МАТЕМАТИКА

выше производительности второго. Первый автомат выпускает 60% , а второй 80% деталей первого сорта. Наудачу взятая с конвейера деталь оказалась первого сорта. Найти вероятность того, что она произведена 1-м автоматом.

Решение Обозначим события: A-деталь 1-го сорта,

B1- деталь произведена 1-м автоматом,

B2-деталь произведена 2-м автоматом. По формуле Бейеса

По формуле полной вероятности

P(A) P(B1) P(A/B1) P(B2) P(A/B2)

P(B1) 23 , P(B2) 13, P(A/B1) 10060 53, P(A/B2) 10080 45 ,

Следовательно

P(A) 23 53 13 54 1015 23 .

Тогда

3

Ответ: 53 .

Задание 2

Вероятность появления некоторого события в каждом из 5 независимых опытов равна 0,2. Определить вероятность появления этого события, по крайней мере, 3 раза.

Решение Искомая вероятность равна сумме

Тогда найдем

71

Задание 3

Определить математическое ожидание М(Х), дисперсию D(Х), вероятность попадания в интервал (-1,4] (Р(-1<X 4) ), если закон распределения дискретной случайной величины х задан таблицей

Построить график функции распределения F(x). Решение

Математическое ожидание дискретной случайной величины равно сумме произведений всех ее возможных значений на их вероятности:

M(X) ( 1) 0,1 0 0,2 2 0,3 4 0,2 5 0,2 0,1 0,6 0,8 1 2,3.

Дисперсию удобно вычислять по формуле:

D (X) M(X2) (M(X))2,

M(X2) ( 1)2 0,1 02 0,2 22 0,3 42 0,2 52 0,2 0,1 1,2 3,2 5 9,5 ,

D (X) 9,5 (2,3)2 9,5 5,29 4,21.

Вероятность попадания в интервал равна сумме вероятностей всех значений случайной величины, которые попадают в этот интервал:

Р(-1<X 4)=0,2+0,3+0,2=0,7.

Функция распределения F(x) случайной величины X определяется формулой F(x)=P(X < x), следовательно:

72

Рисунок 7 - График y=F(x).

Задание 4

Считая, что Х- нормально распределенная случайная величина, которая задается функцией плотности вероятности

Найти А, M(X), D(X), P(|X+3|<2).

Решение Для нормально распределенной случайной величины плотность

вероятности определяется формулой:

равен:

A 12 5 12 .

Вероятность того, что Х примет значение, принадлежащее интервалу(α, β), Р(α<X<β)=Ф( m )-Ф( m ) ,

73

1 x x2

где Ф(х)= 2 0 e 2 dx – функция Лапласа.

В нашем случае применима формула:

P(|X m| ) 2 Ф( / ),

P(|X 3| 2) 2 Ф(2/5) 2 Ф(0,4).

По таблице значений функции Ф(х) найдем Ф(0,4)=0,1554 ,

Тогда P (| X 3| 2) 0,318.

Ответ: А=5 12 , М(Х)= -3 , D(X)=25, P (| X 3| 2) 0,318.

74

6 КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА №6

Содержание работы

Задание 1

По заданной выборке найти выборочное среднее m̃, выборочную дисперсию s̃2 , исправленную выборочную дисперсию σ̃2.

Задание 2

Считая, что исследуемый качественный признак является непрерывной нормально распределенной величиной с неизвестными параметрами m и σ;

а) составить функцию плотности вероятности теоретического распределения генеральной совокупности на основе найденных параметров выборки;

б) найти доверительный интервал для оценки математического ожидания m с надежностью γ = 0,95.

Задание 3.

Найти выборочное уравнение регрессии и коэффициент регрессии rв.

Указания Для выполнения контрольной работы №6 рекомендуется

предварительно изучить:

1)Методические указания по решению задач математической статистики, ЛТИ, 1977. Комаров Л.Б.;

2)Теория вероятностей и математическая статистика, “Высшая школа”, Москва, 1972. Гмурман В.Е.; глава 16 §§ 4, 9, 15, 16; глава 18 §6.

75

Вариант 1

Задания 1, 2

Вариант 2

Задания 1, 2

76

Вариант 3

Задания 1, 2

77

Вариант 5

Задания 1, 2

Вариант 6

Задания 1, 2

78

Вариант 7

Задания 1, 2

Вариант 8

Задания 1, 2

79

Вариант 9

Задания 1, 2