Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Санкт-Петербургский политехнический университет Петра Великого (бывш. СПбГПУ)

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

EL_-STATIKA_1_vakuum

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

16.04.2015

Размер:

328.51 Кб

Скачать

☆

1 / 21 2 > Следующая >>>

ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМ

Глава 1

Введение.

В физике XIX существовало устойчивое мнение, что явления электричества и магнетизма могут быть поняты полностью только тогда, когда их удастся свести и объяснить механическими причинами, например, упругими натяжениями, давлениями или какими-либо механическими изменениями в окружающей среде. В создаваемой в то время теории Фарадея – Максвелла в качестве среды для передачи электромагнитных взаимодействий использовался мировой эфир, заполняющий все пространство между телами и мельчайшими частицами, из которых эти тела состоят. Надо заметить, что механические модели сыграли в создаваемой теории электромагнетизма вспомогательную роль строительных лесов. В завершенном варианте теории Максвелла, опубликованном в 1873 г. («Трактат по электричеству и магнетизму»), механические модели уже не используются. Более того, атомно-молекулярная теория строения вещества показала, что сами упругие силы появляются в результате электрического взаимодействия между заряженными частицами, из которых построены тела. Т.о., программа сведения электрических сил к упругим механическим взаимодействиям потеряла всякий смысл.

Современная физика оперирует понятием электромагнитного поля, рассматривая его, наряду с веществом, в качестве одного из видов материи. Этот вид материи – электромагнитное поле – обладает энергией, импульсом и может быть охарактеризован другими физическими свойствами. Именно посредством полей осуществляются электромагнитные взаимодействия тел.

1.1. Основные положения теории электромагнетизма.

1.1. Уравнения Максвелла.

Классическая теория электромагнитных явлений основана на уравнениях Максвелла, являющихся обобщением опытных фактов. Запишем эти уравнения в двух системах единиц, которые наиболее широко используются в физической теории: СГС (CGS) (или далее система единиц Гаусса) и СИ (SI или международная система единиц).

Уравнения Максвелла в интегральной форме:

CGS

∫

R R

= −

∂

∫

Edl

BdS

c ∂t

4π

∂

R R

∫ Hdl

∫ jdS

∫ DdS

c ∂t

∫DdS = 4πq

∫BdS = 0

Уравнения Максвелла в дифференциальной форме:

	CGS
R			1	∂B
rotE = −
			c	∂t
	4π					∂D
R		R			1
rotH =		j +
	c				c	∂t

divD = 4πρ

R divB = 0

				СИ
		R R		∂			R		R
	∫	Edl	= −	∂	∫ BdS					(1.1)
	∫	Edl	= −	∂t	∫ BdS					(1.1)
	L			∂t	S
	R	R	R R			∂			R R
∫	Hdl = ∫ jdS +					∂		∫	DdS	(1.2)
∫	Hdl = ∫ jdS +					∂t		∫	DdS	(1.2)
L		S				∂t		S
L		S			R			S
			R		R
			∫ DdS				= q			(1.3)
			S		R
			R		R
			∫ BdS				= 0			(1.4)

СИ

R		∂B
rotE = −		∂B	(1.5)
		∂t
R	R
rotH	= j + ∂D		(1.6)
	R	∂t
	R	= ρ
divD		= ρ	(1.7)
	R
	divB = 0		(1.8)

В дополнение к уравнениям в дифференциальной форме рассматриваются материальные уравнения, которые включают в себя параметры, характеризующие свойства среды:

D = ε E	D = εε 0 E	(1.9)
B = μH	B = μμ0 H	(1.10)
R	R
j = σE	R
j = σE	j = σE	(1.11)

Диапазон применения уравнений Максвелла очень широк:

1)Уравнения Максвелла инвариантны относительно преобразований Лоренца, поэтому они справедливы и в области применимости СТО.

