НГиИГ / 30.Многогранные поверхности.Пересечение многогранной поверхности с плоскостью

30.Многогранные поверхности. Пересечение многогранной поверхности с плоскостью

3.1 Многогранники

3.1.1 Общие понятия о многогранных поверхностях

Многогранной называется поверхность, образованная частями пересекающихся плоскостей. Отсеки плоскостей называются гранями, а линии их пересечения – ребрами. Точки пересечения ребер называ- ются вершинами. Среди многогранников большую группу составляют правильные многогранники. Существует пять правильных многогранников. 1 Четырехгранник (тетраэдр) – это правильная трехгранная пирамида (рис. 3.1). Ее поверхность ограничена четырьмя равносторонними треугольниками. 2 Шестигранник или куб. Его поверхность состоит из шести квадратов (рис. 3.2). Куб (гексаэдр) представляет собой частный случай призмы и параллелепипеда. 3 Восьмигранник (октаэдр). Его поверхность состоит из восьми равносторонних треугольников (рис. 3.3).

4 Двенадцатигранник (додекаэдр) ограничен двенадцатью равносторонними пятиугольниками. 5 Двадцатигранник (икосаэдр). Его поверхность состоит из двадцати равносторонних и равных треугольников, соединенных по пяти около каждой вершины. Свойства многогранников изучал Эйлер, ему принадлежит теорема: У всякого выпуклого много- гранника число граней (Г) плюс число вершин (В) минус число ребер (Р) равно двум, т.е.

Г + В – Р = 2. (3.1)

3.1.2 Пересечение многогранника плоскостью

Построить сечение многогранника плоскостью можно двумя методами: • способом граней (пересечение двух плоскостей); • способом ребер (пересечение прямой с плоскостью). Способ граней. Дана призма, которую пересекает плоскость, образованная двумя пересекающимися прямыми AB и AC (рис. 3.4). Определить фигуру сечения.

Порядок графических построений

1 Так как у прямой призмы боковые грани представляют собой горизонтально проецирующие плоскости, задаем их следами.

2 Строим линии пересечения заданной плоскости и граней. 3 Определяем точки пресечения ребер призмы с линиями пересечения. 4 По полученным точкам строим фигуру сечения. Способ ребер. Дана пирамида, которую пересекает плоскость общего положения. Определяем фи- гуру сечения (рис. 3.5).

Порядок графических построений

1 Через ребра пирамиды проводим вспомогательные проецирующие плоскости, задавая их следа-

ми.

2 Определяем линии пересечения заданной плоскости и вспомогательных плоскостей. 3 Находим точки пересечения, принадлежащие фигуре сечения, на пересечении ребер и линий пе- ресечения плоскостей. 4 По полученным точкам в обеих плоскостях проекций строим проекции фигуры сечения.