Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Санкт-Петербургский политехнический университет Петра Великого (бывш. СПбГПУ)

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

EL_-STATIKA_1_vakuum

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

16.04.2015

Размер:

328.51 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 22

В применении к электрическому полю мы доказали теорему Гаусса в интегральной форме (3.8) или (3.9).

Разделим эти уравнения

на

объем

V ,

ограниченный

поверхностью

S ,

и, стягивая этот объем к

интересующей нас точке

P ,

находящейся внутри

(устремляя

V → 0 ), получаем в левых частях

уравнений дивергенцию вектора E , а в правых – плотность электрического заряда в точке P .

Итак, теорема Гаусса в дифференциальной форме (для электрического поля):

divE = 4πρ

(4.13)

Это – одно из системы уравнений Максвелла в дифференциальной форме, записанное для поля в вакууме

(в вакууме вместо вектора D пишем вектор E ).

Примечание. В СИ имеем

divE =

4.2. Теорема Остроградского-Гаусса.

Рассмотрим произвольную замкнутую поверхность S , которая ограничивает объем V в поле вектора

A .

Разобьем этот объем на систему бесконечно маленьких кубиков и сложим потоки через грани этих кубиков

(пусть N - число граней). Т.к. потоки через внутренние грани кубиков в

сумме равны нулю, полный поток определяется суммированием (в

пределе

–

интегрированием)

по

внешней

поверхности

рассматриваемой области, а дивергенция –

интегрированием по объему

всех кубиков:

∑ dΦ N

= ∫ AdS = ∑ divAdVN = ∫ divAdV

(4.14)

Мы записали теорему Остроградского-Гаусса, которая справедлива для любого векторного поля A :

∫ AdS

= ∫ divAdV

(4.15)

Теорема Остроградского-Гаусса.

Поток вектора A через произвольную замкнутую поверхность равен интегралу от дивергенции вектора

Aпо объему, ограниченному этой поверхностью.

Математическая формула (4.15) позволяет при проведении вычислений выразить поток вектора через

произвольную замкнутую поверхность через объемный интеграл по области, ограниченной этой поверхностью. Эта формула часто применяется в теории электричества и других разделах теоретической физики. Примечание:

	Теорема Ирншоу: всякая равновесная конфигурация покоящихся точечных
	электрических зарядов неустойчива, если отсутствуют какие-либо силы, кроме
q	кулоновских.
q	Эта теорема является	следствием теоремы Гаусса. В самом деле, если на
	рассматриваемый заряд q	действует сила со стороны других зарядов, но этот заряд

находится в равновесии, то действующая на него суммарная сила равна нулю и,

следовательно, поток вектора E через поверхность, окружающую заряд, также равен нулю. Если равновесие устойчиво, то при смещении заряда должна возникать возвращающая сила, т.е. должен возникнуть поток вектора напряженности электрического поля, отличный от нуля, что противоречит теореме Гаусса.

1.5.Работа сил электростатического поля.

5.1.Работа электрического поля. Циркуляция вектора.

Пусть заряд q0 в электростатическом поле совершает перемещение по некоторой криволинейной траектории. Работа A12 электрических сил над зарядом q0 на пути 1 − 2 определяется интегрированием по всем элементарным участкам пути от точки 1 до точки 2 :

F (r )	2
R R

1 q0

r r + dr

2	R	R R	2	R R R	2	R	R R
A12 = ∫ F		(r )dr	=∫ q0 E(r )dr		= q0 ∫ E(r )dr ,			(5.1)
1			1		1

Из курса механики известно, что любое стационарное поле центральных сил является консервативным или потенциальным. Именно таким свойством обладает электростатическое поле – поле образованное системой неподвижных зарядов. Поэтому при любом выборе начальной и конечной точек работа сил поля не зависит от формы пути, а определяется только положением этих точек.