2)Квантовый характер электромагнитных сил не сказывается на расстояниях вплоть до 10-10 см (примерно в

100 раз меньше размера атома). Для меньших расстояний необходимо использовать уравнения квантовой электродинамики.

Изучая электромагнетизм, можно рассматривать эти уравнения как постулат и далее, основываясь на них, вывести и объяснить все электромагнитные явления (метод дедукции). А можно прийти к этим уравнениям из рассмотрения экспериментальных фактов (метод индукции), а затем уже воспользоваться ими как инструментом для дальнейшего исследования явлений электромагнетизма, чем мы, собственно, и займемся.

1.2. Основные положения теории электромагнетизма.

Наряду с массой одной из основных характеристик частицы является её электрический заряд.

1) Опытным путем установлено, что существуют как положительные, так и отрицательные электрические заряды. Этот экспериментальный факт называют дуализмом или двойственностью заряда. Тот заряд, который мы называем положительным, можно было с таким же успехом назвать отрицательным и наоборот. Выбор названия был исторической случайностью.

Существование “ положительных” и “ отрицательных” зарядов - это проявление определенной симметрии. В частности, инвариантности относительно преобразования времени: t → −t .

Заряды одинакового знака отталкиваются, а разноименные заряды притягиваются. Рассуждают следующим образом. Если А притягивает В и если А притягивает С, то В отталкивает С.

В окружающем нас мире количества положительного и отрицательного электричества в высокой степени одинаковы, что и понятно, поскольку заряды одного знака отталкиваются. Т.о., наша Вселенная представляет собой хорошо уравновешенную смесь положительных и отрицательных электрических зарядов.

2) Следующее утверждение, являющееся экспериментальным фактом, – это закон сохранения электрического заряда. Полный заряд (алгебраическая сумма зарядов) электрически изолированной системы никогда не меняется. Нарушения закона сохранения заряда не наблюдались.

Минимально наблюдаемый заряд – заряд электрона (электрон был открыт в 1897 г. Дж.Дж. Томсоном), который равен по модулю заряду протона и заряду позитрона.

На опыте установлено

а) суммарный заряд системы, состоящей из электрона и позитрона, (e− + p + )< 10−20

e−

б) нейтральность атома Cs , установлена с точностью до 10−16

e−

, т.е. 55 e − + 55 p +

< 10−16

e−

3). Релятивистская инвариантность полного заряда.

Алгебраическая сумма зарядов в изолированной системе не меняется при переходе от одной ИСО (инерциальной системы отсчета) к другой, независимо от скорости их относительного движения.

4). Квантование или дискретность заряда.

Если электричество квантовано, то полный заряд любого тела должен быть кратен элементарному заряду e . Опыты с макроскопическими телами позволяют установить дискретное изменение заряда лишь в тех случаях, когда избыточный заряд одного знака будет состоять лишь из небольшого числа элементарных. Как раз эта возможность реализуется в капельном методе Милликена, позволяющем достигнуть очень высокой точности.

Опыты Милликена (1911 г.)

В воздушный конденсатор с помощью распылителя помещаются капельки масла, которые предполагаются шариками малых размеров. Если электрическое поле выключено, то на падающую каплю помимо архимедовой и силы тяжести действует сила сопротивления, обусловленная вязкими свойствами воздуха (сила Стокса), что приводит к установлению постоянной предельной скорости падения капли v :

mg −

πr 3 ρ g = 6πηrv .

(1.12)

3	В

3
Предполагая, что плотность масла имеет известное значение, можно записать
		m =	4	πr 3 ρ		,			(1.12а)
		m =		πr 3 ρ	М	,			(1.12а)
3					М
3
где r − ее радиус, ρ М и ρ В − плотности масленой капли и воздуха, соответственно;									η − коэффициент
вязкости воздуха, v − установившаяся скорость падения капли.							Измерив скорость падения капли, можно из
		уравнений (1.12) и (1.12а) найти её радиус:
					r 2	=	9ηv
								.	(1.13)
								.	(1.13)
	+						2(ρМ − ρВ )g

R	R
FE	+ FA
масл.
капля

R mg

Подав напряжение на конденсатор, можно уравновесить каплю с помощью электрического поля.

