанта:

. (5.68)

В развернутом виде это выражение представляет собой алгеб­раическое уравнение n-ой степени относительно . Корни этого уравнения вещественны, положительны и в большинстве случаев отличны друг от друга. Таким образом из решения (5.68) опре­деляется n положительных значений w₀, которые в возрастающем порядке: w₀₁ > w₀₂ >...> w_n являются собственными частотами сис­темы без учета ее диссипативных свойств.

После определения собственных частот из решения системы (5.67) определяются значения собственных векторов Х_iv (i = 1,2,..., n) для каждой v-ой формы колебаний.

Для определения решения уравнений движения системы в вынужденном режиме колебаний подставим выражение (5.63) в уравнения (5.62) и с учетом условий ортогональности (5.65), полу­чим:

, (5.69)

где приняты следующие обозначения:

. (5.70)

При нулевых начальных условиях, решая дифференциальное уравнение (5.69) и подставляя в (5.63), окончательно получим:

, (5.71)

где - называется частотой собственных колебаний с учетом диссипативных свойств системы.

Как показывает уравнение (5.69), применение принципа разло­жения колебаний по собственным формам, позволяет рассматри­вать колебания линейно-деформируемых систем по отдельным формам независимо от колебаний по другим формам, вследствии чего системы со многими степенями свободы рассчитываются как системы с одной степенью свободы для каждой отдельной формы.

Указанный подход позволяет при рассмотрении системы со многими степенями свободы оценить динамический эффект внеш­него воздействия через значения коэффициента динамичности для системы с одной степенью свободы.

Сейсмические колебания системы с одной степенью свободы из (5.54) принимают вид:

, (5.72)

откуда

. (5.73)

Последнее уравнение можно записать в виде:

, (5.74)

где .

Решение последнего уравнения имеет вид:

. (5.75)

Дважды дифференцируя последнее выражение получим относи­тельное ускорение , после суммирования с получим последнее ускорение системы с одной степенью свободы в следу­ющем виде:

, (5.76)

где

. (5.77)

Коэффициент динамичности в данном случае определяется по формуле:

. (5.78)

Примерный вид графика ускорения колебания грунтов при сей­смических воздействиях представлен на рис. 5.14.

216