МодСистЛЕКЦ / Алгоритмы в интуитвном смысле

АЛГОРИТМЫ В ИНТУИТИВНОМ СМЫСЛЕ

1. Интуитивное понятие алгоритма

Предметом теории алгоритмов является алгоритм.

Термин алгоритм происходит от имени узбекского математика Хорезми (по-арабски ал-Хорезми). Хорезми составил правила действий над числами в десятичной системе счисления. В Европе эти правила назвали алгоризмом. Впоследствии под этим термином стали понимать любую совокупность действий, позволяющих достичь определенных результатов, не обязательно в арифметике. Правда, сначала его употребляли только математики, обозначая правила решения различного рода задач и изменив на алгоритм.

Нельзя сказать, что формирование научного понятия алгоритм закончено.

В любой науке понятийные знания играют первостепенную роль. Ввести какое-либо новое понятие, значит, дать ему определение. Обычно новые понятия строятся на основе некоторого набора простых исходных понятий с помощью логических процедур. Эти процедуры называют номинальными определениями в отличие от реальных определений. Номинальные и реальные определения – это разные понятия. Термин реальное определение употребляют в то случае, когда исходят из основных и характерных свойств предмета. Например, Корень растения – эта та его часть, с помощью которой он извлекает питание из почвы.

Самое важное требование, предъявляемое к номинальному определению, состоит в том, чтобы в нем отсутствовал порочный круг и связанная с ним возможность исключения нововведенных терминов. Это означает, что определяющее не должно содержать определяемого термина.

Некоторые номинальные определения называют явными, другие неявными или контекстными. В последнем случае определяемое не есть изолированный термин, а появляется в словосочетании.

Важным вопросом является вопрос о существовании и единственности номинального определения. К примеру, существует ли целое число, представимое в виде суммы трех простых чисел? Число должно быть больше или равно шести. (Проблема Гольдбаха. Письмо к Эйлеру).

Данную проблему можно сформулировать по-другому: можно ли построить алгоритм поиска указанного числа? Для четных чисел ответ утвердительный.(В 1937г И.М Виноградовым было показано, как найти такие числа.) Для нечетных чисел проблема не решена до сих пор.

Определения через род и видовое отличие часто называют классическим, идущим еще от Аристотеля.

В последнее время часто применяют так называемые рекурсивные определения. В простейшем случае такие определения содержат циклическую часть и вход в нее. При этом циклическая часть не просто выражает новое определение через него самого, а расширяет его. Таким образом происходит наполнение определения новым содержанием. Так например, в алгоритмических языках вводится понятие слова, которое не совпадает с общепринятым понятием.

Словом называется либо пустая строка букв, либо слово, к которому приписана буква. Легко видеть, что это определение состоит из прямой части – пустая строка и циклической части. В математике широко употребляют понятие пустого множества, в данном случае -–пустая строка.

При наполнении интуитивного понятия алгоритм также пользуются рекурсивным определением.

Отправным пунктом при интуитивном определении данного понятия служит понятие совокупности правил, предписывающих последовательность действий, ведущих к достижению некоторого необходимого результата.

Приведем несколько примеров алгоритмов

Анализ рассмотренных нами примеров позволяет сделать некоторые выводы.

Прежде всего, следует отметить, что каждый алгоритм может быть реализован только при наличии исходных данных и целевой установки. Ясно, что для достижения цели должен быть указан и порядок необходимых действий. К сожалению далеко не всегда может быть известна эта цепочка действий.

Далее. Алгоритм можно осуществить для различных наборов исходных данных. Это свойство алгоритмов называют массовостью. Под массовостью подразумевают следующее: существует класс объектов, которые можно принять в качестве исходных данных. Другими словами, этот класс объектов является допустимым для его преобразования в искомые результаты.

Следующим важным свойством алгоритмов является их потенциальная осуществимость. Говорят, что алгоритм применим к допустимым исходным данным, если с его помощью можно получить искомый результат. В противном случае его нельзя реализовать в принципе или же он неприемлем из практических соображений. (Примеры.).

Анализируя интуитивное понятие алгоритма, можно увидеть, что еще одно его свойство. Алгоритм должен быть понятен исполнителю. Представим себе следующие алгоритмы.

Определенность алгоритма.

Формулировка алгоритма так точна, что не оставляет места фантазии его исполнителю. Свойство определенности связано с его понятностью.

Выводы.

Теперь можно уточнить понятие алгоритма.

Алгоритм - это правило, сформулированное на некотором языке, определяющее преобразование допустимых исходных данных в искомый результат. Допустимыми исходными данными для заданного правила преобразования являются предложения исходных данных. Правило характеризуется массовостью, понятностью для исполнителя и определенностью. Если оно применимо к допустимым исходным данным, то оно потенциально осуществимо.

Если мы признаем какое-нибудь правило алгоритмом, то с точки зрения науки это будет алгоритмом в интуитивном смысле..

Интуитивному понятию наука ставит в соответствие формальное определение, более точное, хотя и более узкое.

Неточность интуитивного понятия алгоритм вытекает из не строгости используемых в нем терминов. В частности, нет строгого определения терминов – язык, понятность, точность. При этом следует признать их ясность в интуитивном смысле.

Чтобы дать более точное определение алгоритму, введем понятие рекурсивной функции.

Рекурсивные функции.

.