Тогда (сила Стокса отсутствует, т.к. v = 0 ):

4	πr 3 (ρ		− ρ		)g = qE ,	(1.14)
3	πr 3 (ρ	М	− ρ	В	)g = qE ,	(1.14)
		М		В

	где q − заряд капли, E − напряженность электрического поля.
-	где q − заряд капли, E − напряженность электрического поля.
-	Из уравнения (1.14) находим заряд капли q . Далее, освещая
	Из уравнения (1.14) находим заряд капли q . Далее, освещая
	конденсатор ультрафиолетовым светом, изменяем заряд капли
	(фотоэффект) и снова уравновешиваем её электрическим полем.
Оказалось, что заряд капли всегда кратен одной и той же величине –		заряду электрона e :
	q = ne	(1.15)

где e = 4.803×10-10 CGSE = 1.602×10-19 Кл.

В настоящее время известны кварки –

составляющим доли заряда электрона e,

± 1

элементарные частицы, обладающие дробным зарядом, т.е.

± 2

e , однако в свободном состоянии кварки не наблюдаются.

В заключение параграфа отметим, что основные экспериментальные и теоретические достижения в учении об электромагнетизме принадлежат выдающимся ученым Кулону (1736-1806), Лапласу (1749-1827), Амперу

(1775-1836), Пуассону (1781-1840), Гауссу (1777-1855), Остроградскому (1801-1862), Грину (1793-1867), Герцу

(1) и другим. Однако и на их фоне выделяются такие гиганты как Фарадей (1791-1867) и Максвелл (1831-1879).

1.2. Основные законы электростатики в вакууме.

Электростатика устанавливает законы, определяющие поведение и взаимодействие неподвижных зарядов.

2.1. Закон Кулона.

Кулон (1785 г.) проводил опыты по измерению силы взаимодействия точечных зарядов (размеры заряженных тел значительно меньше расстояния между ними r << r12 ) с помощью крутильных весов и открыл

основной количественный закон электростатики.

Сила взаимодействия двух неподвижных точечных зарядов пропорциональна величине каждого из зарядов, обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними и направлена вдоль прямой, соединяющей заряды.

q q

r12

= k

− r ) = k

(2.1)

− r

r12

F = k q1q2

r 2

Выбор коэффициента k зависит от системы единиц.

СИ.

Основные единицы: метр (м), килограмм (кг), секунда (с), Кельвин (К) и Ампер (А). При этом величина заряда и сила определяются независимо:

1 заряда (Кулон) = 1Кл = 1 А×1 с

Коэффициент k равен

		k =	1	(2.2)
	= 8.85 ×10−12 Φ	k =	4πε 0	(2.2)
где ε 0	= 8.85 ×10−12 Φ	- диэлектрическая постоянная. Тогда значение коэффициента k		составляет
	м

k= 9 ×109 .

1Кулон – очень большой заряд. Например, сила взаимодействия двух точечных зарядов по 1 Кл на расстоянии в 1 км = 103 м равна

F = 9 ×109 ×	1	= 9 ×103 Н.

106

Система CGSE.

Основные единицы: сантиметр (см), грамм (г), секунда (с), Кельвин (К). Сила как величина производная (по второму закону Ньютона) измеряется в Динах (Дн). В этой системе заряд является производной единицей и определяется через силу (закон Кулона), считая, что коэффициент пропорциональности в законе Кулона равен единице: k = 1 .

[q] = 1CGSE за ряда = 1CGSEq = [ M × L3 × T − 2 ]12 = г

12 × см

32 × с−1

(2.3)

Связь между единицами заряда в двух системах:

1 Кл = 3×109 CGSE (2.4)

Здесь коэффициент 3×109 фактически есть произведение 10 на скорость света.