Поскольку любое электростатическое поле можно, используя принцип суперпозиции, представить как поле, образованное совокупностью точечных зарядов, полезно сосчитать работу по перемещению пробного заряда

в поле неподвижного точечного заряда q .

q R

Напряженность поля точечного заряда E =

r , поэтому работа сил этого поля по перемещению заряда

r 3

находится как

2 R R R

R R

qrdr

A12 = q0 ∫ E(r )dr = q0 ∫

= q0 q∫

= q0

−

(5.2)

Здесь мы использовали, что

R dr

R r

rdr = rdr , где dr − элементарное приращение вектора r .

Полученное соотношение следует из приведенного рисунка или может быть

R	2	= r 2 .
получено дифференцированием тождества r
В силу потенциальности электростатического поля работа его сил по
замкнутому контуру равна нулю, т.е. можно записать
R R
∫ Edl = 0 .		(5.3)

	0	Это одно из фундаментальных уравнений электростатики (часть уравнения
	0	Максвелла), являющееся математическим выражением теоремы о циркуляции.

	R	Интеграл, стоящий в левой части уравнения (5.3), называется циркуляцией
	R
	вектора E по замкнутому контуру L . Интеграл в выражении (5.3) – линейный, т.е. он берется по некоторой
	линии (пути).

Термин “ циркуляция ” происходит от латинского circulatio – круговращение. Он характеризует движение по замкнутой траектории и служит мерой завихренности движения.

Теорема о циркуляции вектора E .

Циркуляция вектора E в любом электростатическом поле равна нулю.

Всякое векторное поле является потенциальным, если циркуляция этого вектора по любому замкнутому

контуру равна нулю.

Примечание. Из теоремы о циркуляции вектора E вытекает весьма важный вывод: линии электростатического

поля вектора E не могут быть замкнутыми.

5.2. Дифференциальная форма теоремы о циркуляции вектора E .

Пусть имеется векторное поле

R R

E(r ) = Ex (r )ex

+ E y (r )e y + Ez

(r )ez .

Обозначим циркуляцию вектора E по некоторому замкнутому контуру L через C(E) .

Тогда

∫ E(r )dl

= C(E ).

(5.4)

Чтобы получить математическое выражение теоремы о циркуляции в

дифференциальной форме, рассмотрим бесконечно малый контур

3 x

ABCD

на плоскости

(x, y), ориентированный так, что

ось z

направлена на нас (см. рисунок). Направление обхода контура

выбрано так, что вектор обойденной площадки направлен вдоль оси z

(т.е. в соответствии с правилом буравчика смотрит на нас).

Найдем циркуляцию вектора E по бесконечно малому контуру ABCD :

R R

+ (- E2x dx) + (- E4x dy) .

∫ Edl

= ∑ Ei dli = E1x dx + E3 y dy

(5.5)

ABCD

i=1,2,3,4

Минус в двух последних слагаемых появился из-за того,

что dx и dy отсчитываются

в стороны,

противоположные направлениям соответствующих осей. Рассмотрим отдельно слагаемые,

соответствующие

отрезкам 1 и 2:

∂Ex

(E1x - E2 x )dx =

E1x - E2 x

dydx = -

E2 x - E1x

dydx = -

= -

dxdy

dS .

(5.6)

∂y

Здесь dS - элемент площадки, ограниченной контуром ABCD . Аналогично на отрезках 3 и 4 получаем

(E3 y

- E4 y )dy =

¶E y

dS .

(5.7)

¶x

Итак, обходя весь выбранный бесконечно малый контур ABCD , получаем

∂E y

∂E

dC(E )=

(5.8)

∫ Edl =

∂x

∂y

dS .

ABCD

Точно так же можно выбрать маленькие площадки,

перпендикулярные к осям 0x и 0 y .

Определяя

циркуляцию вектора E по контурам этих площадок, получаем совершенно аналогичные по форме выражения:

∂Ez

∂E y

dC(E )=

(5.9)

∫ Edl =

∂y

∂z

dzdy .

ABCD

∂E

dC(E )=

∫ Edl

dxdz .

