16.3. Расчет неразрезной балки на действие постоянных и временных нагрузок

Для неразрезной балки постоянного поперечного сечения (рис.16.6, а) требуется:

1. Построить эпюру изгибающих моментов от заданной постоянной нагрузки с помощью уравнений трех моментов;

2. Построить линии влияния опорных изгибающих моментов М₁,М₂и изгибающего момента в сечении, расположенном посере­дине пролетаl₂ ;

3. По линиям влияния, полученным в п.16.2 проверить ординаты эпюры М, полученной в п.11.1;

4. От временной равномерно распределенной нагрузки интенсивностью q= 10 кН/м (может располагаться с разрывами в несколькихіпролетах балки) и заданной постоянной нагрузки построить объемлющую эпюру изгибающих моментов для пролета l₂.

Решение:

1. Построение эпюры изгибающих моментов

Для составления уравнений трех моментов получим основную систему путем введения в заданную неразрезную балку шарниров над всеми промежуточными опорами, предварительно заменив за­делку дополнительным пролетом длиной l₄=0.  Кроме того, заме­ним консоль с нагрузкой внешним сосредоточенным моментомМ₀. Полученная основная система показана на рис.16.6,б. Напишем уравнения трех моментов для промежуточных опор:

(16.15)

В этих уравнениях: кНм;;.

Построим эпюру изгибающих моментов в основной системе от заданной внешней нагрузки. Она представляет собой сочетание эпюр изгибающих моментов для всех пролетов балки, если каждый из них рассматривать как балку на двух шарнирных опорах. Указанная эпюра показана на рис.16.6, в. Используя эту эпюру, найдем фиктивные опорные реакции (увеличенные вEJраз) для каждого пролета балки:

кН×м2;

кН×м2;

кН×м2;

.

Подставляя все известные числовые величины в систему урав­нений (16.15), получим:

После несложных преобразований получим:

(16.16)

Умножив обе части второго уравнения на 2 и вычитая третье уравнение, получим:

.

Рис.16.6

Учитывая первое уравнение системы (16.16), получим:

(16.17)

Решая полученную систему, найдем:

кН×м;кН×м.

Подставляя значение М₂в третье уравнение системы (16.16), найдем:

кН×м.

Для проверки решения подставим найденные величины М₁, М₂и М₃ в каждое из уравнений системы (16.16):

Результаты проверки подтверждают правильность нахождения неизвестных М₁,М₂иМ₃ . По полученным данным построим эпю­ру опорных моментов (на рис.16.6,гпоказана пунктиром). Отложив от пунктирной линии ординаты эпюры изгибающих моментов в основной системе, которая показана на рис.16.6,в, получим эпюру изгибающих моментов от постоянной внешней нагрузки для заданной неразрезной балки (рис.16.6,г).

2. Построение линий влияния опорных моментов М₁  и М₂ и изгибающего момента в сечении, расположенном посередине пролета l₂

Согласно общей методике, изложенной в п.16.2 для построе­ния линий влияния М₁кинематическим методом, необходимо в балке нарушить ту связь, которая передает это усилие, и заменить нарушенную связь моментомМ₁ .

Изобразив, примерный вид упругой линии основной системы от усилия М₁= 1, получим модель линии влияния моментаМ₁ .

Запишем систему уравнений трех моментов (исключая для опоры 1) для определения изгибающих моментов на опорах от дейст­вия М₁= 1:

Учитывая, что l₄ = 0, аМ₁= 1, получим:

Из второго уравнения имеем: М₂ =-2М₃.

Подставим это значение в первое уравнение получим:

, откудакН×м.

Далее кН×м.

По данным рис.16.3 подсчитаем взаимный угол поворота смежных сечений основной системы на опоре 1: 

.

Расчеты будем вести в табличной форме (табл.16.2, где ординаты линии влияния умножены на число EJ).