Внашем курсе мы в основном будем пользоваться системой CGSE и системой Гаусса.

2.2.Напряженность электрического поля.

Взаимодействие между покоящимися зарядами осуществляется посредством электрического поля. Всякий электрический заряд определенным образом изменяет свойства окружающего пространства, т.е. создает в нем электрическое поле, которое может быть обнаружено по воздействию на «пробный» заряд q0.

Силовой характеристикой электрического поля служит векторная величина, называемая напряженностью электрического поля и определяемая как

E =

(2.5)

Напряженность поля, создаваемого точечным зарядом q в окружающем пространстве, определяется

выражениями:

q R

E =

r12

(2.6)

r 3

r 2

Однородным называется электрическое поле, напряженность которого во всех точках рассматриваемого

пространства одинакова:

= const .

(2.7)

Принцип суперпозиции (наложения) электрических полей вытекает из обобщения опытных фактов.

Опыт показывает, что сила, действующая на «пробный» заряд

q0 со стороны i − го заряда не изменяется в

присутствии других зарядов:

(2.8)

Поэтому при наличии системы электрических зарядов полная сила,						действующая на «пробный» заряд q0 ,
будет равна векторной сумме сил, действующих на «пробный»						заряд	q0 со	стороны каждого заряда
рассматриваемой системы:				R
				R
R	R			qi r0i		R	R
F = ∑ Fi		= q0	∑	qi r0i	= q0 ∑ Ei		= q0 E	(2.9)
F = ∑ Fi		= q0	∑	3	= q0 ∑ Ei		= q0 E	(2.9)
	i		i	r		i
	i		i	0i		i

Напряженность электрического поля, создаваемого всеми зарядами системы, в любой точке пространства определяется как векторная сумма напряженностей полей, создаваемых каждым отдельным зарядом:

5
E = ∑ Ei	(2.10)
i
Размерность напряженности в системах CGSE и СИ:
[E] = 1CGSEE = 3 ×104 B м .	(2.11)

Если заряд распределен в пространстве непрерывно, то весь объем, содержащий заряд, разбивают на столь

малые области, в пределах которых заряды можно считать точечными dq = ρdV , где							ρ - плотность заряда.
Тогда электрическое поле, создаваемое таким зарядом находится как
R	R	r − r		¢
		R	R
E = ∫ r( r ¢ )						dV ¢ .	(2.12)
		R	R		3
		R	R		3
		r	- r ¢

Этот интеграл представляет формальную запись напряженности электрического поля непрерывно

распределенных в пространстве зарядов. Для практических вычислений надо рассматривать проекции вектора

E на оси выбранной системы координат и проводить интегрирование (суммирование) для каждой проекции.

Силовые линии электрического поля.

Очень наглядно можно представить поле вектора E графически в виде линий тока вектора, или силовых линий. Силовые линии – кривые в пространстве, касательные к которым совпадают с направлением вектора

напряженности поля в данной точке:
Силовые линии поля	Силовые линии поля	Силовые линии поля диполя
точечного положительного	точечного отрицательного
заряда	заряда

Силовые линии однородного электрического поля:

E = const

Густота силовых линий, т.е. число линий, пронизывающих единичную площадку, перпендикулярную

линиям в данной точке, графически определяет модуль вектора напряженности электрического поля

(пропорциональна модулю вектора E ).

1.3. Теорема Гаусса.

3.1. Поток вектора через поверхность.

Поток вектора через поверхность - одно из важнейших понятий любого векторного поля и, в частности,

			R	R R
	α		электростатического: E = E(r ) .
dS	α	E	Рассмотрим маленькую площадку dS , в пределах которой вектор
			напряженности электрического поля имеет постоянное значение
			R
			E = const , с единичным вектором нормали n :
				R
			dS = dS n ,
			.	R
			.
dS			В этом случае поток dΦ
dS			В этом случае поток dΦ	вектора E через площадку dS определяется

как скалярное произведение вектора поля на вектор элементарной площадки:
dF = E × dS = E dS Cosa .	(3.1)

Т.о., поток вектора есть скалярная величина.

