- •Устойчивость сооружений
- •Методы исследования устойчивости
- •Статический метод исследования устойчивости стержневых систем
- •Продольно-поперечный изгиб стержня
- •Расчет статически неопределимых рам на устойчивость методом перемещений
- •Понятие о расчете на устойчивость круговых арок постоянного сечения
- •3. Устойчивость двухшарнирной круговой арки
- •Устойчивость составных стержней (сквозных колонн)
- •Расчет на устойчивость колонны ступенчатого сечения
- •Потеря устойчивости плоской фермы изгиба тонкой полосы и двутавровой балки
Понятие о расчете на устойчивость круговых арок постоянного сечения
1. Вывод дифференциального уравнения кругового бруса
dSdS- длина элементаmnдо деформации,
nR - радиус кривизны
mW+dWm1n2положение элементаmnпосле
Wдеформации.
V+dV
V
Rd
O
Обозначим проекции перемещения точек mиnчерез:V- проекцию перемещения на касательную иW- проекцию перемещения на радиус.
Определим относительную деформацию элемента dS. Для этого воспользуемся принципом наложения и будем определять отдельно деформацию элемента от перемещенийWиV.
1) W= 0
V+dV
V
mm1nn1
d
O
Абсолютная деформация элемента dS равна dV, а относительная деформация
(1)
V= 0. Бесконечно малой величинойdWпренебрегаем
dSдо деформации
ndS=Rd
m Wпосле деформации
n1
m1
R d
O
Абсолютная деформация элемента dS
Относительная деформация:
, (2)
т.к. dS = Rd.
Полная относительная деформация элемента:
(3)
Кривизна элемента до деформации
dS=Rd
Определим изменение элемента за счет его деформации. Углы поворота касательных, проведенных к точке m:
1) W= 0
m m1n n1
V V+dV
R
O
2) V= 0
в этом случае пренебречь величиной dW нельзя
n
m
WW+dW
m1n1Заштрихованный треугольник ввиду
малых величин можно считать
прямолинейным, тогда:
R
O
Суммарный угол поворота касательной
(4)
Изменения кривизны деформированного элемента:
Продифференцируем выражение (4):
(5)
Пренебрегая удлинением элемента dS, т.е. , из уравнения (3) имеем:
подставляя это значение в (5) и .
(6)
Из сопротивления материалов известно дифференциальное уравнение изогнутой оси бруса:
(7)
подставив (7) в (6) получим дифференциальное уравнение кривого бруса:
или
(8)
2. Устойчивость кругового кольца при радиальной нагрузке
yq - интенсивность равномерно
Kраспределенной радиальной
нагрузки.
WK1
q
x
R
При q < qкркольцо сохраняет первоначальную форму равновесия и в нем возникают только продольные усилия сжатия.
При qqкркольцо теряет устойчивую форму равновесия, приобретая овальную форму и в нем, наряду с продольными усилиями появляются изгибающие моменты.
Рассмотрим элемент dSдо потери устойчивости:
y
qdS
NN
ввиду малости угла
d
О
тогда
, dS = Rd
;
(а)
После потери устойчивости точка К переместится в точку К1, прогиб стенки кольца составляетW. В деформированном состоянии продольная сила вызывает в кольце изгибающий момент:
Подставим это значение момента в дифференциальное уравнение бруса (8):
,
или
(б)
Обозначим
(с)
(d)
Решение этого однородного дифференциального уравнения запишется:
(е)
Значение коэффициентов С1и С2найдем из граничных условий:
учитывая, что на осях симметрии W’=0
1) при = 0
0 = С1К; С1= 0
2) при
С2= 0; К = 0
Следовательно , а это возможно при :
1) К = 0 - противоречит условию задачи (см. выше)
2) К=2, sin= 0.
Из выражения (с) получаем
,
отсюда (f)