МАТЕМАТИКА
.pdfФедеральное агентство по образованию
________________________________
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования
Санкт-Петербургский государственный технологический институт (Технический университет)
_______________________________________________________
Кафедра Высшей математики
Т.В. Слободинская В.С. Капитонов
ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА
Учебное пособие для студентов заочной формы обучения
Санкт-Петербург
2006
ББК 22.1
Высшая математика: Учебное пособие / Слободинская Т.В., Капитонов В.С. - СПб.: СПбГТИ(ТУ), 2006. – 104 с.
Учебное пособие составлено в соответствии с учебной программой курса «Высшая математика».
В учебное пособие включены учебная программа курса «Высшая математика», задания для контрольных работ и примеры их решения.
Учебное пособие предназначено для студентов 1 курса заочной формы обучения изучающих дисциплину «Высшая математика».
рис.7, табл.3, библиогр. 41 назв.
Рецензент: 1 Крауклис П.В., доктор физ.-мат. наук, проф, ведущий научный сотрудник петербургского отделения математического института Российской Академии наук.
Утверждено на заседании физико-матетматического отделения
03.04.2006.
Рекомендовано к изданию РИСо СПбГТИ(ТУ).
2
|
СОДЕРЖАНИЕ |
|
Введение................................................................................................... |
4 |
|
1 |
Контрольная Работа №1....................................................................... |
5 |
2 |
Контрольная Работа №2..................................................................... |
20 |
3 |
Контрольная Работа №3..................................................................... |
34 |
4 |
Контрольная Работа №4..................................................................... |
46 |
5 |
Контрольная Работа № 5.................................................................... |
58 |
6 |
Контрольная Работа №6..................................................................... |
75 |
7 |
Рабочая Программа учебной дисциплины «Высшая математика» .. |
92 |
Литература............................................................................................ |
103 |
3
ВВЕДЕНИЕ
Дисциплина «Высшая математика» относится к циклу общенаучных учебных дисциплин. Цель курса - формирование научного мировоззрения у студентов, формирование математических знаний, умений и навыков, необходимых для изучения других общенаучных и специальных дисциплин, самостоятельного изучения специальной литературы, математического исследования прикладных вопросов, правильного истолкования и оценки получаемых результатов, а также формирования навыков самостоятельной работы.
Дисциплина «Высшая математика» для студентов заочного отделения читается на 1 курсе в первом и во втором семестрах. Студенты решают шесть контрольных работ, сдают два зачета и два экзамена.
В учебном пособии составлены шесть контрольных работ, включающие в себя содержание работы, варианты и примеры решения.
Студент самостоятельно выбирает вариант контрольной работы в соответствии с начальной буквой фамилии студента
Буква |
А |
Б |
|
В |
|
Г |
Д |
Е, |
|
Ж |
З |
|
И, |
|
К |
|
Л |
М |
Н |
О |
П |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ё |
|
|
|
|
|
|
Й |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
№ |
1 |
2 |
|
3 |
|
4 |
5 |
6 |
|
7 |
8 |
|
9 |
|
|
10 |
|
11 |
|
12 |
|
13 |
14 |
15 |
|||||
варианта |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Буква |
Р |
|
С |
|
|
Т |
У |
|
Ф |
|
Х |
|
|
Ц, |
|
Ч |
Ш, |
|
Э, |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
Ю |
|
Щ |
|
Я |
|
|
|
|
||||||||||||||
№ |
16 |
|
17 |
|
18 |
19 |
|
20 |
|
21 |
|
22 |
|
23 |
24 |
|
25 |
|
|
|
|
||||||||
варианта |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Контрольная работа может быть написана от руки на листах формата А4 или представлена в распечатанном варианте; листы должны быть скреплены.
На титульном листе указывается фамилия, имя, отчество студента, номер учебной группы, номер контрольной работы, номер варианта и ставится личная подпись студента.
4
1 КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА №1
Содержание работы:
Задание №1 для нечетных вариантов, т.е. для вариантов 1, 3, 5, …., 25.
Написать уравнение плоскости, проходящей через точку А и перпендикулярной данной прямой L.
Задание №1 для четных вариантов, т.е. для вариантов 2, 4, 6, …, 24
Написать уравнение плоскости, проходящей через точки A, B, C.
Задание №2 для нечетных вариантов.
Написать уравнение прямой, проходящей через точки A и B.