Примечание: для простоты восприятия можно провести аналогию с потоком жидкости, проходящим через

сечение dS , который равен	DV		v × Dt × dS × cosα
					R	R
dF =	Dt	=		= v × dS × Cosα	= (v, dS )
			Dt
Поток dΦ можно формально записать несколькими способами:
		dF = EdSCosα = En dS = EdSn ,				(3.2)

где подстрочный индекс n обозначает проекцию вектора на нормаль.

Понятно, что нормаль n может иметь два противоположных направления. Для замкнутых поверхностей принято выбирать внешнюю нормаль, т.е. нормаль n , направленную наружу охватываемой поверхностью области, что мы и будем подразумевать.

3.2. Поток вектора E

Поток Φ	R
Поток Φ	вектора E через конечную поверхность S равен
	FS = ∫	R R
	FS = ∫	E × dS .	(3.3)

через замкнутую поверхность.

а). Рассмотрим для начала точечный заряд, окруженный сферической поверхностью с центром в точке

нахождения заряда. Т.к. для любого элемента рассматриваемой

поверхности E || dS , то

F = ∫ EdS = E × 4πr 2 =

4πr 2 = 4πq

(3.4)

произвольную замкнутую поверхность S ,

б) Возьмем теперь

такую

например, как

изображена на нижнем

рисунке, и сосчитаем

поток

вектора E через элемент поверхности dS

= EdSCosα =

dSCosα = qdW ,

dF = E × dS

(3.5)

dΩ

где dW =

cosα –

r 2

телесный угол,

который может принимать как

r 2

положительные, так и отрицательные значения в зависимости от направления нормали (значения угла α ), т.е. является величиной алгебраической. Из рисунка видно, что входящий и один из выходящих через поверхности, ограниченные телесным углом dΩ , потоков «компенсируют» друг друга, так что отличным от нуля остается только

один выходящий в телесном угле dΩ поток. Тогда полный поток

вектора E через произвольную замкнутую поверхность равен

q	F = q∫ dW = 4πq	(3.6)

Т.о., полученный результат не зависит ни от положения заряда внутри пространства, ограниченного поверхностью S , ни от выбора самой

поверхности.

Из проведенного рассмотрения, в частности, следует, что для заряда q ,

находящегося вне замкнутой поверхности S , поток вектора E через эту поверхность равен нулю: Φ = 0 .

ρ , зависящей от координат, имеем

в). Пусть поле создается любой системой зарядов. Тогда всю систему можно разбить на точечные заряды qi и

для каждого из них в отдельности провести ту же процедуру вычисления. Пользуясь принципом суперпозиции

R R

E = ∑ Ei , получим, что уравнение Φ = ∫ EdS = 4πq может быть обобщено для любой системы зарядов,

расположенных произвольным образом, причем стоящий в правой части уравнения заряд q будет

складываться только из зарядов, находящихся внутри рассматриваемой замкнутой поверхности S . Т.о., получаем:

q1 q2 q3

Φ = ∑Φi		R
Φ = ∑Φi	= ∑ ∫ E i dS =∑ 4πqi		= 4πq ,	(3.7)
i	i	i

т.е. из геометрического правила сложения векторов Ei следует, что их потоки Φi ,

как и заряды qi , складываются алгебраически.

