Рыжаков И.Ю. Определенный интеграл

1. Определенный интеграл

1.1. Площадь плоской фигуры

Термин “плоская фигура” равнозначен термину “некоторое множество точек плоскости”. Плоскую фигуру называют ограниченной, если можно указать положительное число М такое, что расстояние между любыми двумя точками фигуры не превышает М. В этом пункте все фигуры предполагаются ограниченными. Две фигуры называют конгруентными, если существует движение плоскости (т.е. взаимно однозначное отображение плоскости на себя, не меняющее расстояний между точками), при котором одна из фигур отображается на другую.

Площадь фигуры F обозначаем через σ(F ) . Напомним основные свойства ( аксиомы) площади.

Аксиома 1. (Неотрицательность площади ) Площадь фигуры есть неотрицательное число.

Аксиома 2. (Аддитивность площади) Площадь обьединения двух непересекающихся фигур равна сумме их площадей.

Аксиома 3. (Инвариантность площади) Площади конгруентных фи-

гур одинаковы.

Аксиома 4. (Нормированность площади) Площадь квадрата, длина стороны которого равна единице, равна единице.

Выведем следствия из этих аксиом, которые потребуются в дальней-

шем.

Теорема 1. (Монотонность площади) Если фигура F1 содержится в фигуре F2 , то площадь F1 не превышает площади F2.

► Обозначим: F = F2 \ F1 . Так как F1 F2 , то F2 = F1 UF , причем F1 и F не пересекаются. В силу аксиомы 2. имеем: σ(F2) = σ(F1) + σ(F) . По акси-

оме 1 σ(F) ≥ 0 ; значит, σ(F2) ≥ σ(F1). ◄

значит, σ( F1 UF2 ) ≤ σ(F1) + σ(F2) .

3

=σ(F1) + σ(F), получим: σ( F1 UF2 ) = σ(F1) + σ(F)

=σ(F1) + σ( F2 ) - σ(G ). Но σ(G )= 0; значит, σ( F1 UF2 ) =σ(F1) + σ( F2 ) . ◄

Замечание. Таким образом, равенство σ( F1 UF2 ) = σ(F1) + σ( F2 ) имеет

место не только в случае непересекающихся фигур F1 и F2 , но и тогда, когда F1 и F2 хотя и имеют непустое пересечение, но площадь его равна нулю.

1.2. Разложение функции на неотрицательные составляющие

Пусть на некотором промежутке a,b , a ≤ b , ограниченном или неограниченном, определена функция f . Определим на этом промежутке две функ-

ограничены обе её неотрицательные составляющие f + и f − . Справедливость этих утверждений очевидна ввиду определений функ-

в этой точке непрерывны обе её неотрицательные составляющие f + и f − . ► Пусть f непрерывна в точке х0 a,b ; покажем, что в этой точке

непрерывны f + и f − . Возможны случаи: f(x0) > 0, f(x0) < 0 , f(x0) =0. Пусть f(x0) > 0. Если х0 – внутренняя точка промежутка a,b , то в силу

теоремы о сохранении знака непрерывной функции ([1], стр.55) существует окрестность U x0 = (α,β) , α< х0 <β, такая, что при всех х (α, β) f(x) >0. Тог-

да в силу определений f + и f − имеем: f + (х)= f(x), f − (х) ≡0 на (α, β) . Отсюда: f + непрерывна в х0 , так как в ней непрерывна f ; f − непрерывна в х0 , так как она тождественно равна нулю в окрестности этой точки. Если х0 совпа - дает с одним из концов промежутка a,b , нужно доказать одностороннюю

непрерывность f + и f − в этой точке. Рассуждения здесь аналогичны приве-

4

денным выше: так как f непрерывна в конечной точке отрезка, она положительна в односторонней окрестности (b- ε, b] или [a+ε, α) ,где ε - некоторое положительное число; значит, в этой окрествости f + (х)= f(x), f − (х) ≡0.

Случай f(x0) < 0 рассматривается аналогично. Пусть теперь f(x0) = 0.

