Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Санкт-Петербургский государственный технологический институт (технический университет)

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

МАТЕМАТИКА

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

16.04.2015

Размер:

851.43 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 115 6 7 8 9 10 11 > Следующая >>>

	2		6	12	6 6 12 2	108 0,
	2		12	6

следовательно, в точке М2(-1; -2) экстремума функция не имеет.

3. М3(1 ; 2)

A3 6 1 6,		B3	6 2 12,	C3 6 1 6,
3	6	12	6 6 122	108 0,
	12	6

т.е. в точке М3(1; 2) функция не имеет экстремума.

4. М4(2; 1)

A4 6 2 12 0,			B4 6 1 6,		C4 6 2 12,
3	12	6		12 12 62	108 0,
	6	12

следовательно, в точке М4(2; 1) данная функция имеет экстремум, причем А4 = 12>0, т.е. это локальный минимум. zmin 2; 1 28.

Задание №3.

Найдите общее решение дифференциального уравнения

x 3 y 2 y 1.

Найдите решение задачи Коши с начальными условиями y 2 12 и изобразите интегральную кривую.

Решение.

Перепишем уравнение в виде

x 3 dydx 1 2 y ,

x 3 dy 1 2 y dx.

Разделим переменные, предположив, что x 3, y 12 .

Получим

dy		dx	;		2dy	2dx .
2 y 1		x 3		2	y 1	x 3
Общий интеграл уравнения имеет вид
	2dy			2dx
	2 y 1		x 3		ln C ;

ln 2 y 1 ln x 3 2 C ; 2 y 1 C x 3 2 ;

y C x 3 2 1. 2

- общее решение дифференциального равнения.

Найдем теперь частное решение уравнения, удовлетворяющее условию

y 2 12 .

Подставим эти условия в общее решение:

1C 2 1 2 1.

Откуда имеем: С = 2.

Частное решение уравнения имеет вид

y x 3 2 12 .

Начертим интегральную кривую (смотри рисунок 3).

Рисунок 3.

Задание №4.

Найдите общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

y 4 y 4 x2 x 2.

Решение.

Составим линейное однородное дифференциальное уравнение, соответствующее данному неоднородному уравнению и найдём его общее решение.

Y 4 Y 0.

Характеристическое уравнение имеет вид:

2 4 0,4 0.

Корни характеристического уравнения 1 0, 2 4.

Фундаментальная система решений:

y1 e0 x , т.е. y1 1,

y2 e4 x .

Общее решение линейного однородного дифференциального уравнения имеет вид:

Y c1 y1 c2 y2 ,

где c1, c2 – произвольные постоянные, т.е.

Y c1 c2 e4x .

Найдём теперь частное решение линейного неоднородного дифференциального уравнения

y 4 y 4 x2 x 2.

методом неопределённых коэффициентов. Правая часть уравнения

P2 (x) 4 x2 x 2,

т.е. многочлен второй степени, причём число “0” является корнем характеристического уравнения, кратность корня равна 1, т.е. корень простой. Следовательно, частное решение дифференциального уравнения имеет вид:

yr x (A x2 B x C) A x3 B x2 C x,

y 3 A x2 2 B x C,

y 6 A x 2 B.

Подставим у″ и у′ в уравнение:

6 A x 2 B 12 A x2 8 B x 4 C 4 x2 x 2.

Приравняем коэффициенты при равных степенях х в левой и правой частях уравнения:

x2 : 12A 4 A 13 ;

x1 : 6 A 8 B 1 B 86 A 18 83 ;

x0 : 2 B 4 C 2 C B2 12 1611.

Итак, частное решение уравнения:

yr x3 3 x2 11 x. 3 8 16

Общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения имеет вид:

y Y yr .

Тогда

y c1	c2	e4 x	1	x3		3	x 2		11	x	– общее решение линейного
			3			8			16

неоднородного дифференциального уравнения.

4 КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА №4

Содержание работы

Задание№1

Исследовать на сходимость числовой знакоположительный ряд.

Задание №2

Исследовать на сходимость числовой знакочередующийся ряд.

Задание №3

Найти область сходимости степенного ряда.

Задание №4

Вычислить двойной интеграл.

Задание №5

Найти объем тела, заданного ограничивающими его поверхностями.

Указания Перед решением заданий контрольной работы рекомендуется

ознакомиться со следующими методическими указаниями:

1.Числовые ряды. Методические указания №576. Составители: Волков Ю. П., Крючкова А. Ф., Сорокин Г. М. / СПбГТИ. – СПб., 1994;

2.Функциональные ряды. Методические указания №577. Составители: Волков Ю. П., Крючкова А. Ф., Сорокин Г. М./СПбГТИ. – СПб., 1994;

3.Кратные интегралы. Методические указания №324. Составители: Шаршукова Э. Д., Капитонов В. С. И др. / ЛТИ. – Л., 1986.

Вариант №1

n ; 2. ( 1)n 1

;

n 1

n 2

n 1

2n 1

3. ( 1)n

1 (x 2)n

;

n 1

x 1; y x2

;

4. (12x

16x

)dxdy;

;

D :

y x.

5. y 162x; y 2x; z 0; x z 2.

Вариант №2

2 1

1. 2

;

2. ( 1)n 1

;

n 1

n(x 1)n ;

n 1

x 1; y x3

;

(18x

32x

)dxdy; D :

;

y 5

x; y

; z 0; z

5 x .