Итак, электростатическая теорема Гаусса:

		R	∫ En dS = 4πq
		Φ = ∫ EdS =	∫ En dS = 4πq		(3.8)
		S	S
где q − суммарный заряд внутри поверхности S .
	R			4π
Поток вектора E		сквозь замкнутую поверхность равен с точностью до множителя		4π	(полный
телесный угол) алгебраической сумме зарядов внутри этой поверхности.
Отметим еще раз, что расположение зарядов в объеме, ограниченном поверхностью S , не играет никакой
		R
роли, т.е. поток вектора		E обладает замечательным свойством – зависит только от алгебраической суммы
зарядов,	охватываемых этой поверхностью. Если передвинуть заряды, не пересекая поверхности S ,				то поток
	R
вектора	E через эту	поверхность останется прежним,	хотя само поле может весьма	существенно

измениться. Заряды, расположенные вне замкнутой поверхности S не вносят вклада в величину потока Φ , ибо, если говорить на геометрическом языке, сколько силовых линий входит в замкнутую поверхность, столько этих линий и выходит.

Для непрерывного распределения заряда с объемной плотностью

R
∫ EdS = 4π ∫ ρdV		(3.9)
S	V
Уравнение (3.9) представляет собой запись одного	из уравнений Максвелла в	интегральной форме	(за
	R		R
исключением того факта, что вместо вектора индукции электрического поля D стоит напряженность			E ).

Заметим, что теорема Гаусса является следствием закона Кулона. Она справедлива для всех векторных полей, у которых точечные источники поля создают напряженность, обратно пропорциональную квадрату расстояния от

источника ~

(центральные поля). В частности, она справедлива для полей тяготения.

r 2

R R

Примечание. В СИ:

∫ EdS =

∫ ρdV

3.3. Применение теоремы Гаусса для расчета полей.

Рассмотрим практическое применение теоремы Гаусса для расчета электрических полей.

а) Поле бесконечной равномерно заряженной с поверхностной плотностью σ плоскости:

Вектор

напряженности

поля

E бесконечной

равномерно

заряженной плоскости направлен перпендикулярно плоскости, что

рассматриваемой задачи,

следует

из

симметрии

т.е. E ||n

( n − нормаль к плоскости) или E|| dS ( dS − элемент поверхности

плоскости). В качестве поверхности, которую мы используем для

расчета, выберем цилиндрическую поверхность (см. рисунок).

Поскольку поле по обе стороны плоскости одинаково, а поток

через боковую поверхность цилиндра равен нулю (формально, из-

за равенства

нулю скалярного

произведения E

и элемента

боковой поверхности dS ), получаем

R
∫ EdS = 2EDS = 4πσDS , или
E = 2πσ .			(3.10)
Примечание. В СИ: E =	σ
		.
	2ε 0

б) Поле бесконечного равномерно заряженного с линейной плотностью λ цилиндра (нити):

				Из соображений симметрии следует, что в рассматриваемом случае поле
									R
				имеет радиальный характер, т.е. вектор E в каждой точке перпендикулярен

				оси цилиндра, а модуль вектора напряженности зависит только от расстояния
				r от оси цилиндра. Поэтому в качестве вспомогательной замкнутой
			r	поверхности выбираем в форме коаксиального прямого цилиндра, как
h			r	показано на рисунке.
				По теореме Гаусса для случая r > ro						получаем
				По теореме Гаусса для случая r > ro						получаем
	r0						E × 2πrh = 4πλh , или
	r0						E =	2λ	, ( r > r ).
										(3.11)


								r	0
								r
Если при r < r0		внутри замкнутой поверхности не содержится зарядов, то в этой области E = 0 , т.е.
внутри равномерно заряженного по поверхности круглого бесконечного цилиндра электрическое поле
отсутствует.					λ
Примечание. В СИ:				E =	λ		, ( r > r0 ).			(3.12)

					2πε
					2πε	0 r

в). Поле равномерно заряженного шара радиусом R .

Пусть заряд q равномерно распределен по объему шара радиусом R . Очевидно, что поле такого шара

центрально-симметричное: вектор E для любой точки поля проходит через центр шара (при q > 0 он

направлен от центра, при q < 0 - к центру шара), а модуль вектора E должен зависеть только от расстояния до центра шара.