Задание №2 для четных вариантов.
Написать уравнение прямой, проходящей через точку А и перпендикулярной данной плоскости α.
Задание №3.
Даны матрицы A, B, C. Найти, если возможно, A+2B, B+2C, AB,
BC.
Задание №4.
Решить систему уравнений по формулам Крамера.
Задание №5.
Исследовать и решить систему уравнений методом Гаусса.
Указания Перед решением задач контрольной работы рекомендуется
ознакомиться со следующими методическими указаниями:
1.Векторная алгебра и аналитическая геометрия. Методическое указание №382. Составители: Зайцева Л.В., Крючков А.Ф./ЛТИ-Л.,1987;
2.Линейная алгебра. Методические указания №206.Составители: Поникаровский И.Г., Слободинская Т.В.
/ ЛТИ-Л. 1989;
3.Определители. Формулы Крамера. Методические указания №185. Составители: Поникаровский И.Г., Слободинская Т.В., Зайцева Л.В. / ЛТИ – Л.,1991.
5
Вариант №1.
1. |
A (2; 0; 1); |
|
|
L : |
x 2 |
|
y 1 z 1. |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
2. |
A (2; 0;1); |
|
|
B (3; 2; 1). |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
0 |
2 |
1 |
|
|
|
|
4 |
1 |
|
3 |
2 |
|
|||
3. |
|
B |
|
1 |
|
C |
|
1 |
1 |
|
. |
|||||
A |
|
|
; |
|
|
0 ; |
|
|
||||||||
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
1 |
2 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
3y 5z 10,
4.3x 7y 4z 3,x 2y 2z 3.
x1 2x2 2x3 3x4 4,
5.2x1 5x2 x3 4x4 9,x1 3x2 x3 x4 5.2x
Вариант №2
1. |
A (1;1; 1); |
|
B (2; 2; 2); |
|
C (2; 0; 1). |
|
|
|
|
|
|
||||
2. |
A (1;1; 1); |
|
: x 2y 3z 4. |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
1 |
2 |
1 |
|
|
|
3 |
1 |
|
2 |
2 |
|
||
3. |
B |
|
|
1 |
|
C |
|
1 |
1 |
|
. |
||||
A |
|
|
; |
|
0 ; |
|
|
||||||||
|
|
2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
1 |
2 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
5x 6y 4z 3,
4. 3x 3y 2z 2,4x 5y 3z 2.
x1 4x2 2x3 3x5 5, 5. 2x1 7x2 4x3 x4 9,
x1 3x2 2x3 x4 3x5 4.
Вариант №3.
1. |
A (2;1; 1); |
|
L : |
x 1 |
y 1 |
z 1 . |
||
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
2 |
2. |
A (2;1; 1); |
|
B (3; 3; 1). |
|
|
|||
|
|
2 |
2 |
1 |
|
|
2 |
1 |
3. |
B |
|
1 |
|
||||
A |
|
|
; |
|
0 ; |
|||
|
|
2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
4 |
4x 3y 2z 4,
4.6x 2y 3z 1,5x 3y 2z 3.
x1 2x2 3x3 4x4 1,
5.3x1 7x2 2x3 x4 4,2x1 5x2 x3 3x4 3.
1 |
2 |
|
|
|
|
1 |
|
C |
1 |
. |
|
|
1 |
2 |
|
|
|
6
Вариант №4.
1. |
A (1; 2; 1); |
|
B (2; 3; 2); |
|
|
C (2;1; 1). |
|
|
|
|
|
|||||||
2. |
A (1; 2; 1); |
|
: x 2y 2z 8. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
3 |
|
2 |
|
1 |
|
|
|
|
1 |
1 |
|
0 |
2 |
|
||
3. |
|
|
|
B |
|
|
1 |
|
C |
|
1 |
1 |
|
. |
||||
A |
|
|
|
|
; |
|
|
0 ; |
|
|
||||||||
|
|
2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
1 |
|
|
|||
|
5x 2y 3z 2, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
4. |
2x 2y 5z 0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
3x 4y 2z 10. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x1 5x2 3x3 4x4 4, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
5. |
2x1 9x2 2x3 x5 7, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
x |
4x |
2 |
x |
3 |
4x |
4 |
x |
5 |
3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вариант №5.
