11вопросы к экзамен1

вопросы к экзамену

ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ ДЛЯ СТУДЕНТОВ 1 КУРСА,

гр. 433-5 осенний семестр. 2013/14 уч. год.

Введение в анализ

1. Окрестные точки. Предел функции в точке. Геометрическая интерпретация предела.

2. Предел функции в точке. Теоремы единственности предела и об ограниченности функции, имеющей конечный предел.

3. Предел функции в точке. Теоремы о сохранении знака функции и о переходе к пределу в неравенствах.

4. Предел функции в точке. Теоремы об ограниченности \//(х) и о сжатой переменной.

5. Бесконечно малые функции в точке, их свойства.

6. Сравнение бесконечно малых. Эквивалентные бесконечно малые.

7. Бесконечно малые функции в точке. Бесконечно большие функции в точке, их связь с бесконечно малыми.

8. Предел функции в точке. Бесконечно малая функция в точке. Теорема о связи функции, имеющей конечный предел в точке, с бесконечно малой.

9. Числовая последовательность. Предел числовой последовательности. Теорема о существовании предела монотонной ограниченной последовательности. Число е.

10. Непрерывность функции в точке на отрезке. Теоремы Коши.

11. Непрерывность функции в точке на отрезке. Теоремы Вейерштрасса.

12. Односторонние пределы. Необходимое и достаточное условие существования предела.

13. Непрерывность функции в точке и на отрезке. Точки разрыва, их классификация.

14. Георемы об арифметических операциях над пределами.

Дифференциальное исчисление функций отгаой переменной и неопределенный интеграл

15. Производная функция в точке. Геометрическая и механическая интерпретация производной.

16. Дифференцируемые функции. Необходимое и достаточное условие дифференцируем ости.

17. Производная функции в точке. Дифференцируемые функции. Непрерывность дифференцируемой функции.

18. Производная функция в точке. Правила дифференцирования суммы произведения и частного.

19. Производная функции в точке. Правила дифференцирования сложной и обратной функции.

20. Дифференцируемые функции. Дифференциал функции. Дифференциал сложной функции, инвариантность его формы.

21. Производные и дифференциалы высших порядков.

22. Теоремы Ферма и Ролля.

23. Теоремы Лагранжа и Коши.

24. Экстремумы функции. Необходимо условие существования экстремума.

25. Экстремумы функции. Достаточное условие существования экстремума.

26. Правило Лопиталя.

27. Направление выпуклости графика функции. Достаточное условие выпуклости графика функции.

28. Точки перегиба. Необходимое условие существования точки перегиба. Достаточное условие существования точки перегиба.

29. Асимптоты графика функции.

30. Полное исследование функции и построение её графика. Пример.

31. Многочлен Тейлора и его свойства.

32. Формула Тейлора. Остаточный член формулы Тейлора.

33. Формула Маклорена для функцийгзшх, созх, е

34. Формула Маклорена для функций: (1 + х)², 1п(1+х).

35. Первообразная и неопределенный интеграл. Их свойства.

36. Первообразная и неопределенный интеграл. Интегрирование по частям. Замена переменной.

37. Рациональные дроби и их интегрирование.

16. ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЕ ВОПРОСЫ ПО КУРСУ

17. «АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ» 1 курс, гр. 433-5

18. осенний семестр 2013/2014 уч. год.

1. Связанные и свободные векторы. Коллинеарные, компланарные векторы. Условия коллинеарности и компланарности векторов.

2. Линейные операции над векторами и их свойства. Линейно зависимые и независимые системы векторов.

3. Теоремы о линейной зависимости двух, трех, четырех векторов.

4. Базисы и координаты векторов на прямой, на плоскости и в пространстве. Ориентация базисов. Системы координат. Операции над векторами, заданными координатами.

5. Угол между векторами. Проекция вектора на ось. Координаты вектора как алгебраические проекции на базисные векторы.

6. Скалярное произведение векторов. Определение, свойства, угол между векторами. Условие ортогональности векторов.

7. Скалярное произведение векторов, заданных координатами. Длина вектора.

8. Векторное произведение векторов. Определение, свойства, геометрический смысл.

9. Векторное произведение векторов, заданных координатами в декартовой системе координат. Условие коллинеарности векторов.

10. Смешанное произведение трех векторов. Определение, свойства, геометрический смысл.

15. П. Смешанное произведение трех векторов. Заданных координатами в декартовой системе координат. Условие коллинеарности трех векторов.

12. Плоскость в пространстве. Векторное и координатное уравнение.

13. Векторное уравнение плоскости. Расстояние отточки до плоскости.

14. Взаимное расположение двух плоскостей в пространстве. Угол между плоскостями.

15. Прямая в пространстве. Векторно-параметрическое, векторное, каноническое и параметрическое уравнение прямой.

16. Прямая в пространстве как пересечение двух плоскостей. Переход к другим уравнениям прямой.

17. Векторное уравнение прямой. Расстояние от точки до прямой.

18. Взаимное расположение двух прямых в пространстве. Угол между прямыми.

19. Взаимное расположение прямой и плоскости. Угол между прямой и плоскостью. Нахождение точки их пересечения.

20. Матрицы. Операции над матрицами, их свойства.

21. Определители. Свойства определителей и способы вычисления (на примере определителей третьего порядка).

22. Обратные и обратимые матрицы. Нахождение обратных матриц.

23. Обратимые и обратные матрицы. Решение систем линейных алгебраических уравнений матричным способом.

24. Ранг матрицы. Теорема о базисном миноре (формулировка). Элементарные преобразования матриц.

25. Теорема Крамера, Решение систем линейных алгебраических уравнений по формулам Крамера.

26. Совместные и несовместные системы линейных алгебраических уравнений. 'Георема Кронекера-Капелли.

27. Однородные системы линейных алгебраических уравнений, их нетривиальные решения.

28. Исследование систем линейных алгебраических уравнений.

29. Преобразование координат на плоскости и в пространстве. Замена декартова базиса.

30. Ортогональные матрицы. Определение, свойства.

31. Криволинейные координаты на плоскости. Полярная система координат.

32. Криволинейные координаты в пространстве. Цилиндрическая и сферическая системы координат.

33. Линейное пространство. Базис пространства.

34. Линейные отображения и их матрицы.

35. Собственные числа и собственные векторы линейных отображений и матриц.

36. Кривые на плоскости и в пространстве. Касательная к кривой. Кривизна и кручение кривой.

37. Канонические уравнения кривых 2-го порядка: эллипса, гиперболы и параболы.

38. Алгоритм приведения кривой 2-го порядка к каноническому виду.

39. Комплексные числа. Алгебраическая форма. Геометрическая интерпретация. Тригонометрическая и показательная формы комплексного числа. Формулы Эйлера.

40. Многочлены. Основная теорема алгебры. Теорема Безу и признак делимости на двучлен.

41. Многочлены. Основная теорема алгебры. Разложение многочлена на линейные множители. Разложение многочлена с вещественными коэффициентами на вещественные множители.

42. Рациональные дроби. Разложение правильной рациональной дроби на простейшие дроби.

43. Поверхности в пространстве. Способы задания. Цилиндрические поверхности.

44. Поверхности второго порядка. Канонические уравнения поверхностей второго порядка.

45. Полугруппы и группы. Абелевы группы. Примеры.

46. Кольца и поля. Примеры.