ПРАКТИКА-7.1 Основные законы распределения

Практическое занятие: Основные законы распределения.

Биномиальное распределение .

12.171 Дискретная случайная величина имеет биномиальное распределение : , . Доказать, что: , .

12.172 Найти математическое ожидание и дисперсию ДСВ - числа отказов элемента некоторого устройства в десяти независимых опытах, если вероятность отказа элемента в каждом опыте равна .

12.173 Найти дисперсию ДСВ - числа появлений события в двух независимых испытаниях, если вероятности появления события в этих испытаниях одинаковы и известно, что

12.174 Производятся независимые испытания с одинаковой вероятностью появления события в каждом испытании. Найти вероятность появления события в одном испытании, если дисперсия числа появлений этого события в трёх независимых испытаниях равна .

12.175 По одному из тиражей денежно-вещевой лотереи куплено 100 билетов. Среднее квадратичное отклонение числа выигравших билетов равно . Найти вероятность выигрыша по одному билету лотереи.

12.176 Вероятность того, что при трёх выстрелах стрелок попадёт в цель, хотя бы один раз, равна . Найти и случайной величины - числа попаданий при 20 выстрелах.

Распределение Пуассона .

12.177 Дискретная случайная величина имеет распределение Пуассона : , . Доказать, что: , .

12.178 В течение часа на станцию скорой помощи поступает случайное число вызовов , распределённое по закону Пуассона с параметром . Найти вероятности того, что в течение часа поступят: а) ровно два вызова; б) не более двух вызовов; в) не менее двух вызовов (Указание: принять )

12.179 Число вызовов, поступающих на АТС (автоматическая телефонная станция) каждую минуту, распределено по закону Пуассона с параметром . Найти вероятности того, что минуту на АТС поступят: а) ровно три вызова; б) хотя бы один вызов; в) менее пяти вызовов (Указание: принять ) .

12.180 Вероятность, что в течение часа на станцию скорой помощи не поступит ни одного вызова, равна . Считая, что число вызовов , поступающих в течение часа на станцию, имеет распределение Пуассона, найти её математическое ожидание и дисперсию .

Геометрическое распределение .

12.181 Дискретная случайная величина имеет геометрическое распределение: , . Доказать, что: , .

12.182 Производятся многократные испытания некоторого элемента на надёжность до тех пор, пока элемент не откажет. Вероятность отказа элемента в каждом испытании равна . Составить закон распределения ДСВ - числа произведённых опытов и найти её математическое ожидание и дисперсию.

12.183 Вероятность поражения цели равна 0.05. Производится стрельба по цели до первого попадания. Составить закон распределения ДСВ - числа произведённых выстрелов и найти вероятность того, что для поражения цели потребуется сделать не менее пяти выстрелов.

12.184 В большой партии изделий вероятность брака равна . Контроль качества проводится до первого появления бракованного изделия. В результате серии проверок обнаружено, что бракованное изделие впервые появлялось в среднем при десятом испытании. Найти вероятность брака .

Равномерное распределение .

12.185 Непрерывная случайная величина имеет равномерное распределение : . Доказать, что , .

12.186 Автобусы некоторого маршрута идут строго по расписанию. Интервал движения 15мин. Найти вероятность того, что пассажир, подошедший к остановке, будет ожидать очередной автобус не более 5мин.

12.187 Цена деления шкалы измерительного прибора равна . Показания прибора округляют до ближайшего целого деления. Найти вероятность того, что при отсчёте будет сделана ошибка: а) меньшая ; б) большая .

12.188 Шкала рычажных весов, установленных в лаборатории, имеет цену деления 1г. При измерении массы химических компонентов смеси отсчёт делается с точностью до целого деления с округлением в ближайшую сторону. Какова вероятность, что величина - возможная ошибка определения массы по абсолютной величине не превысит величины среднего квадратичного отклонения возможных ошибок определения массы .

12.189 Непрерывная случайная величина имеет равномерное распределение на интервале , причём , . Найти неизвестные постоянные и .

Показательное распределение .

12.190 Непрерывная случайная величина имеет показательное распределение : . Доказать, что , .

12.191 Непрерывная случайная величина имеет показательное распределение: . Найти вероятность того, что примет значение, меньшее математического ожидания .

12.192 Длительность времени безотказной работы элемента имеет показательное распределение . Вычислить вероятности того, что за время длительностью элемент: а) выйдет из строя; б) будет работать.

12.193 Испытывают два независимо работающих элемента. Длительность времени безотказной работы первого элемента имеет показательное распределение , второго - . Найти вероятность того, что за время длительностью : а) оба элемента выйдут из строя; б) оба элемента будут работать; в) только один элемент выйдет из строя;

г) хотя бы один элемент выйдет из строя.

12.194 Время ожидания у бензоколонки АЗС является случайной величиной , распределённой по показательному закону со средним временем ожидания, равным . Найти вероятности следующих событий: а) ; б) .

12.195 Дисперсия показательно распределённой случайной величины равна . Найти вероятность .

12.196 Время (в годах) непрерывной работы электрической лампочки имеет показательное распределение. -ным ресурсом элемента называется такое число , что за время элемент не выходит из строя с вероятностью . Найти вероятность того, что лампочка будет гореть в течение 2 лет, если её 90%-ный ресурс составляет 6 месяцев.

Ответы:

12.172, 12.173 12.174 , 12.175, 12.176 ,, 12.178 а); б); в). 12.179 а); б); в). 12.180 , .

12.182 , .

12.183

12.184 12.186 12.187 а); б) . 12.188 12.189 , . 12.191 12.192а); б). 12.193а); б); в); г). 12.194а); б). 12.195 12.196