1. |
A (2;1; 2); |
|
|
L : |
x 1 |
y 1 |
z 1. |
|||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
3 |
2. |
A (2;1; 2); |
|
|
B (3; 3; 0). |
|
|
|
|
||
|
|
4 |
2 |
1 |
|
|
0 |
|
1 |
|
3. |
B |
|
1 |
|
|
|||||
A |
|
|
|
; |
|
0 ; |
||||
|
|
2 |
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
x 2y 3z 2,
4.3x y 2z 3,2x 3y z 1.
x1 3x2 x3 2x4 1,
5.2x1 7x2 4x3 3x4 3,x1 4x2 3x3 x4 2.
1 |
2 |
|
|
1 |
|
C 1 |
. |
|
|
2 |
|
1 |
|
Вариант №6.
1. |
A (1;1; 2); |
|
B (2; 2; 3); |
|
|
C (2; 0; 2). |
|
|
|
|
|
|||
2. |
A (1;1; 2); |
|
: x 2y z 11. |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
5 |
2 |
1 |
|
1 |
1 |
|
2 |
2 |
|
|||
3. |
B |
|
1 |
|
C |
|
1 |
1 |
|
. |
||||
A |
|
|
; |
|
0 ; |
|
|
|||||||
|
|
2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
1 |
|
|
y 2z 1,
4.x 2y 2z 2,2x 2y z 1.
x1 x2 4x3 2x5 0,
5.3x1 4x2 x3 3x4 1,2x1 3x2 3x3 3x4 2x5 1.2x
7
Вариант №7.
1. |
A (2; 2; 1); |
|
L : |
x |
|
y 1 z 1 . |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
2. |
A (2; 2; 1); |
|
B (3; 4; 1). |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
0 |
3 |
1 |
|
|
|
2 |
1 |
|
3 |
2 |
|
|||
3. |
|
B |
|
|
1 |
|
C |
|
1 |
1 |
|
. |
||||
A |
|
|
; |
|
|
0 ; |
|
|
||||||||
|
|
2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
1 |
|
|
x 2y z 2,
4.2x y z 1,x y 2z 2.
x1 2x2 2x3 3x4 0,
5.2x1 3x2 x3 4x4 1,3x1 5x2 3x3 7x4 1.
Вариант №8.
1. |
A (1; 2; 2); |
|
|
B (2; 3; 3); |
|
|
|
C (2;1; 2). |
|
|
|
|
|
|||||||
2. |
A (1; 2; 2); |
|
|
: x y z 21. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
1 |
|
3 |
1 |
|
|
|
3 |
1 |
|
4 |
2 |
|
|||||
3. |
|
|
|
B |
|
1 |
|
C |
|
1 |
1 |
|
. |
|||||||
A |
|
|
|
|
|
; |
|
|
0 ; |
|
|
|||||||||
|
|
|
2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
1 |
|
|
||||
|
2x 2y 3z 3, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
4. |
4x 5y 6z 7, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
7x 8y 9z 13. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x1 x2 4x3 3x4 0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
5. |
3x1 2x2 x3 2x5 1, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
2x x |
2 |
3x |
3 |
3x |
4 |
2x |
5 |
1. |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вариант №9.
1. |
A (1;1; 1); |
|
L : |
x 3 |
y |
z 1 . |
||
|
|
|
|
|
1 |
3 |
|
2 |
2. |
A (1;1;1); |
|
B (2; 3; 1). |
|
|
|||
|
|
2 |
3 |
1 |
|
|
4 |
1 |
3. |
B |
|
1 |
|
||||
A |
|
|
; |
|
0 ; |
|||
|
|
2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
4 |
x 2y 3z 5,
4.3x y 2z 6,2x 3y z 1.
x1 2x2 2x3 3x4 0,
5.3x1 5x2 x3 4x4 1,2x1 3x2 x3 x4 1.
5 |
2 |
|
|
1 |
|
C 1 |
. |
|
|
2 |
|
1 |
|
8
Вариант №10.
1. |
A (1;1; 1); |
|
B (2; 2; 2); |
|
C (2; 0; 1). |
|
|
|
|
|
||||
2. |
A (1;1; 1); |
|
: x 3y 2z 15 . |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
3 |
3 |
1 |
|
|
4 |
1 |
|
5 |
2 |
|
||
3. |
B |
|
1 |
|
C |
|
1 |
1 |
|
. |
||||
A |
|
|
; |
|
0 ; |
|
|
|||||||
|
|
2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
1 |
|
|
x 2y 2z 3,
4.4x 2y 5z 5,6x y 3z 1.
x1 3x2 4x3 3x5 2,
5.3x1 8x2 x3 2x4 5,
2x1 5x2 3x3 2x4 3x5 3.