(5.10)

∂z

∂x

ABCD

Выражения (5.8) – (5.10)

можно считать

соответствующими компонентами

скалярного произведения

некоего вектора, компоненты которого представлены частными производными в скобках, и вектора площадки

dS = ex dydz + e y dzdx + ez dxdy .

Назовем этот

вектор

ротором вектора E

и определим

следующим

образом

¶E

¶E y R

¶E

¶E y

¶E

rotE =

(5.11)

¶z

¶x

¶y

¶z

¶y

Поскольку сумму выражений (5.8) – (5.10) можно представить как

(rotE,dS ) = rotn E

× dS .

(5.12)

то нормальную к площадке dS составляющую ротора определяем следующим образом:

∫ Edl

rotn E =

lim

(5.13)

S →0,L→0

Итак, в каждой точке любого векторного поля, например, поля вектора E , можно определить вектор rotE ,

направление и модуль которого связаны со свойствами самого поля в данной точке.

Для поверхностей сложной формы направление вектора rotE определяется тем направлением нормали n к

поверхности S , при котором достигается максимальное значение величины, определяемой выражением (5.13),

являющееся одновременно модулем вектора rotE .

Иная запись ротора может быть формально сделана через оператор Ñ :

∂

R R R

rotE = Ñ ´ E º Ñˆ

, E

+ e

, (E

+ E

)

(5.14)

∂x

∂y

∂z

или в виде определителя:

			14
		R	R	R
		ex	e y	ez
	R	∂	∂	∂
	rotE =	∂x	∂y	∂z .						(5.15)
		Ex	E y	Ez
					R
Поскольку для электрического поля циркуляция вектора E по любому контуру равна нулю, то исходя из
	R
(5.13), ротор (вихрь) вектора E также равен нулю. Т.о., для электростатического поля имеем
			R
	rotE = 0 .									(5.16)
5.3. Теорема Стокса.
Вернемся к контуру	L , ограничивающему поверхность				S .	Разобьем поверхность S на одинаковые
маленькие площадки dS ,	выбрав одинаковые	направления			обхода вокруг		каждой		из них. Стягивая эти
площадки к точке ( dS → 0 ) и устремляя длину каждого элементарного контура l′ к нулю ( l′ → 0 ), получим
	R			R
	∫ Edl		rotEdS .
	l′						R
							R
	Как видно из рисунка, циркуляция					вектора	E	по	внутренним	границам
заполняющих поверхность		S	площадок равна нулю. Поэтому отличной от нуля будет
		R				ограничивающему поверхность S . В то же
лишь циркуляция вектора E по контуру L ,						ограничивающему поверхность S . В то же
время в правой части уравнения мы					будем иметь сумму (				в пределе –	интеграл)
									R
произведений площади каждого элементарного участка на нормальную компоненту ( rotE ).
Т.о., мы приходим к равенству

∫	R	R
∫	Edl	= ∫ rotEdS ,	(5.17)
L		S

выражающему широко используемую в математических преобразованиях теории поля теорему Стокса. Теорема Стокса связывает линейный интеграл от вектора (интеграл слева берется по произвольному замкнутому контуру) с поверхностным интегралом от ротора этого вектора (интеграл справа берется по

произвольной поверхности, натянутой на этот контур).

1.6. Потенциал электростатического поля.

6.1. Потенциал.

Наряду с описанием электрического поля с помощью его силовой характеристики – вектора E , возможен и другой адекватный способ описания – энергетический.

Для потенциальных полей, создаваемых неподвижными электрическими зарядами, можно ввести понятия потенциальной энергии, потенциала и разности потенциалов.