Найдем сначала поле вне шара (r > R). Для этого окружим шар концентрической сферой радиусом r > R .

По теореме Гаусса

∫ EdS = E × 4πr 2 = 4πq ,

откуда

E = q

( r > R ).

(3.13)

r 2

Легко убедиться, что тот же результат получится, если вместо

объемно заряженного шара рассматривать сферическую поверхность

или тот же шар, равномерно заряженный по поверхности зарядом q .

Если задана объемная плотность заряда шара ρ , то

E =

4 πR3 ρ

, ( r > R ).

(3.13а)

r 2

Получим теперь выражение для поля внутри шара ( r < R ).

Концентрическая сфера, проходящая внутри шара, охватывает заряд

πr

ρ .

qint = q

Поле внутри шара:

R R	2						r	3

∫ EdS	= E × 4πr = 4πqint					= 4πq

							R
	E =	q		r =	4	πρr , ( r < R

			R3	3

Зависимость напряженности электростатического поля равномерно заряженного по объему шара как функция расстояния от центра шара приведена на рисунке.

Очевидно, что внутри равномерно заряженной сферической поверхности или шара, равномерно заряженного по поверхности,

поле равно нулю, т.к. qint = 0 .

= 4π 4 πr 3 ρ .па

).			(3.14)
E			1
	~ r	~	1
	~ r		r 2
0		R	r
		R	r

Примечание. В СИ поле внутри шара: E =	1		q	r =	ρ	r , ( r < R ).
Примечание. В СИ поле внутри шара: E =	4πε 0		R3	r =	3ε 0	r , ( r < R ).

К сожалению, число задач, легко решаемых с помощью теоремы Гаусса, весьма ограничено. Её использование для расчета полей эффективно лишь в случаях, где поле обладает специальной симметрией

(чаще плоской, сферической, цилиндрической), чтобы можно было найти достаточно простую замкнутую

поверхность, окружающую заряды и использовать простой способ вычисления потока вектора E .

В тоже время теорема Гаусса имеет фундаментальное значение для теории. Она выражает тот факт, что электрические заряды, заключенные внутри замкнутой поверхности S являются источниками (стоками) электростатического поля

∫EdS = 4pq .

При этом поток Φ вектора напряженности E и заряд q , ограниченный замкнутой поверхностью S , могут

рассматриваться как суммарная алгебраическая мощность источников и стоков поля.

Отнеся поток вектора E к величине объема V , ограниченного поверхностью S , мы получим среднюю или удельную мощность источников (стоков) поля:

R R
∫ EdS	=	F
		.	(4.1)
		.	(4.1)

V V

Удельная мощность источников, вообще говоря, зависит от точки пространства, для которой она вычисляется. Представим теперь теорему Гаусса применительно к бесконечно малому объему, расширив её возможности

как инструмента исследования электрического поля.

1.4. Дифференциальная форма теоремы Гаусса.

4.1. Дивергенция вектора E в декартовой системе координат.

Определим удельную мощность источников поля произвольного

вектора A (векторного поля) в точке P следующим образом:

R R

∫ AdS

divA º

lim

(4.2)

V →(∙) P

∙ P

где V ® ( ×)P означает,

что объем V стягивается к точке P , или

® 0 .

Выражение (4.2) является математическим определением

дивергенции вектора A .

Т.о., дивергенцией вектора A в данной точке называется предел, к

которому стремится отношение потока вектора A через малую

произвольную поверхность DS , окружающую эту точку, к величине

ограниченного этой поверхностью объема DV при DV ® 0 .

Выражение для дивергенции будет зависеть от выбора системы координат.