Вариант №11.
1. |
A (0; 1;1); |
|
|
L : x 2 |
y |
z 1 . |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
3 |
2. |
A (0; 1;1); |
|
|
B (1; 3; 1). |
|
|
|
||||||
|
|
3 |
|
3 |
1 |
|
|
|
|
4 |
3 |
||
3. |
|
|
B |
|
|
|
|
||||||
A |
|
|
|
|
|
; |
|
|
1 0 ; |
||||
|
|
2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
2 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
2x y 3z 3, |
|
|
|
|
|
|
||||||
4. |
4x 2y 5z 5, |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
3x 4y 7z 2. |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x1 3x2 x3 2x4 4, |
|
|
|
|
||||||||
5. |
2x1 5x2 4x3 3x4 7, |
|
|
|
|||||||||
|
x |
2x |
2 |
3x |
3 |
x |
4 |
3. |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
0 |
|
|
1 |
|
C 1 |
. |
|
|
2 |
|
1 |
|
Вариант №12.
1. |
A (0; 1;1); |
|
B (1; 2; 2); |
|
C (1; 0;1). |
|
|
|
|
|
|
||||
2. |
A (0; 1;1); |
|
: x 2y 3z 4 . |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
3 |
3 |
2 |
|
|
|
4 |
4 |
|
5 |
1 |
|
||
3. |
B |
|
|
|
C |
|
1 |
1 |
|
. |
|||||
A |
|
|
|
; |
|
1 0 ; |
|
|
|||||||
|
|
2 |
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
1 |
|
|
3x 4y 2z 8,
4.x 5y 2z 5,2x 3y 4z 3.
x1 x2 3x3 4x4 0,
5.4x1 3x2 x3 2x5 1,
3x1 2x2 2x3 4x4 2x5 1.
9
Вариант №13.
1. |
A (0; 2; 1); |
|
L : |
x 1 |
|
y 1 |
z 1 . |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2. |
A (0; 2; 1); |
|
B (1; 4; 1). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
3 |
3 |
2 |
|
|
|
|
|
4 |
4 |
|
5 |
2 |
|
||||
3. |
|
B |
|
|
1 |
1 |
|
C |
|
1 |
1 |
|
. |
||||||
A |
|
|
|
; |
|
; |
|
|
|||||||||||
|
|
2 |
0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
4 |
|
|
|
|
2 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
x 3y 2z 4,
4.2x 6y z 2,4x 8y z 2.
x1 4x2 2x3 3x5 2,
5.2x1 9x2 x3 4x4 5,x1 5x2 x3 x4 3.
Вариант №14.
1. |
A (0; 2; 1); |
|
B (1; 3; 2); |
C (1; 1; 1). |
||||
2. |
A (0; 2; 1); |
|
: x 2y 2z 11. |
|||||
|
|
3 |
3 |
2 |
|
|
4 |
4 |
3. |
B |
|
|
|
||||
A |
|
|
; |
|
1 2 ; |
|||
|
|
2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
4 |
x y z 4,
4.2x 3y 4z 4,5x 7y 8z 7.
x1 4x2 2x3 3x5 2,
5.2x1 9x2 x3 4x4 5,x1 5x2 x3 4x4 3x5 3.
Вариант №15.
1. |
A (0; 2; 1); |
|
L : x 3 |
|
y 3 z 1 . |
|||||
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
1 |
|
2. |
A (0; 2; 1); |
|
B (1; 4; 1). |
|
|
|
|
|||
|
|
3 |
3 |
2 |
|
|
|
4 |
4 |
|
3. |
|
B |
|
1 |
3 |
|
||||
A |
|
|
; |
|
|
; |
||||
|
|
2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
2 |
4 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y z 0,
4.2x 3y 4z 5,
4x 11y 10z 11.
x1 x2 3x3 4x4 0,
5.2x1 2x2 2x3 x4 1,4x1 3x2 8x3 9x4 1.2x
5 |
3 |
|
|
1 |
|
C 1 |
. |
|
|
2 |
|
1 |
|
5 |
3 |
||
|
|
1 |
|
C |
2 |
. |
|
|
|
2 |
|
1 |
|
10