Потенциал электростатического поля ϕ − энергетическая характеристика этого поля. Потенциал

определен с точностью до аддитивной постоянной. Значение этой постоянной не играет роли, поскольку поведение частиц или тел в электрических полях определяется не абсолютными значениями потенциалов, а их разностями между различными точками пространства. Поэтому потенциалу какой-либо произвольной точки

поля 0 можно приписать для определенности любое значение ϕ 0 .
В теоретической физике за нулевой потенциал принимают потенциал бесконечно удаленной точки
пространства ϕ ∞ = 0 . На практике за нулевой потенциал обычно принимают потенциал Земли.
Потенциал поля точечного заряда:
ϕ =	q	+ ϕ 0 ,			где ϕ 0 = const ,	(6.1)

	r
или, положив ϕ0 = 0 ,
ϕ =			q	.		(6.2)

			r

Примечание. В СИ потенциал точечного заряда: ϕ =					q		.
				4πε 0 r
Потенциальная энергия W заряда q0	в электростатическом поле определяется через потенциал ϕ как
		W = q0ϕ .							(6.3)
Согласно (6.3) потенциал какой-либо точки поля можно определить как величину, численно равную
потенциальной энергии единичного положительного заряда в данной точке поля.
С учетом (6.2) и (6.3) выражение (5.2), полученное в предыдущем параграфе для работы сил поля
покоящегося точечного заряда, можно записать
2 R R	R				q
			q	-				- ϕ 2 ),	(6.4)

A12 = q0 ∫ E(r )dr = q0						= W1 -W2 = q0 (ϕ1
1		r1			r2

где (ϕ1 - ϕ 2 ) - разность потенциалов между точками 1 и 2 .

Разность потенциалов (ϕ1 - ϕ 2 ) между точками 1 и 2 определяют как работу, совершаемую силами

поля при перемещении единичного положительного заряда по произвольному пути из точки 1 в точку 2 .

Такое определение имеет смысл именно потому, что работа электростатического поля не зависит от формы пути, а определяется только положениями его начальной и конечной точек.

Из (6.4) следует, что разность потенциалов можно записать как

2	R	R
ϕ1 -ϕ 2 = ∫ Edr ,			(6.5)
1

откуда можно заключить, что в электрическом поле существует некоторая скалярная функция координат

ϕ (R) , убыль которой определяется выражением (6.5).

Из принципа суперпозиции следует, что свойство потенциальности справедливо для электрического поля любой системы или конфигурации неподвижных зарядов. Поэтому потенциал системы зарядов определяется выражением:

ϕ = ∑ϕi	= ∑		qi		.	(6.6)

i		i		r
				i
В случае непрерывно распределенного заряда:		R

если известна поверхностная плотность заряда σ = σ (r ), то потенциал находится из выражения
ϕ = ∫ σdS ,						(6.7)
S		r
R
если задана объемная плотность заряда ρ = ρ(r ), то потенциал определятся как
ϕ = ∫		ρdV		.		(6.8)
		r
V

Единицы потенциала: в системе CGSE единица потенциала выбирается исходя из (6.2) -						1 CGSEϕ . В
системе СИ единица потенциала есть Вольт: 1 В = 1 Дж×Кл-1.
Связь между единицами:
1 CGSEϕ		= 300 B .

6.2. Связь напряженности и потенциала. Уравнение Пуассона.

Из курса механики известно, что сила, действующая на частицу в поле,				определяется как градиент
потенциальной энергии частицы в этом поле		R
		R	= -gradW .
		F	= -gradW .	(6.9)
Пользуясь определениями (2.5) и (6.3), находим связь между потенциалом и напряженностью поля:
	R	= -gradϕ º -Ñϕ .
	E	= -gradϕ º -Ñϕ .		(6.10)
Возьмем дивергенцию от обеих частей уравнения (6.10)
R	R	R	R R
divE	º (Ñ, E )= -(Ñ, Ñ)ϕ º -div(gradϕ ).			(6.11)

Распишем теперь скалярное произведение векторных операторов «набла»:

R R

∂

∂ 2

∂

(Ñ, Ñ)= e

+ e

, e

+ e

º D .

(6.12)

∂x

∂y

∂z

∂x

∂y

∂x

∂y

∂z

Выражение (6.12) определяет оператор Лапласа .