емые под знаком предела в последнем равенстве неотрицательны, поэтому

Итак, если f непрерывна в x0, то в этой точке непрерывнны и её неотрицательнык составляющие. Справедливость обратного утверждения очевидна: если f + и f − непрерывны в x0, то и f непрерывна в x0 , ибо является разностью непрерывных функций f + и f − . ◄

Пусть F - некоторая функция, определенная и ограниченая на промежутке a,b , а E(F) – множество её значений на a,b . Введем обозначения:

m(F) = inf F(x) = inf E(F) ; M (F) = sup F(x) = sup E(F). .

Если G(x) = - F(x) на a,b , то множества значений E(F) и E(G) располагаются на числовой оси симметрично друг другу относительно нуля, и поэтому

m(G) = − M (F ); M (G) = − m(F ).

6. Пусть функция f ограничена на промежутке a,b . Тогда

M ( f ) = M ( f + ) − m( f − ) ; m( f ) = m( f + ) − M ( f − ).

► Докажем первое из этих равенств. Обозначим через Х + совокупность тех точек промежутка a,b , в которых функция f неотрицательна. Воз-

выше) ) m(-f) = - M(f). Значит, M ( f + ) − m( f − ) = 0 − ( − M ( f ) ) = M ( f ) .

В случае 2) если х Х + , то f(х) ≥ 0 , а f + (х) = f(х) ; если х Х + , то f(х<0,

а f + (х) = 0. Отсюда легко видеть, что M ( f ) = sup f (x) и M ( f + ) = sup f + (x) , и так

X + X +

как на Х + f + (х) = f(х), то M ( f + ) = M ( f ) . Далее, ясно, что при х Х + f − (х) = = 0; поэтому m( f − ) = 0 . Отсюда: M ( f + ) − m( f − ) = M ( f ) −0 = M ( f ) .

Докажем равенство m( f ) = m( f + ) − M ( f − ). . По доказанному выше для функции g = -f имеем: M (g) = M (g + ) − m(g − ) . Отсюда, из свойства 3 и из (1)

2,..., l. Каждый из промежутков Xj может быть промежутком любого типа

5

(открытым, полуоткрытым, замкнутым ), однако, потребуем, чтобы выполня-

точек xj , j = 1,2, …, l-1, принадлежит хотя бы одному из разделяемых ею промежутков Xj-1 и Xj ; если точка a или точка b принадлежит a,b , то она

является соответственно левым концом промежутка X1 или правым концом Xl. Совокупность промежутков {Х j }lj=1 , удовлетворяющую требованию a,b =

= a,b . В частности, если функция f тождественно на a,b равна С, С ≥

6

чим неравенства для интегральных сумм, которые требовалось доказать. ◄ 2. S ( f , τ) = S ( f + , τ) - S ( f − , τ) ; S ( f , τ) = S ( f + , τ) - S ( f − , τ).

► Имеем (см. п.1.2, свойство 6): на промежутке X j = x j−1 , x j

получим равенства для интегральных сумм. ◄

3. Всякая нижняя интегральная сумма функции f не превышает любой из её верхних интегральных сумм, т.е. для любых двух дроблений τ′ и τ″ про-

сумм функции f по всевозможным дроблениям промежутка a,b . Из свойст-

ва 3. следует, что всякая верхняя интегральная сумма является верхней гранью множества {S}. Обозначим: I = sup {S}.

Обозначим через {S}совокупность верхних интегральных сумм функции f по всевозможным дроблениям промежутка a,b . Всякая верхняя интегльная сумма S ( f , τ) не меньше I , так как S ( f , τ) является верхней гранью множества {S} нижних интегральных сумм, а I - точная верхняя грань этого множества. Значит множество {S}ограничено снизу числом I . Обозначим: I = inf {S}. Заметим: I ≤ I , так как I - нижняя грань множества {S}, а I - его

8

точная нижняя грань. Таким образом, для произвольного дробления τ промежутка a,b справедливы неравенства

1.6. Интегрируемые функции

Пусть τ = {Х j }lj=1 - дробление промежутка P = a,b , a < b, образованное набором точек {x j }lj=0 . Наибольшую из длин промежутков X j = x j−1 , x j , j =1,2,..

