14.5. Вынужденные колебания систем с произвольным числом степеней свободы при действии вибрационной нагрузки

Рассматриваем установившиеся вынужденные колебания системы (рис.14.4) без учета внешнего или внутреннего сопротив­ления. Будем считать, что внешнюю нагрузку можно разложить по направлениям перемещений сосредоточенных масс, а составляю­щие ее обозначим , (i = 1,2,3,...,n).

Рис.14.4

Таким образом, роль внешних сил здесь будут играть величины:

. (14.22)

Канонические уравнения метода сил в данном случае записы­ваются в виде:

(r = 1,2,3,...,n). (14.23)

Подставляя (14.22) в (14.23) и после ряда преобразова­ний, получим:

(i = 1,2,3,...,n). (14.24)

Здесь - амплитудное значение перемещения i-ой массы, вызванное действием системы внешних сил .

Частное решение системы уравнений (14.24) записывается в виде:

, (14.25)

где - амплитуда перемещения i-ой массы;  - частота вынуж­денных колебаний системы.

Выражение для определения инерционных сил принимает вид:

Z_i (t) = , (14.26)

где - амплитудные величины инерционных сил.

Принимая обозначение

(14.27)

и с учетом (14.26) систему уравнений можно преобразовать к сле­дующему виду:

(14.28)

решение которого записывается в виде:

. (14.29)

Здесь D и D_i - соответственно, определитель системы (14.28) и определитель, полученный из D заменой элементов (k = 1,2,..., n) соответствующими свободными членами (i = 1,2,..., n), т.е.

;

. (14.30)

Нетрудно заметить, что определитель D совпадает по форме с выражением (14.19), и поэтому при , т.е. при стремлении зна­чения частоты вынужденных колебаний к частоте собственных ко­лебаний заданной системы, получим, следовательнои соответственно, и согласно (14.26), т.е. будет иметь место резонанс.

График зависимости от частоты имеет вид, приведенный на рис.14.5.

Рис.14.5

Однако увеличение амплитуды колебаний при резонансе до бесконечности является абстракцией. В действительности всегда имеются контуры, ограничивающие величину амплитуды, в частности внутреннее трение материала конструкции или внешнее сопротивление. Поэтому в действительности припроисходит значительное увеличение, при этом оставаясь конечной величи­ной.

После определения из (14.29) с учетом (14.22) следует опре­делить амплитудное значение внешних сил:

, (i = 1, 2,..., n), (14.31)

и по значениям (i = 1, 2,..., n) определить амплитудное значе­ние внутренних усилий.

Например, общее выражение для определения амплитудных значений изгибающих моментов от динамических сил R_i (t) для статически неопределимых систем можно записать в виде:

,

где M_ik (k,i = 1,2,..., n) - значение момента в i-ом сечении при действии единичной силы в точкеk. 

НАЗАДНА ОГЛАВЛЕНИЕДАЛЕЕ