- •Устойчивость сооружений
- •Методы исследования устойчивости
- •Статический метод исследования устойчивости стержневых систем
- •Продольно-поперечный изгиб стержня
- •Расчет статически неопределимых рам на устойчивость методом перемещений
- •Понятие о расчете на устойчивость круговых арок постоянного сечения
- •3. Устойчивость двухшарнирной круговой арки
- •Устойчивость составных стержней (сквозных колонн)
- •Расчет на устойчивость колонны ступенчатого сечения
- •Потеря устойчивости плоской фермы изгиба тонкой полосы и двутавровой балки
3. Устойчивость двухшарнирной круговой арки
Рассмотрим круговую арку загруженную равномерно распределенной радиальной нагрузкой q.
q
A B
R
O
Дифференциальное уравнение кривого бруса по аналогии с кольцом
, где
Решение его:
,
где - угол изменяющийся от 0 до.
Граничные условия задачи:
1) при = 0W= 0;
0 = С2
2) при =W= 0;
0 = C1sinK;C10
Следовательно sinK=0
;;;
;
Лекция 9
Устойчивость составных стержней (сквозных колонн)
Составные стержни, состоящие из отдельных ветвей, связанных планками или решеткой, обладают меньшей жесткостью, чем сплошные. Решетка воспринимает действие поперечных сил, влияние которых необходимо учитывать наряду с изгибающими моментами.
x
P P
Q dx
l 1 1 dx dx
y
Q
b
1- 1
М = Ру, потенциальная энергия изгиба:
(1)
Работа поперечных сил:
где dS=dx
Относительный сдвиг при действииQ=1 обозначим через1, тогда=Q·1
Потенциальная энергия, равная работе поперечных сил:
если учесть, что то
(2)
Работа внешних сил:
, (3)
где
из выражения:
Uм + UQ=A,
получим:
или
Принимаем, что в момент потери устойчивости стержень искривляется по синусоиде которая удовлетворяет граничным условиям задачи:
1) при х = 0; у = 0
2) при у = 0.
Тогда:
в результате получаем:
отсюда:
умножим числитель и знаменатель на EJ
Обозначим
(4)
(5)
Чтобы определить значение коэффициента необходимо знать1, которое зависит от типа соединения отдельных ветвей стойки.
Рассмотрим стойку с ветвями соединенными решеткой
Q=1пусть длина раскосаd
kk1
ad1d
n
mQ=1 поперечную силу воспринимает на себя
раскос, удлинение которого:
b
, гдеNp,Fp- соответственно усилие и площадь сечения раскоса
длина раскоса
,
тогда
,
кроме того d=KK1·cos
или:
(6)
Рассмотрим стойку с ветвями соединенными планками
в точках nиn1изгибающие
моменты = 0, действуют
только поперечные силы
b/2
b n n1
b/2
Q=1
½ 1/2
n n1
1 b/2
b/2
½ 1/2
Q=1
(7)
ymax=nn1
1/2 Mp Mp
b/2
b/4 b/2
или
где Jв- момент инерции одной ветви колонны.
Лекция 10
Расчет на устойчивость колонны ступенчатого сечения
x
P P P
l1 I1
M= -P(-y)
ly
l2I2x
y
Запишем дифференциальное уравнение оси стойки для каждого участка
тогда
или
аналогично
обозначим
(1)
(2)
Общее решение дифференциального уравнения (1)
(3)
частное решение Ф1= А, подставим его в дифференциальное уравнение (1)
А =
(4)
аналогично
(5)
Определим коэффициенты уравнений (4) и (5) из граничных условий задачи:
1) При Х = 0 у2= 0
d2= -
2) При Х=lу1= 0
3) При Х = l2у1= у2
(6)
4) При Х = l2
(7)
Решая совместно уравнения (8) и (9) получим
(8)
Лекция 11