.., l , назовем рангом дробления τ и обозначим через λτ .

X (k ) = x(k−) , x(k ) . Последовательность { τk} ∞= назовем нормальной последо-

j j 1 j k 1

вательностью дроблений, если последовательность {λτ } ∞= их рангов явля-

k k 1

ется бесконечно малой : λτk →0 . В качестве примера нормальной последо-

вательности дроблений укажем на последовательность {τk} ∞k =1 , где дробление τk образовано набором точек, делящих a,b на k равных частей.

Пусть функция f ограничена на промежутке a,b , a < b. Определение. Функцию f назовем интегрируемой на промежутке a,b ,

если для любой нормальной последовательности { τk} ∞k =1 дроблений этого промежутка разность между верхней и нижней интегральными суммами функции f по дроблению τk стремится к нулю: S ( f , τk) - S ( f , τk) →0 .

Приведем пример интегрируемой функции.

Теорема 1. Пусть a,b , a < b, любой ограниченный промежуток, а функция f ограничена на a,b и либо непрерывна на нем, либо имеет конечное количество точек разрыва. Тогда f интегрируема на a,b .

► Если функция f удовлетворяет указанным выше требованиям, то существует набор точек , t0 = a< t1 <t2 < … <tn-1 <tn =b, такой, что f непрерывна на каждом из интервалов (ti−1 ,ti ) , i =1,2,..., n. Точки этого набора являются, вообще говоря, точками разрыва функции f ; если f непрерывна на

a,b , то набор можно составить из двух точек a и b. Выберем ε0 > 0 настолько малым, чтобы ε0 – окрестности точек ti , i = 1,2, …, n, попарно не

надлежит либо Х, либо Y. Функция f непрерывна на сегменте [ti−1 +ε0 ,ti −ε0 ] ; по теореме Кантора ([1], стр. 65) найдется такое, что для любых х′ и х″, принадлежащих [ti−1 +ε0 ,ti −ε0 ] и удовлетворяющих условию | х″- х′| <δi спра-

9

ведливо неравенство |f(х″) – f(х′)| < ε0 . Обозначим через δ0 наименьщее из

чисел δ ,δ2 ,…,δ n,ε0 ; тогда для любых х′ и х″, принадлежащих множеству Y

1

I отнесем промежутки Хj , содержащиеся в множестве Y, остальные составят группу П; промежутки второй группы либо содержатся в множестве Х, либо имеют непустые пересечения и с Х, и с Y. Имеем:

ветствуют промежуткам группы I и группы П. Если Хj принадлежит группе I, то он содержится в множестве Y, и так как длина его меньше δ0 , то для лю-

бых х′ и х″, принадлежащих Хj , справедливо |f(х″) – f(х′)| < ε0.; поэтому

M j ≤M ; m j ≥m ; значит, ∑(M j −m j ) ∆xJ ≤ (M – m) ∑ ∆xJ . Оценим ∑ ∆xJ - сум-

II II II

му длин промежутков Хj, входящих в группу П. Всякий такой промежуток либо содержится в Х, либо имеет непустые пересечения как с Х, так и с Y. Множество Х состоит из n+1 попарно не пересекающихся интервалов

(ti −ε0 ,ti +ε0 ) ; длина Хj меньше δ0 ; значит, сумма длин всех промежутков из группы П не может превзойти величину 2 (n+1)( ε0 + δ0 ), а это число меньше 4 ε0 (n+ 1). Таким образом,

где С = (b - a) + 4 (M – m) (n+1) > 0 – константа, не зависящая от выбора ε0 .