Вариант №3

		2
1. n 2 n				1		;		2. ( 1)n 1
	n 1	2n n 1						n 1
3.		(x 1)n
3.		2	n	;
	n 1	2
					2		2
4.	(12xy			9x	2	y	2	)dxdy;	D :	x
4.	(12xy			9x		y		)dxdy;	D :
	D
	D									y
5.	x2 y2 2; y							x; z 0; z

2n ;

1; y x; ;

x2.

15x.

Вариант №4

	1			1
1.	1	n ; 2.	( 1)n 1	1	;
n 1	2n 3		n 1	3n 1
	( 1)n 1 (x 1)n		n
3.	( 1)n 1 (x 1)n		;
n 1		n3

4.	(8xy 9x2 y2 )dxdy; D :
	D
5.	x y 2; y	x; z 12y;

x 1; y 3

y x2.

z 0.

x; ;

Вариант №5

			n		12 ;
1.	2n	2	n	; 2. ( 1)n 1 sin	12 ;
n 1	2n		n 1	n 1	n

		n
3. ( 1)n 1		(x 4)n ;
	n 1	n4
4.	(18x2 y2	32x3 y3 )dxdy;
	D
5.	x 20 2y; x 5 2y; z

x 1; y 3

D :

y x2.

0; z y 12 .

x; ;

Вариант №6

	n				1			n(x		2)n
1.		n	;	2. ( 1)n 1	2n 3	;	3. ( 1)n 1	3	n	;
n 1	3			n 1	2n 3		n 1	3

			2		2			3		3
4.	(27x		2	y	2	48x		3	y	3	)dxdy;		x 1; y
4.	(27x			y		48x			y		)dxdy;	D :		3
	D
	D												y x .
5.	x	5 y		; x			5y	; z 0; z				5	(3 y).
		2					6					6

x; ;

Вариант №7

sin 1

( 1)n 1

n ;

(x 3)n

n ;

;

n 1

x 1; y x2 ;

4. (4xy 3x

)dxdy; D :

;

5. x2 y2 2; x

y; z 0; z 30y.

Вариант №8

1. n n 1;

2. ( 1)n 1

;

n 1

3n 4

(x 3)

3. ( 1)n 1

;

n 1

2n 1


4.	(8xy 18x	2		2			x 1; y		3
		2	y	2	)dxdy;		x 1; y
			y		)dxdy;	D :		2
	D
	D						y x .
5.	x y 2; x			y; z 12x			; z 0.
						5

x; ;

Вариант №9

1 ; 2.

1. 1 tg

( 1)n 1

;

(x n2)

;

n 1

4n 3

n 1

2 2

x 1; y

(

xy 9x y

;

)dxdy; D :

y x .

5. y 17

2x; y 2 2x; z 0; x z

1 .

Вариант №10

	n 2				1
1.	3n	2	4	; 2. ( 1)n 1	n4	n	;
n 1	3n		4	n 1	n4
				n
3.	( 1)n 1 (x 2) n ;
n 1			(n 1)4

4. (6xy

5. y 5 3x

	3		3
24x	3	y	3	)dxdy;			x 1; y	x;	;
24x		y		)dxdy;		D :			;
							y x2.

; y		5x			; z 0; z		5(3 x) .
		9					9

Вариант №11

; 2.

1. n 1

( 1)n 1

;

n 1

10n 1

n 1

10n

(x 2)n

;

n 1

1; y x3;

(4xy 16x

)dxdy; D :

;

y x.

x2 y 2

8; y 2x; z 0; z 15x .

Вариант №12

1 n ;

1. n n 2

;

2. ( 1)n 1

n 1

n 4

(x 3)n

;

n 1

x 1; y x2 ;

(6x

)dxdy;

;

D :

x y 4; y 2x; z 3y; z 0.

Вариант №13

; 2. ( 1)n 1 1

;

3. ( 1)n 1

(x 4)n ;

n 1

4n 1

n 1

4n 1

n 1

x 1; y x3;

4. (xy 4x

)dxdy;

D :

;

5. x

y; x

5 y; z 0; z

(3 y).

Вариант №14

	2n					1 n							n n		;
1.						;		2. ( 1)					2	n	;
n 1	3n					1						n 1	2
	(x 4)n
3.	n	2		n			;
n 1	n			n

4. (3x			2		2		50		4		4				x 1; y		3
			2		2		50		4		4				x 1; y
				y			3	x		y		)dxdy;	D :			3
D							3
D															y x .

5. x 192y; x 42y; z 0; z y 2.

x; ;

Вариант №15

n 3n 1

;

2. ( 1)

;

n 1

4n 1

5)n

;

n 1

1; y x2 ;

(44xy 16x

)dxdy; D :

;

x2 y2 8; x

2y; z 0; z

30y .

Вариант №16

6n 1

;

2. ( 1)

n 1

( 1)n 1

n(x

5)n

;

n 1

; y

y cos xydxdy;

;

D :

1; x 2.

x y 4; x 2y; z 3x

; z 0.

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 115 6 7 8 9 10 11 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
22.12.2018203.26 Кб10маркетинг1.doc
#
16.04.2015110.74 Кб55маркетинг2курс.docx
#
16.04.2015116.71 Кб41матан11.docx
#
16.04.201588.46 Кб41матвед.docx
#
16.04.2015323.43 Кб40Математика.pdf
#
16.04.2015851.43 Кб59МАТЕМАТИКА.pdf
#
21.03.2016261.71 Кб61математика_2семестр.pdf
#
01.04.20251.41 Mб5Математическое моделирование 8022004.doc
#
16.04.201563.5 Кб95Матричная и проектная структуры.docx
#
01.05.2025945.65 Кб1МБОУ.docx
#
16.04.201560.44 Кб41Медведева Е. А. практика по информтке.docx