4.77 4.784.79
4.80 4.81
В задачах 4.82-4.84 с помощью графического сложения построить графики следующих функций:
4.82 .4.83 .
4.84
§ 3 Предел числовой последовательности и функции
Если каждому натуральному числу по некоторому правилупоставлено в соответствие одно вполне определённое действительное число, то говорят, что заданачисловая последовательность . Кратко обозначают. Числоназывается общим членом последовательности. Последовательность называют также функцией натурального аргумента. Последовательность всегда содержит бесконечно много элементов, среди которых могут быть равные.
Число называетсяпределом последовательности , и пишут, если для любого числанайдётся номертакой, что при всехвыполняется неравенство.
Последовательность , имеющая конечный предел, называетсясходящейся, в противном случае – расходящейся.
Последовательность называетсябесконечно малой, если . Последовательностьназываетсябесконечно большой (сходящейся к бесконечности) и пишут , если для любого числанайдётся номертакой, что при всехвыполняется неравенство.
Число называетсяпределом функции при (или в точке ), и пишут, если для любого числанайдётся числотакое, что при всех, удовлетворяющих условию, выполняется неравенство.
Число называетсяпределом функции при , и пишут , если для любого числанайдётся числотакое, что при всех, удовлетворяющих условию, выполняется неравенство.
Рассматривают также односторонние пределы функций: ,,,, гдестремится к,,или только с левой стороны или только с правой стороны.
Основные утверждения, используемые для вычисления пределов функций при (в дальнейшем- или числоили символ):
1) Если - постоянная величина, то.
2) Если существуют конечные пределы ,, то:
а) ;б) ;
в) ;г) , если.
При вычислении пределов постоянно пользуются и тем, что для любой основной элементарной функции и точкииз её области определения справедливо соотношение.
Функция называетсябесконечно большой при , если. Функцияназываетсябесконечно малой при , если.
Основные утверждения для бесконечно больших функций, используемые для вычисления пределов при :
1) Если, то,если, то
2) Если и, то.
3) Если и, то.
4) Если и, то.
5) Если и, то.
6) Если и, то.
Если непосредственное применение свойств конечных пределов и бесконечно больших функций приводит к неопределённым выражениям, символически обозначаемым: , то для вычисления предела – «раскрытия неопределённости» - преобразовывают выражение так, чтобы получить возможность его вычислить.
В задачах 4.85-4.88 , используя определение предела, доказать, что и найти номертакой, чтодля всех:
4.85 ,.
4.86 ,.
4.87 ,.
4.88 ,.
В задачах 4.89-4.111 найти пределы последовательностей:
4.894.904.91
4.92. 4.93. 4.94.
4.95. 4.96.
4.97. 4.98.
4.99. 4.100.
4.101. 4.102. 4.103.
4.104. 4.105.
4.106. 4.107.
4.108.
4.109. 4.110.
4.111.
В задачах 4.112-4.113 пользуясь только определением предела функции доказать, что и заполнить таблицу:
0.1 |
0.01 |
0.001 | |
|
|
|
4.112 а) ; б).
4.113 а) ; б).
В задачах 4.114-4.132 вычислить пределы рациональных выражений:
4.114.4.115.
4.116.4.117.
4.118.4.119
4.1204.121
4.122.4.123.
4.1244.125
4.1264.127.
4.128.4.129 .
4.130.4.131.
4.132.
В задачах 4.133-4.149 вычислить пределы иррациональных выражений:
4.133.4.134
4.1354.136.
4.137 .4.138.
4.139 .4.140 .
4.141.4.142.
4.143.4.144.
4.145.4.146 .4.147.4.148.
4.149.
Первым замечательным пределом называется предел: . Следствиями из него являются пределы:
, ,.
В задачах 4.150-4.170, используя 1-ый замечательный предел, вычислить пределы:
4.1504.151.4.152.4.153.4.154.4.155.
4.156.4.157.
4.158.4.159.
4.160. 4.161
4.162.4.163 .
4.164.4.165.
4.166..4.167..
4.168.4.169.
4.170.
Вторым замечательным пределом называются пределы:
,
где -основание натуральных логарифмов (число Непера). Он используется для вычисления предела степенно-показательной функции, гдеи.
При нахождении пределов следует иметь в виду:
1) Если ,, то.
2) Если ,, товычисляют, учитывая, что:,.
4.171 Доказать пределы:
а);б);в)
В задачах 4.172-4.174 вычислить пределы:
4.172.4.173.4.174.
В задачах 4.175-4.204, используя 2-oй замечательный предел, а также результаты задачи 4.171, вычислить пределы:
4.175 .4.176 .
4.177 .4.178 .
4.179 .4.180.
4.181.4.182.
4.183.4.184.
4.185. 4.186.
4.187.4.188.
4.189.4.190.
4.191.4.192
4.193.4.194.
4.195.4.196.
4.197.4.198.
4.199.4.200.
4.201.4.202.
4.203.4.204.
Бесконечно малые функции иприназываютсяэквивалентными, и пишут ~, если.
Принцип замены эквивалентных бесконечно малых функций, состоит в том, что при вычислении предела частного или произведенияодну из функций (или обе) в этих выражениях можно заменить эквивалентной функцией. Так, если~,~при, то:
;
Основные эквивалентности при | |||
~ |
~ |
~ |
~ |
~ |
~ |
~ |
~ |
~ |
~ |
~ |
В задачах 4.205-4.222 вычислить пределы с помощью принципа замены эквивалентных бесконечно малых функций:
4.205.. 4.206.
4.207. 4.208.
4.209. 4.210.
4.211. 4.212.
4.213. 4.214.
4.215. 4.216.
4.217. 4.218.
4.219. 4.220.
4.221. 4.222.
4.223 Доказать, что при
а) б) в)
г) д).
Если ,,и при этом существует действительное числотакое, что, тоназываетсябесконечно малой функцией порядка относительно.
В задачах 4.224-4.235 определить порядок малости от-носительно