Пусть ε > 0 – заданное число, а { τk} ∞k =1 - нормальная последовательность дроблений промежутка a,b . Пусть ε0 > 0 выбрано так, чтобы ε0 – окрестности точек ti , i = 1,2, …, n, попарно не пересекались и чтобы было выполнено условие ε0 < ε C . По ε0 найдем δ0 так, как было описано выше. Пос-

10

ледовательность рангов {λτ } ∞= стремится к нулю; значит, найдется нату-

k k 1

ральное kε такое, что при всех k > kε будет выполнено λτk < δ0 . В силу (5) при всех k > kε имеем:

S ( f , τk) - S ( f , τk) ≤ С ε0 < ε.

Так как здесь ε > 0 любое, то отсюда следует: S ( f , τk) - S ( f , τk) →0 . Здесь

{τk} ∞k =1 - произвольная нормальная последовательность, значит, f удовлетво-

ряет сформулированному выше определению. ◄ Следствие. Функция, непрерывная на сегменте, интегрируема на нем.

Действительно, функция непрерывная на сегменте, ограничена на нем (первая теорема Вейерштрасса); значит, она удовлетворяет всем требованиям

функция, интегрируемая на a,b .

2)Если f интегрируема на a,b , то функция С f , где С – любое вещественное число, интегрируема на a,b .

3)Пусть a < c < b . Функция f интегрируема на a,b , тогда и только тогда, когда она интегрируема на a, с и на с,b .

Для функций, удовлетворяющих требованиям теоремы 1, справедливость этих утверждений очевидна. Так например, пусть две функции f и g удовлетворяют этим требованиям, и потому интегрируемы на a,b . Тогда их

сумма h = f + g ограничена на a,b как сумма ограниченных функций, а

каждая точка разрыва h ( если такие точки имеются) должна быть точкой разрыва хотя бы одной из функций f и g; следовательно, h либо непрерывна, либо имеет конечное количество точек разрыва, и по теореме 1 она интегрируема на на a,b .

Доказательства утверждений 1) – 3) для произвольных интегрируемых функций довольно грамоздки, и по этой причине здесь не приводятся. Их можно найти в [2] .

Остановимся на еще трех свойствах интегрируемых функций.

4) Функция f интегрируема на a,b тогда и только тогда, когда на этом промежутке интегрируемы обе её неотрицательные составляющие f + и f − .

► Пусть τ - некоторое дробление промежутка a,b . По свойству 2.,

11

Пусть f интегрируема на a,b , тогда S( f ,τk ) − S( f ,τk ) →0 . В силу (6)

( S ( f + , τ k) - S ( f + , τ k) ) + ( S ( f − , τ k) - S ( f − , τ k) ) →0 . Но здесь обе скобки неотрицательны, поэтому каждая из них должна стремиться к нулю. Следо-

5) Если f интегрируема на a,b , то её модуль | f | интегрируем на этом

промежутке.

► Имеем: | f | = f + + f − . Так как f интегрируема , то интегрируемы f +

иf − ; значит, | f | есть сумма двух интегрируемых функций . ◄

6)Площадь графика интегрируемой функции равна нулю.

►Пусть функция f интегрируема

f содержится в фигуре F(τ) , площадь которой равна S( f ,τ) −S( f ,τ) , значит, для

любого дробления τ справедливы неравенства 0 ≤ σ (γ ) ≤ S( f ,τ) −S( f ,τ) .

Пусть {τk }∞k =1 есть нормальная последовательность дроблений промежутка a,b . При всех натуральных k имеем: 0 ≤ σ (γ ) ≤ S( f ,τk ) − S( f ,τk ) . Но S( f ,τk ) − S( f ,τk ) →0 ; следовательно, σ (γ ) = 0. ◄

1.7. Определенный интеграл

Пусть функция f интегрируема на ограниченном промежутке a,b , a <

b. Тогда для любой нормальной последовательности { τk} ∞k =1 дроблений этого промежутка S ( f , τk) - S ( f , τk) →0 . а в силу (2) , п.1.5, при всех натуральных

<b, то существует число I такое, что для любой нормальной последователь-

12