20.9 Метод замены распределенных масс сосредоточенными.

Этот метод основан на идее приближенной замены системы с бесконечной степень свободы системой с конечной степенью, путем замены распределенной массы сосредоточенными, что может быть выполнено двумя способами.

По первому способу распределенная масса разбивается на участки, и на каждом участке распределенная масса заменяется сосредоточенной массой, располагаемой в центре тяжести участка (см. рис. а).

По второму способу массы на участках распределяются по закону рычага (рис. б)

m(x)

m₁ m₂m₃ m₄

а)

m₁ m₂m₃

б)

Часто второй способ дает более простую систему с меньшим числом степеней свободы, чем первый.

20.10 Метод переноса масс для определения первой частоты свободных колебаний.

Рассмотрим систему с одной степенью свободы, в виде невесомой балки с одной сосредоточенной массой m_i. Частота колебаний такой системы

m_im_i_i

X_iP=1aP=1

_II_aa

Перенесем массу m_i с некоторым поправочным коэффиентом в другое место на балке, получим новую систему с частотой. Потребуем, чтобы обе системы имели одинаковую частоту, т.е.

.

Отсюда и получаем значение поправочного коэффициента _iпри переносе массы с

одного места на другое

.

Если теперь мы имеем аналогичную систему с nстепенями свободы, то собирая все массы в одну точку, заменим приближенно такую систему системой с одной степенью свободы.

m₁ m₂ m_i

a

M

Приближенно частота колебаний

Обратная ей величина

Формула весьма проста. Она не требует выбора места расположения приведенной массы M, ни определения ее величины, чем достигается однозначность решения. Достоинство формулы еще и в том, что она всегда дает заниженное значение определяемой частоты, как говорят, дает приближение снизу.

Недостаток формулы состоит в том, что она иногда дает грубое приближение.

Если наряду с сосредоточенными массами система имеет распределенные массы, то формула для определения частоты собственных колебаний запишется

где - перемещение бесконечно малой массыm(x)dxот единичной силы, приложенной в точке с координатой x.

25