Пределы применимости формулы Эйлера

Формула Эйлера может быть использована если приближенное уравнение упругой линии дает удовлетворительно совпадающее с точным решение относительно δ. Это имеет место пока в материале стержня напряжения σ_кр не превышают предела пропорциональности .

,

обозначая , получим

.

Величина называется гибкостью стержня и зависит только от геометрических размеров и способа закрепления стержня ( i_min - радиус инерции сечения).

Таким образом, условие, что критические напряжения не должны превышать предела пропорциональности можно записать в виде

.

Для того, чтобы выполнялось это условие значение гибкости должно быть больше предельного значения

.

Как видно из формулы, зависит только от свойств материала и для каждого материала ее величина может быть вычислена (табл.9.1)

.

Таблица 9.1
Материал	λпред	a МПа	b МПа
Ст.2, Ст.3	100	310	1,14
Сталь 45	100	464	3,26
Чугун	80	776	12
Дерево	110	29,3	0,194

Если гибкость стержня меньше предельной гибкости, то формула Эйлера дает большую погрешность и не может быть использована (рис.9.4).

Эмпирические формулы расчета на устойчивость

Для стержней, гибкость которых при потере устойчивости напряжения превышают предел текучести , в материале возникают пластические деформации. Расчет на устойчивость выполняется с помощью эмпирической формулы Ясинского.

Критические напряжения, возникающие в стержне равны

,

где а и b эмпирически найденные для каждого материала коэффициенты (табл.9.1).

Величина критической силы Р_кр определяется умножением критических напряжений на площадь поперечного сечения

.

Для коротких стержней, гибкость которых , где - гибкость стержня, определенная из условия , потеря устойчивости не происходит и, поэтому расчет на устойчивость не выполняют.

Расчет на устойчивость по коэффициенту снижения допускаемых напряжений

В основу расчета положено соображение, что если сжатый стержень теряет устойчивость, то это происходит раньше или в крайнем случае одновременно с потерей прочности. Исходя из этого, допускаемые напряжения на устойчивость должны быть меньшими, чем при расчете на прочность

,

где φ – коэффициент снижения допускаемых напряжений,.

- допускаемые напряжения при сжатии.

Величина коэффициента снижения допускаемых напряжений φ зависит от материала и гибкости стержня и сведена в таблицы (табл.2.1). Эта величина заранее не известна так как не определены размеры поперечного сечения стержня, а следовательно и его гибкость.

Расчет на устойчивость фактически выполняется как расчет на прочность, при заданных допускаемых напряжениях методом последовательных приближений по коэффициенту снижения допускаемых напряжений до выполнения рекурентного соотношения

.

Таблица 9.2

Гибкость λ	Коэффициент снижения допускаемых напряжений φ
	Ст.2, Ст.3	Сталь 45	Чугун	Дерево
0	1,00	1,00	1,00	1,00
10	0,99	0,97	0,97	0,99
20	0,96	0,95	0,91	0,97
30	0,94	0,91	0,81	0,93
40	0,92	0,87	0,69	0,87
50	0,89	0,83	0,57	0,80
60	0,86	0,79	0,44	0,71
70	0,81	0,72	0,34	0,60
80	0,75	0,65	0,26	0,48
90	0,69	0,55	0,20	0,38
100	0,60	0,43	0,16	0,31
110	0,52	0,35	-	0,25
120	0,45	0,30	-	0,22
130	0,40	0,26	-	0,18
140	0,36	0,23	-	0,16
150	0,32	0,21	-	0,14
160	0,29	0,19	-	0,12
170	0,26	0,17	-	0,11
180	0,23	0,15	-	0,10
190	0,21	0,14	-	0,09
200	0,19	0,13	-	0,08