	R
Сосчитаем дивергенцию векторного поля	A = A(r ) в декартовой системе координат. Для этого построим
параллелепипед с вершиной в точке P с координатами		(x, y, z) и ребрами		dx, dy, dz , ориентированными
вдоль соответствующих осей. Векторное поле в точке P запишем как
R	R	R	R
A(r )	= Ax ex + Ay ey		+ Az ez .	(4.3)

Найдем поток вектора A через поверхность параллелепипеда как сумму потоков через его грани:

F = ∫ AdS = F1 + F2		+ ... + F6 = ∑Fi .	(4.4)
	S	i
Вычислим поток вектора A через грань 1
F1 = ∫ AdS = ∫ Ax dS1 = Ax (x + dx, y, z)dydz ,			(4.5)
1	1
где вектор dS1 направлен вдоль оси	x , а по модулю равен dydx . Найдем теперь поток, выходящий через
грань 2, которая расположена с противоположной грани 1 стороны “ кубика”:
F2 = ∫ AdS = -∫ Ax dS2		= -Ax (x, y, z)dydz	(4.6)

Впоследнем выражении знак «минус» появился из-за противоположного по отношению к оси x направления

вектора dS 2 . Суммарный поток, выходящий из “ кубика” через грани 1 и 2, равен:

F1	+ F2 = [Ax (x + dx, y, z) - Ax (x, y, z)]dydz =
= [Ax (x + dx, y, z) - Ax (x, y, z)]dxdydz =		¶Ax dV
	dx	¶x

Аналогично получаем потоки через пары других параллельных граней:

F3 + F4	=	¶Ay	dV , F5 + F6 =	¶A
				z dV .
		¶y
				¶z

Суммируя (4.7) и (4.8), получаем суммарный поток через поверхность маленького параллелепипеда:

R	R	¶A		¶Ay		¶A
		x	+		+	z

∫ AdS =		¶x		¶y		¶z	dV .
S		¶x		¶y		¶z

Откуда удельная мощность источников электрического поля:

(4.7)

(4.8)

(4.9)

R ∫ AdS			¶A		¶Ay		¶A
divA =	S	=		+		+
			x				z	.	(4.10)
	dV		¶x		¶y
							¶z

S →(∙) P

Дивергенция вектора A , т.е. divA , является, как и поток Φ , скалярной величиной. Дивергенция может быть определена посредством векторного оператора набла

R ∂

∂

Ñ º ex

+ ey

+ ez

∂x

∂y

∂z

как операция скалярного умножения оператора Ñ на вектор поля, например, на вектор A :

(Ñ, A)º divA = ¶Ax + ¶Ay

+ ¶Az .

R R

¶x

¶y

¶z

Примечание. Пусть имеем векторное поле A . Определения:

(4.11)

(4.12)

1)Те точки поля вектора A , где divA > 0 , называются истоками поля, при этом модуль дивергенции дает мощность истока.

2) Те точки поля, где divA < 0 – стоки поля.

3)Векторное поле, в котором во всех точках divA = 0 , – поле свободное от источников, иначе,

соленоидальное.

1 / 21 2 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
17.04.20192.9 Mб4Ekzamen_po_mikre_Otvety_1 (3).doc
#
16.04.201548.04 Кб17Electric Power Supply.docx
#
21.03.2016701.89 Кб87Electronics and Microelectronics.pdf
#
21.03.20163.04 Mб57Elektronika_i_skhemotekhnika.pdf
#
18.11.2019194.56 Кб10ELEKTROZASchITN_E_SREDSTVA.doc
#
16.04.2015328.51 Кб11EL_-STATIKA_1_vakuum.pdf
#
16.04.2015254.73 Кб14EL_-STATIKA_2a_diel-ki.pdf
#
16.04.201556.66 Кб8Emotional Intelligence (EQ).docx
#
21.03.2016352.54 Кб13Energotehnika1-1.pdf
#
21.03.201631.44 Кб17english IKNT 1-2kurs 2015.docx
#
16.04.201581.41 Кб11English.doc