- •Глава 13. Математическая статистика.
- •§1. Выборка, способы её записи, графическое представление и числовые характеристики.
- •13.9 13.10
- •Основные числовые характеристики выборки.
- •§2. Статистические оценки параметров распределения.
- •2.1 Точечные оценки.
- •2.2 Интервальные оценки. Необходимый объём выборки.
- •Доверительные интервалы для параметров инормально распределённой генеральной совокупности.
- •Доверительный интервал для параметра биномиального распределения.
- •§3. Проверка статистических гипотез.
- •3.1 Проверка гипотез о параметрах нормально распределённой генеральной совокупности. Проверка гипотез о средних нормального распределения.
- •3.2 Проверка гипотез о параметре биномиального распределения.
- •3.3 Проверка гипотезы о виде распределения генеральной совокупности.
- •§4. Корреляционно-регрессионный анализ.
- •13.80 13.81
- •13.86 13.87
- •13.88 13.89
- •13.90 13.91
- •13.92 13.93
- •13.96 13.97
Глава 13. Математическая статистика.
§1. Выборка, способы её записи, графическое представление и числовые характеристики.
Выборкой объёма из генеральной совокупностиназывается совокупностьнаблюдаемых значений случайной величины, соответствующихнезависимым повторениям случайного эксперимента с которым связана величина. В математической статистике генеральную совокупность отождествляют со случайной величиной, совокупность всех возможных значений которой и называют генеральной совокупностью.
Выборка может быть записана в виде вариационного и статистического (дискретного или интервального) рядов. Выборку, записанную в виде статистического ряда, называют группированной.
Вариационным рядом выборки называется такой способ её записи, при котором элементы выборки упорядочиваются по величине, т.е. записываются в виде последовательности, где. Разностьназываетсяразмахом выборки. Всюду в дальнейшем выборочные характеристики будем, как правило, обозначать символом с «» наверху.
Различные значения ,(), называютсявариантами. Число повторений вариантыв выборке называется еёчастотой, а отношение называется еёотносительной частотой. Очевидно, что ,.
Дискретным статистическим рядом называется упорядоченная в порядке возрастания значений вариант последовательность пар,. Обычно его записывают в виде таблицы, первая стока которой содержит варианты, а вторая их частоты.
Полигоном частот называется ломаная с вершинами в точках , построенных в прямоугольной системе координат.
Эмпирической функцией распределения называется скалярная функция , определённая для всехформулой:, где суммирование ведётся по всем значениям индекса, для которых. Очевидно, чтопри,при.
На промежутке представляет собой неубывающую кусочно-постоянную функцию, испытывающую в точкахскачки на величину.
Интервальным статистическим рядом называется последовательность пар ,, где- непересекающиеся интервалы как правило равной длины, объединением которых является отрезок, содержащий все выборочные значения;- частота интервала, равная числу элементов выборки, значения которых попали в данный интервал. Обычно его записывают в виде таблицы, первая строка которой содержит границы интервалов или их середины, а вторая – частоты интервалов.
Гистограммой частот называется ступенчатая фигура, составленная из прямоугольников, построенных на интервалах группировки так, что площадь каждого прямоугольника равна частоте ,. Если длины всех интервалов одинаковы и равны, то высоты прямоугольников равны.
Кумулятой (полигоном относительных накопленных частот) называется ломаная с вершинами в точках ,, где- накопленная относительная частота интервала, при этом первое звено ломаной соединяет с точкойначало первого интервала.
Для выборки, представленной интервальным статистическим рядом, эмпирическая функция распределения определяется соотношением ,, где суммирование ведётся по всем значениям индекса, для которых,- середина интервала, а её графиком является кусочно-постоянная функция со скачками в точках.
В задачах 13.1-13.4 указанную выборку записать в виде вариационного и дискретного статистического рядов, определить её объём и размах.
13.1 3, 8, 1, 3, 6, 5, 2, 2, 7.
13.2 7, 5, 7, 7, 7, 2, 5, 7, 7, 5.
13.3 5, 3, 7, 10, 5, 5, 2, 10, 7, 2, 7, 7, 4, 2, 4.
13.4 7, 8, 6, 6, 7, 8, 9, 7, 5, 7, 9, 8, 6, 6, 8, 8.
В задачах 13.5-13.8 выборку записать в виде интервального статистического ряда (границы первого интервала указываются), определить её объём и размах.
13.5 17, 15, 14, 10, 13, 18, 22, 20, 17, 12,
13, 21, 12, 8, 14, 11, 19, 18, 15, 19.
Первый интервал: .
13.6 19, 31, 13, 8, 32, 11, 29, 27, 27, 40, 17, 32, 9
8, 31, 12, 26, 19, 23, 32, 41, 13, 24, 44, 25.
Первый интервал: .
13.7 17, 19, 23, 18, 21, 15, 16, 13, 20, 18, 15, 20, 14, 20, 16,
14, 20, 19, 15, 19, 16, 19, 15, 22, 21, 12, 10, 21, 18, 14,
14, 17, 16, 13, 19, 18, 20, 24, 16, 20, 19, 17, 18, 18, 21,
17, 19, 17, 13, 17, 11, 18, 19, 19, 17.
Первый интервал: .
13.8 38, 60, 41, 51, 33, 42, 45, 21, 53, 60, 68, 52, 47, 46, 49,
49, 14, 57, 54, 59, 77, 47, 28, 48, 58, 32, 42, 58, 61, 30,
61, 35, 47, 72, 41, 45, 44, 55, 30, 40, 67, 65, 39, 48, 43,
60, 54, 42, 59, 50.
Первый интервал: .
В задачах 13.9-13.12 для выборок, представленных дискретными статистическими рядами построить: а) полигон частот; б) график эмпирической функции распределения.