Глава 4. Введение в анализ.

§1. Функция. Основные понятия.

Величина, сохраняющая одно и тоже числовое значение, называется постоянной. Величина, принимающая различные числовые значения, называется переменной. Функцией называется правило, по которому каждому числуставится в соответствие одно вполне определённое число, и пишут. Множествоназываетсяобластью определения функции, -множеством (или областью) значений функции, -аргументом, -значением функции. Наиболее распространённым способом задания функции является аналитический способ, при котором функция задаётся формулой. Естественной областью определения функции называется множествозначений аргумента, для которого данная формула имеет смысл.Графиком функции ,в прямоугольной системе координат, называется множество всех точек плоскости с координатами,.

Функция называетсячётной на множестве , симметричном относительно точки, если для всехвыполняется условие:инечётной, если выполняется условие . В противном случае- функция общего вида илини чётная, ни нечётная.

Функция называетсяпериодической на множестве , если существует число(период функции), такое, что для всех выполняется условие:. Наименьшее числоназывается основным периодом.

Функция называетсямонотонно возрастающей (убывающей) на множестве , если большему значению аргументасоответствует большее (меньшее) значение функции.

Функция называетсяограниченной на множестве , если существует число, такое, что для всехвыполняется условие:. В противном случае функция -неограниченная.

Обратной к функции , , называется такая функция , которая определена на множествеи каждому

ставит в соответствие такое , что. Для нахождения функции, обратной к функции ,нужно решить уравнение относительно . Если функция , является строго монотонной на, то она всегда имеет обратную, при этом, если функция возрастает (убывает), то обратная функция также возрастает (убывает).

Функция , представляемая в виде, где,- некоторые функции такие, что область определения функциисодержит всё множество значений функции, называетсясложной функцией независимого аргумента . Переменнуюназывают при этом промежуточным аргументом. Сложную функциюназывают также композицией функцийи, и пишут:.

4.1 В треугольнике сторонасм, сторонасм и уголВыразитьи площадькак функции переменной

4.2 Найти выражение для площади равнобочной трапеции с основаниямиикак функции углапри основании

4.3 В шар радиуса R вписан цилиндр. Написать выражение для объема V цилиндра от его высоты Н. Найти область определения этой функции.

4.4 В шар радиуса R вписан прямой круговой конус. Написать выражение для площади боковой поверхности S конуса: а) от его образующей l; б) от угла при вершине конуса в его осевом сечении;в) от угла при основании конуса. Найти области определения каждой из полученных функций.

4.5 Определить функцию удовлетворяющую заданному условию:а);

б) ; в)

В задачах 4.6-4.12 найти область определения функций:

4.6 а); б);

в); г).

4.7 а); б);

в); г).

4.8 а); б) .