Таблица 16.2

Часть балки	Сечение	Момент на опоре приложен слева	Момент на опоре приложен справа	Момент на опоре приложен и слева и справа	Ординаты линии влияния, М1
Пролет 0-1	0 0,25 0,50 0,75 1,0	0 0 0 0 0	0 0,4925 0,7776 0,6739 0	0 0,4925 0,7776 0,6739 0	0 0,17533 0,28050 0,24542 0
Пролет 1-2	0 0,25 0,50 0,75 1,0	0 1,8720 2,1600 1,7280 0	0 -0,5400 -0,6750 -0,5850 0	0 1,3320 1,4850 1,1430 0	0 0,52927 0,53543 0,27386 0
Пролет 2-3	0 0,25 0,50 0,75 1,0	0 -0,3744 -0,4320 -0,2736 0	0 0,1728 0,2160 0,1872 0	0 -0,2016 -0,2160 -0,0864 0	0 0,08773 0,07800 -0,02927 0

Аналогично строим линию влияния опорного момента М₂. За­пишем систему уравнений трех моментов (исключая для опоры 2) для определения изгибающих моментов на опорах от действияМ₂= 1:

Учитывая, что l₄ =0, аM₂= 1, получим:

Решив эту систему, получим:

кН×м;кН×м.

Взаимный угол поворота смежных сечений основной системы на опоре 2:

.

Расчеты будем вести в табличной форме (табл.16.3, где ордина­ты линии влияния умножены на число EJ).

Таблица 11.3

Часть балки	Сечение	Момент на опоре приложен слева	Момент на опоре приложен справа	Момент на опоре приложен и слева и справа	Ординаты линии влияния, М2
Пролет 0-1	0 0,25 0,50 0,75 1,0	0 0 0 0 0	0 -0,1368 -0,2160 -0,1872 0	0 -0,1368 -0,2160 -0,1872 0	0 -0,05465 -0,08775 -0,07678 0
Пролет 1-2	0 0,25 0,50 0,75 1,0	0 -0,3120 -0,3600 -0,2280 0	0 1,3680 2,1600 1,8720 0	0 1,0560 1,8000 1,6440 0	0 0,27386 0,53643 0,52927 0
Пролет 2-3	0 0,25 0,50 0,75 1,0	0 1,1980 1,3824 0,8755 0	0 -0,4378 -0,6912 -0,5990 0	0 0,7602 0,6912 0,2765 0	0 0,26050 0,24938 0,09357 0

Ординаты линии влияния изгибающего момента в сечении, расположенном посередине второго пролета , определяем по формуле:

,

где -ординаты линии влияния изгибающего момента в сечении, расположенном посередине второго пролета, если этот пролет рассматривать как балку на двух шарнирных опорах;M₁и M₂-ординаты линий влияния опорных моментов M₁и M₂ .

По полученным данным строим линии влияния опорных изгибающих моментов M₁и M₂, а также линию влияния изгибающего момента(см. рис.16.7).

Для дальнейших расчетов подсчитаем методом трапеций пло­щади линий влияния М₁, М₂идля каждого из пролетов.

Линия влияния М₁:

м²;

м²;

м²;

м².

Линия влияния М₂:

м²;

м²;

м²;

м².

Линия влияния :

м²;

м²;

м²;

м².

3. По линиям влияния, полученным в п.2, проверка ординат эпюры М, полученным в п.1

Как известно, определение усилий с помощью линий влияния производится по формулам:

-от действия сосредоточенной силы:S=P_i y_i , где y_i-ордината линии влияния усилияS, расположенная под силойP_i ;

-от действия равномерно распределенной нагрузки: S=q_j w_j , гдеw_j-площадь участка линии влияния в пределах действия равномерно распределенной нагрузки интенсивностьюq_j .

Далее последовательно проверим по линиям влияния М₁, М₂иординаты эпюры изгибающих моментов, построенной в п.1, в сечениях 1, 2 и .

кН×м,

погрешность при этом составляет .

Далее определяем:

кН×м,

погрешность составляет .

Наконец находим:

кН×м,

погрешность составляет .

Рис.16.7