МАТЕМАТИКА

n

; 2.

n 6n

5 n

n 1

(x 5)n

;

1.

n

( 1)

;

3. ( 1)

n 1

n 1

5

n 1

3n

2

n 1

xy

x 0; y

;

4. y

2

sin

x

;

2

dxdy; D :

.

D

y

2

3n 2

n

n n

;

1.

;

2. ( 1)

4

n

n 1

4n 1

n 1

3.

n(x 4)n

3

n

;

n 1

4.

y2e

xy

x 0; y 2;

4 dxdy;

D :

x.

;

D

y

; 2.

1. n 11

( 1)n

1

;

n 1

3n 5

n 1

3n 5

(x 6)n

3. ( 1)n 1

6

n

;

n 1

4. 4ye

dxdy;

y ln 3; y ln 4;

D :

1

;

2xy

D

x

2

; x

1.

5. x2

y2

18; y

3x; z 0; z

5x .

11

Вариант №20

4n

11 n

n 1 n

;

1.

;

2. ( 1)

6

n

n 1

2n

3

n 1

n

3. (x

1)

;

n 1

2n 13

x 0; y x;

4. 4y

2

sin xydxdy;

D :

;

D

y

2

.

n

(x 2)

n

1.

1

n ; 2.

( 1)n 1 4

3

; 3.

( 1)n 1

;

n 1

2n 5

n 1

n

n 1

2n 3

; y

4. y sin xydxdy;

y

2

;

D :

D

2.

x 1; x

8n 1)n ;

1

1. (

2. ( 1)n 1

7

n ;

n 1

4n 3

n 1

3n

n

3.

(x

8)n ;

n 1

n8

4.

y

2

e

xy

x

0; y 2

;

2 dxdy;

D :

x.

D

y

5.

z x2 y2 ; y x2 ; y 1; z 0.

Вариант №23

1. n n 3 ; 2.

( 1)n 1

1

;

n 1 8

n 1

8n 5

n 1

3. ( 1)n

(x 3)n ;

n 1

n6

; y

4.

y

2y cos 2xydxdy; D :

4

2

;

D

1; x

2.

x

5.

z y 2; y x2 ; x 0; z 0.

Вариант №24

4n

1 n

n 1

1

n ;

1.

3n

;

2. ( 1)

(n 1)5

n 1

2

n 1

3.

n(n 1)xn ;

n 1

4.

8ye

dxdy;

y ln 3; y ln 4

D :

1

1

;

4xy

D

x

4

; x

2

.

5.

y z 1; x y2 1; x 0; y 0; z 0.

1

1

1.

5

n ; 2.

( 1)n 1

;

n 1

3n

n 1

3n 5

n(x 3)n

3.

8

n

;

n 1

4

xy

y

; x 0;

4. 3y2 sin

dxdy;

3

;

2

D :

2

D

y

3

x.

Общий член ряда

8

n 3

n

.

U n

n 5

2

Применим для исследования ряда на сходимость радикальный

признак сходимости Коши. Вычислим

8

n 3

n

lim

8

n 3

поделим числитель и знаменатель на n

q lim n U n lim n

n 5

2

n 5

n

n

2

n

3

lim

8 n

8 0

4 1.

n

5

2 0

2

n

1

.

( 1)n 1

n 1

7 n 3

1

1

.

( 1)n 1

n 1

7 n 3

n 1

7 n 3

1

n

поделим числитель и знаменатель на n

k lim

7 n 3 lim

n

1

n

7 n

3

n

lim

1

7

1

1

n

3

0

7

7 n

Получили,

что

0

<

k

<

∞,

следовательно, ряды

имеют

одинаковую

сходимость.

Итак,

ряд

n 1 7 n1 3

расходится.

Таким

образом,

абсолютной

сходимости

знакочередующийся

ряд

1

не имеет.

Исследуем ряд на условную сходимость.

( 1)n 1

n 1

7 n 3

1.

lim

1

0 , т.е. предел общего члена ряда равен нулю.

n 7

n 3

2.

1

7

1

3

1

, т.е. абсолютные величины

7 n 3

(n 1)

7 n 4

членов ряда монотонно убывают.

Вывод: ряд

( 1)n 1

1

сходится условно.

n 1

7

n 3

Найти область сходимости степенного ряда

( 1)n 1 (x 6)n

.

n 4

n

n 1

R lim

an

n

an 1

Для данного ряда

an

( 1)n 1

,

an 1

( 1)n

.

n 4n

(n 1)

4n 1

Тогда

R lim

( 1)n 1 (n 1) 4n 1

lim

4 (n

1)

4

1

4.

n 4n

( 1)n

lim 1

n

n

n

n

n

( 1)n 1 ( 10 6)n

( 1)n 1 ( 4)n

( 1)2 n 1 4n

1

.

n 4

n

n

4

n

n 4

n

n 1

n 1

n 1

n 1

n

( 1)n 1 ( 2 6)n

( 1)n 1

.

n 4

n

n

n 1

n 1

Лейбница) выполняются, т.к. lim 1

0

и последовательность

n n

Из чертежа видим, что 0 ≤ х ≤ 1, а у

изменяется от

y x

до

y x2

Тогда

y x2

(12 x2 y2

16 x3

y3 ) dxdy

D

1

x2

y

x

dx

(12 x2 y2 16 x3 y3 ) dxdy

0

x

1

x2

1

x2

12 x2 dx

y2 dy 16 x3

y3dy

0

x

0

x

1

3

2

1

4

2

12 x2 y

x

dx

16 x3 y

x

dx

0

3

x

0

4

x

Рисунок 4.

1

7

1

4 (x8 x 2 ) dx 4 (x11

x5 ) dx

0

0

9

1

x9

2 x 2

x12

x6 1

1

2

1

1

.

4

9

9

12

6

4

9

9

12

0

6

Итак,

(12 x2

y2 16 x3

y3 ) dxdy 1

.

D

Решение.

x 17 2 y

и

x 2 2 y

- это полупараболические цилиндры,

1

z y

- плоскость, параллельная оси Ох, z = 0 - плоскость хОу

2

x 2 2y

x 17 2 y

1

17

2 y

1 y

1

17

2 y

1 y

1

17

2 y

2

2

2

2

2

1

V dxdydz dy

dx dz dy

z

dy

dx

y dx

2

G

0

2

2 y

0

0

2

2 y

0

0

2

2 y

1

17

2 y

1

1

2 1

1

17

2 y

2

1

2

dy

(17

2 y 2

2 y) dy

y dy

dx

y

x

y

0 2

2

2 y

0

2

2

2 y

0

2

1

3

5

1

2

1

1

1

1

3

y2

2 y2 2

15

2

y

2

y

2

15

2

1.

2

dy 15 2

3

5

6 2

0

0

10

2