Воспользуемся теперь теоремой Гаусса для вектора E в дифференциальной форме (4.13):

divE = 4πρ

Сравнивая выражения (6.11) и (4.13), получаем уравнение Пуассона, определяющее связь между

пространственным распределением заряда (плотностью заряда ρ ) и потенциалом ϕ :
		ϕ = −4πρ ,			(6.13)
Или
∂ 2ϕ	+	∂ 2ϕ	+ ∂ 2ϕ	= -4πρ .	(6.14)
∂x2		∂y 2	∂z 2

Это одно из основных уравнений электростатики, которое позволяет найти потенциал электрического поля по заданному распределению (плотности) заряда.

Теорема единственности.

В теории доказывается, что уравнение (6.13) имеет единственное решение. Это утверждение называют теоремой единственности. Решение уравнения (6.13) в общем случае – сложная и кропотливая задача. Аналитические решения этого уравнения получены лишь для немногих частных случаев. Использование же теоремы единственности существенно облегчает решение целого ряда электростатических задач. Смысл теоремы единственности можно сформулировать следующим образом: если решение задачи удовлетворяет уравнению Пуассона и граничным условиям (их мы обсудим в следующей главе), то можно утверждать, что оно является правильным и единственным, каким бы способом (например, путем догадки) мы ни нашли его.

С физической точки зрения содержание теоремы единственности довольно очевидно: если предположить,

что возможно не одно решение задачи, то существует не единственный потенциальный «рельеф»,

следовательно, в каждой точке пространства поле E определено, вообще говоря, не однозначно, т.е. мы приходим к физическому абсурду.

1.7. Потенциал и напряженность поля системы точечных зарядов.

7.1.Потенциал и напряженность поля электрического диполя.

Точечным электрическим диполем называется система, состоящая из двух одинаковых по величине

разноименных точечных зарядов, расстояние l

между которыми значительно меньше расстояния до точки, где

определяется поле системы.

-q

l ,

Вектор l

проводится от отрицательного заряда к положительному. Так же направлен электрический

дипольный момент p системы электрических зарядов:

p = ql .

(7.1)

В силу осевой симметрии рассматриваемой системы

достаточно определить электрическое поле в плоскости,

проходящей через ось диполя l .

Eϑ , eϑ

, er

Найдем сначала потенциал электрического поля диполя:

+ ϕ − =

= q

- r

ϕ (r ) = ϕ +

−

(7.2)

r−

r− r+

r−

= r -

cosθ = r -

r−

= r +

cosθ = r +

q −

При r >> l можно записать r r » r 2

, тогда

+ −

l er

R R

ϕ (r ) =

(7.3)

или иначе (в полярных координатах):

r 2

r 3

R R

p × cosϑ

ϕ (r,ϑ) =

p × r

(7.4)

r 3

r 2

Из (7.4) следует, что потенциал поля диполя убывает с расстоянием быстрее, чем потенциал поля точечного заряда ( ~ 1r 2 вместо ~ 1r ).

Для нахождения напряженности поля электрического диполя воспользуемся формулой (6.10):

¶ϕ R

1 ¶ϕ R

E = -Ñϕ = -

= -

¶r

¶l

r ¶ϑ

¶r

где er и

eϑ – единичные векторы двух взаимно перпендикулярных направлений (см. рис.).

Вектор напряженности удобно представить в виде суммы компонент вдоль ортов er и

eϑ :

+ Eϑ ,

тогда модули компонент равны

¶ϕ =

2 p × cosϑ

¶ϕ

p × sinϑ

= -

r¶ϑ

¶r

r 3

Модуль вектора E :

E =

E 2

+ E 2

4 cos2 ϑ + sin 2 ϑ

r 3

E =

1 + 3cos 2 ϑ

r 3

(7.5)

(7.6)

(7.7)

Можно представить вектор напряженности электрического поля точечного диполя в следующей полезной форме:

2 p × cosϑ R

p × sinϑ R

3 p × cosϑ

p × cosϑ R

eθ

r 3

поскольку

p = p × cosϑer - p × sinϑeθ .

7.2. Диполь во внешнем электрическом поле.

