- •5.4. Свободные колебания системы с произвольным числом степеней свободы
- •5.5. Вынужденные колебания систем с произвольным числом степеней свободы при действии вибрационной нагрузки
- •5.6. Пример динамического расчета рамы (задача 14)
- •1. Определение частот и периодов собственных колебаний рассматриваемой системы
кН×м;
кН×м.
Максимальное напряжение в опасном сечении принимает значение:
= R < 25×104 кН/м2,
т.е. прочность конструкций обеспечена.
5.4. Свободные колебания системы с произвольным числом степеней свободы
Рассмотрим свободные колебания системы с конечным числом степеней свободы. В качестве объекта рассмотрим упругую невесомую балку, изображенную на рис. 5.3 и с n сосредоточенными массами m1, m2, m3,..., mn. Пренебрегаем продольными деформациями оси балки в процессе колебаний. При этом положение системы однозначно определяется перемещениями сосредоточенных масс yi (t) (i = 1,2,3,...,n) в произвольные моменты времени t, вызванными упругими деформациями балки в поперечном направлении.
Во время движения, пренебрегая сопротивлением внутренних и внешних сил, на балку будут действовать в качестве внешних сил инерционные силы , (i = 1,2,3,...,n). Применяя метод сил, перемещение произвольной массы yi (t) записывается в виде суммы:
yi (t) = , (5.11)
где - перемещение i-ой массы от статической единичной силы, приложенной к k-ой массе от статической единичной силы по направлению соответствующей инерционной силы.
Подставляя выражение инерционных сил в систему уравнений (5.11), получим:
yi (t) + = 0, (i = 1,2,3,...,n). (5.12)
Система дифференциальных уравнений движения (5.12), описывающая свободные колебания заданной балки, представляет собой замкнутую систему дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами, решение которой в общем случае записывается в виде:
yi (t) = . (5.13)
Рассмотрим одно частное произвольное решение соответствующее r-ой форме колебаний:
yir (t) =. (5.14)
Подставляя (5.14) в (5.12) получим:
, (5.15)
которое распадается на две группы уравнений:
(5.16)
и
(5.17)
Решение уравнения (5.16) записывается в виде:
, (r = 1,2,3,...,n). (5.18)
Как видно из (5.18), по произвольной форме r = 1,2,3,...,n колебания происходят по гармоническому закону с частотой wr . Здесь wr - частота собственных колебаний заданной системы, соответствующая r-ой форме.
Согласно (5.14) - является перемещением i-ой массы при r-ой форме колебания, значения которой определяется из решения системы алгебраических уравнений (5.17).
Система (5.17) относительно (i = 1,2,3,...,n) имеет различные решения. Очевидно, решение º 0 свидетельствует об отсутствии движения системы, т.е. состояние покоя системы, которое нас не интересует.
Система (5.17) может иметь решения, отличные от нулевого лишь в том случае, когда ее определитель равен нулю, т.е. когда выполняется условие:
= 0, (5.19)
где принято обозначение lr = 1/wr2.
Раскрывая определитель (5.19), получаем уравнения n-ой степени относительно lr , а при его решении получим n значений lr . Каждому значению lr (r = 1,2,3,...,n) будет соответствовать своя собственная частота:
,
и свой собственный вектор:
.
При этом собственные формы упругих систем ортогональны между собой:
, (r,k = 1,2,3,...,n; r ¹ k). (5.20)
Величины непосредственно из решения (5.17) определить нельзя, они могут быть найдены с точностью до произвольного постоянного множителя, т.е. по существу могут быть найдены отношения между . Принимая обозначения система (5.17) преобразуется в вид:
Последняя система имеет одно лишнее уравнение, так как имеем n уравнений относительно (n-1) неизвестных r2r , r3r ,..., rnr . Отбрасывая одно из этих уравнений, решая оставшуюся систему определяют все неизвестные r2r , r3r ,..., rnr .
Далее, полагая r1r = 1 , по формуле определяются все остальные амплитуды перемещений масс приr-ой произвольной форме колебаний.
Возвращаясь к выражению (5.13) с учетом (5.18) можем записать:
yi (t) = . (5.21)
Учитывая, что ,Ar и Br являются произвольными постоянными, решение (5.21) можно записать в более удобной форме:
yi (t) = ,
где иможно выразить через начальные условия каждой массы приt = 0, которыми являются перемещения i-ой массы yi (0) и ее скорости , и следовательно, задача о свободных колебаниях системы с произвольным числом свободы будет полностью решена.