- •Глава 13. Математическая статистика.
- •§1. Выборка, способы её записи, графическое представление и числовые характеристики.
- •13.9 13.10
- •Основные числовые характеристики выборки.
- •§2. Статистические оценки параметров распределения.
- •2.1 Точечные оценки.
- •2.2 Интервальные оценки. Необходимый объём выборки.
- •Доверительные интервалы для параметров инормально распределённой генеральной совокупности.
- •Доверительный интервал для параметра биномиального распределения.
- •§3. Проверка статистических гипотез.
- •3.1 Проверка гипотез о параметрах нормально распределённой генеральной совокупности. Проверка гипотез о средних нормального распределения.
- •3.2 Проверка гипотез о параметре биномиального распределения.
- •3.3 Проверка гипотезы о виде распределения генеральной совокупности.
- •§4. Корреляционно-регрессионный анализ.
- •13.80 13.81
- •13.86 13.87
- •13.88 13.89
- •13.90 13.91
- •13.92 13.93
- •13.96 13.97
§2. Статистические оценки параметров распределения.
2.1 Точечные оценки.
Одной из основных задач математической статистики является оценка неизвестных параметров, характеризующих распределение генеральной совокупности . Совокупность независимых случайных величин, каждая из которых имеет то же распределение, что и случайная величинаназываютслучайной выборкой объёма из генеральной совокупностии обозначают. Любую функциюслучайной выборки называютстатистикой.
Если функция распределения генеральной совокупностиизвестна с точностью до параметра, то еготочечной оценкой называют статистику , значение которойна данной выборке принимают за приближённое значение неизвестного параметра :.
Чтобы точечные оценки давали «хорошее» приближение оцениваемых параметров, они должны удовлетворять определённым требованиям. «Хорошей» считается оценка, обладающая свойствами состоятельности, несмещённости и эффективности.
Оценка называется:1) состоятельной оценкой параметра , если при неограниченном увеличении объёма выборки она сходится по вероятности к оцениваемому параметру, т.е.;2) несмещённой (оценкой без систематических ошибок), если её математическое ожидание при любом равно оцениваемому параметру, т.е.;3) эффективной (в некотором классе несмещённых оценок), если она имеет минимальную дисперсию в этом классе.
Пусть распределение генеральной совокупности известно с точностью до вектора параметрови требуется найти значение его оценки по выборке .
Оценкой метода моментов вектора параметров называют статистикузначениекоторой для любой выборкиудовлетворяет системе уравнений:
, ,
где - теоретические начальные моменты-го порядка случайной величины,- эмпирические начальные моменты-го порядка выборки. В систему уравнений метода моментов могут входить и уравнения вида, где- теоретические центральные моменты-го порядка случайной величины,эмпирические центральные моменты-го порядка выборки. Часто для нахождения значения оценки одного параметра используют первый начальный момент, а для нахождения значений оценок двух параметров – первый начальный и второй центральный моменты.
Оценкой метода максимального правдоподобия вектора параметров называют статистикузначениекоторой для любой выборкиудовлетворяет условию:, где- функция правдоподобия выборки,- множество всех возможных значений вектора параметров.
Функция правдоподобия имеет вид:
1) - для дискретной случайной величины;
2) - для непрерывной случайной величины.
Если функция дифференцируема как функция аргументадля любой выборкии максимумдостигается во внутренней точке, то значение точечной оценкимаксимального правдоподобия находят, решая систему уравнений максимального правдоподобия:,. Нахождениеупрощается, если максимизировать не саму функцию правдоподобия, а её логарифм, так как при логарифмировании точки экстремума остаются теми же, а уравнения, как правило, упрощаются и записываются в виде:,.
13.29 По выборке объёма из генеральной совокупностинайдено значение смещённой оценкигенеральной дисперсии. Найти значение несмещённой оценкидисперсии генеральной совокупности, если:а) ; б).
В задачах 13.30-13.34 по выборке объёманайти значения точечных оценок параметров указанных распределений:а)методом моментов; б)методом максимального правдоподобия.
13.30 Биномиальное распределение с параметром (вероятность появления некоторого событияв одном испытании):
,
где - число появлений событияв-ом опыте,- количество испытаний в одном опыте,- число опытов.
13.31 Распределение Пуассона с параметром :
,
где - число появлений события в-ом опыте,- количество испытаний в одном опыте,- число опытов.
13.32 Геометрическое распределение с параметром (вероятность появления некоторого событияв одном испытании):
,
где - число испытаний до появления события.
13.33 Показательное распределение с параметром , функция плотности которого.
13.34 Нормальное распределение с параметрами с функцией плотности.
13.35 Найти методом моментов по выборке объёмазначения оценок параметровиравномерного распределения, плотность которого:().
13.36 Найти методом максимального правдоподобия по выборке объёмазначение оценки параметрараспределения «хи-квадрат», функция плотности которого
.
13.37 Найти методом максимального правдоподобия по выборке объёмазначение оценки параметрагамма-распределения (известно), функция плотности которого
.