1) Однородное поле вектора E :

Сумма сил, действующих на диполь со стороны поля, равна нулю (см. рисунок), т.к. модули действующих на заряды сил равны, а направления этих сил противоположны:

R	R	R
F	= F1	+ F2	= 0 ,	(7.9)

однако момент сил, стремящийся повернуть диполь вдоль направления поля, вообще говоря, отличен от нуля:

R	R R	(7.10)
M = [p, E].

p × sinϑ R			R R			R
		=	3 pr	R	-	p
	eθ			r			, (7.8)
r 3			r 5			r 3

R p

Этот момент сил стремится повернуть диполь таким образом, чтобы его электрический момент p

установился по направлению внешнего поля E . Такое положение диполя во внешнем электрическом поле является устойчивым. Как мы увидим ниже, именно такая ориентация диполя обеспечивает минимум его потенциальной энергии.

								18
2) Неоднородное поле:
Силы, действующие на заряды диполя в таком поле различны и
результирующая сила уже не равна нулю:							R
			R	¹	R		R	¹ 0 .
			F1	¹	F2	и F		¹ 0 .	R
R									p
Силу F	можно вычислить как градиент потенциальной энергии								R
	R	R							R
диполя:	F	= -ÑW . Энергию			диполя			в электрическом поле	F2

находим как сумму энергий каждого из образующих его точечных

зарядов:

W = qϕ+ - qϕ − = q(ϕ + -ϕ − ) = qDϕ

Считая l малой величиной (фактически усредняя поле на длине диполя), можно записать:

Dϕ = - (R )= -(R R ) q q E, l p, E

Таким образом, потенциальная энергия точечного диполя:

R R	(7.11)
W = -( p, E ) .

Выражение (7.10) определяет энергию точечного диполя в любом электрическом поле. При этом здесь не учитывается энергия взаимодействия зарядов, образующих диполь, между собой.

Очевидно, что минимум энергии рассматриваемой электрической системы (диполя) достигается в том случае, когда диполь ориентирован по полю.

Для силы, определенной как градиент потенциальной энергии, имеем

R	R	R R R
F	= -ÑW = Ñ(p, E ).		(7.12)

Для вычисления градиента от скалярного произведения векторов воспользуемся известной формулой

векторного анализа:	R	R	R R	R R		R	R
	R	R	R R	R R		R	R
	Ñ(A, B)= (A, Ñ)B + (B, Ñ)A + [A, rotB]+ [B, rotA].							(7.13)
R			R
Подставляя вместо A и B векторы		p и E , соответственно, получаем
R	R	R	R R R	R R R R	R	R	R
Ñ(p, E )= (p, Ñ)E + (E, Ñ)p + [p, rotE]+ [E, rotp].

Очевидно, что в правой части последнего выражения все слагаемые, кроме первого, равны нулю. В самом деле,

R R R	R	R			R	R
(E,Ñ)p = 0 и [E,rotp] = 0 из-за того, что дипольный момент					p есть величина постоянная; [ p,rotE] = 0
					R
поскольку рассматриваемое электрическое поле потенциально: rotE = 0 .
Т. о., для силы, действующей на точечный диполь, получаем следующее выражение:
		R	R	R R
		F	= ( p, Ñ)E .			(7.14)
Пример: частный случай - пусть ось x направлена вдоль вектора					p ( p = px , p y = pz = 0 ), тогда получаем
			R	¶E
			F = p ¶x .			(7.15)

Момент сил, действующих на диполь, как и в однородном поле, определяется выражением (7.10). Поэтому в

неоднородном электрическом поле диполь будет вести себя следующим образом: под действием момента сил

R R

диполь будет стремиться установиться по полю ( p || E ), а результирующая сила будет перемещать его в

направлении увеличения модуля E . Оба движения будут совершаться одновременно.

7.3. Поле, создаваемое системой зарядов на больших расстояниях.

Рассмотрим систему, состоящую из N зарядов qi , находящихся внутри области с линейными размерами порядка l .

Найдем электрическое поле, создаваемое такой системой на больших расстояниях: r >> l . Потенциал, создаваемый системой на расстоянии r , равен

R	N		q	i
R			q
ϕ (r ) = ∑		R			R	.	(7.16)
ϕ (r ) = ∑		R			R	.	(7.16)
	i=1	r	- r
	i=1				i

Учтем,

что

| ri

|<<| r | ,

приближенно

запишем знаменатель в (7.16) в виде:

R R

∙

r - ri

∙

R R

r e

r - ri

» r - ri er

= r 1 -

(7.17)

∙

Теперь, учитывая также, что

∙

1 - x = 1 + x + x

+ ... ,

R R

где x =

ri ei

, разложим потенциал (7.16) в

ряд:

∑

N q

R R

q r , e

(r , e

r e

i i

ϕ (r ) = ∑

1 +

+ ...

i=1

+ ...

(7.18)

i=1 r

Обсудим отдельные слагаемые, входящие в выражение (7.18).

а) 1-ое слагаемое описывает потенциал точечного заряда q = ∑ qi (иначе - монополь).

б) Во 2-ом слагаемом можно выделить дипольный электрический момент системы зарядов:

= ∑ qi ri

(7.19)

i=1

Таким образом, 2-ое слагаемое описывает потенциал, создаваемый дипольным моментом рассматриваемой

системы зарядов:		R R		R R

ϕ dip	=	per	=	pr	.
		r 2
				r 3

Если система электронейтральна, т.е. ∑ qi = 0 , то поле создается только дипольным моментом системы.

Интересно отметить, что дипольный момент не зависит от выбора начала отсчета. В самом деле, пусть имеется

две системы координат с началами в точках				0	и	0′ , отстоящие друг от друга на расстояние				b , тогда
R	R	= 0 , имеем
ri	¢ = b + ri и, поскольку ∑ qi	= 0 , имеем
	i					+ b )= b ∑ qi
		R	R		R		R	=	R
		p¢ = ∑ qi ri¢ =∑ qi			(ri		+ ∑ qi ri	=	p .	(7.20)
			i	i		i	i

Если ∑ qi ¹ 0 , то основной вклад при больших расстояниях дает суммарный заряд системы - монополь.

Если же система электронейтральна, то основной вклад в электрическое поле, создаваемое системой на больших расстояниях, определяется дипольным моментом системы. Если полный заряд и дипольный момент

системы равны нулю: ∑ qi = 0			R	= 0 , то основной вклад дают другие мультипольные моменты: в
			и ∑ qi ri
i			i
первую очередь – квадруполь, поле которого убывает с расстоянием как						+q	-q
ϕ ~	1				2)
		,		1) -q	+q
	r 3
					-q		+q

октуполь, для которого

	ϕ ~	1
	ϕ ~	r 4		-q
		r 4
и т.д.			+q
и т.д.

Такое разложение поля системы зарядов называется разложением по мультиполям. Его можно провести и для непрерывного распределения зарядов.

Примеры квадруполя (заряд и дипольный момент такой системы равны нулю) и октуполя (у которого монополь, диполь и квадруполь равны нулю) соответственно.

-q +q

-q

показаны рисунках 1) и 2),

<<< < Предыдущая 12 / 22

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
17.04.20192.9 Mб4Ekzamen_po_mikre_Otvety_1 (3).doc
#
16.04.201548.04 Кб17Electric Power Supply.docx
#
21.03.2016701.89 Кб87Electronics and Microelectronics.pdf
#
21.03.20163.04 Mб57Elektronika_i_skhemotekhnika.pdf
#
18.11.2019194.56 Кб10ELEKTROZASchITN_E_SREDSTVA.doc
#
16.04.2015328.51 Кб11EL_-STATIKA_1_vakuum.pdf
#
16.04.2015254.73 Кб14EL_-STATIKA_2a_diel-ki.pdf
#
16.04.201556.66 Кб8Emotional Intelligence (EQ).docx
#
21.03.2016352.54 Кб13Energotehnika1-1.pdf
#
21.03.201631.44 Кб17english IKNT 1-2kurs 2015.docx
#
16.04.201581.41 Кб11English.doc