ПРЕДИСЛОВИЕ

Функциональный анализ, который является сравнительно молодой математической дисциплиной, еще не вошел в стандартную программу математической подготовки для студентов технических вузов. В настоящее время имеется большое количество учебной литературы по данному предмету, написанной как отечественными, так и зарубежными авторами. Прежде всего следует упомянуть классический учебник А.Н. Колмогорова и С.В. Фомина [12], а также монографии У. Рудина [20] и К. Иосиды [10]. Последние две книги могут быть рекомендованы для желающих самостоятельно продолжить более углубленное изучение предмета, в то время как [12] служит прекрасным пособием для первого (и весьма глубокого) знакомства с функциональным анализом. В то же время авторы на собственном опыте ощутили острую нехватку учебной литературы, ориентированной на практические занятия по данному предмету. Наиболее известным сборником задач по функциональному анализу является пособие В.А. Треногина и др. [25], которое содержит большое количество разнообразных задач и упражнений по данному предмету. Многие задачи, приведённые в данном пособии, взяты из [25]. Однако в [25] представлены не все разделы, входящие в программу, а задачи являются абсолютно неравноценными по сложности. Одни из них совершенно тривиальны, другие − настолько сложны, что их использование на практических занятиях представляется нецелесообразным.

Настоящий сборник написан на основе теоретических и практических занятий по курсу «Функциональный анализ», которые один из авторов на протяжении нескольких лет проводил со студентами третьего курса кафедры «Прикладная математика». Издание предназначено для проведения двухсеместрового практического курса занятий по функциональному анализу. Главы 1−9 рекомендуется изучать в первом семестре, главы 10−13 − во втором. При этом задачи в сборнике подобраны таким образом, чтобы при проведении практических занятий их можно было решать подряд, не проводя какого-либо предварительного отбора. В конце глав 9 и 13

6

рассматриваются задачи, предназначенные для самостоятельной работы. Их также можно использовать для контроля знаний студентов.

Отбор задач проводился по следующим критериям.

Одной из главных задач курса «Функциональный анализ», помимо чисто общеобразовательных, является развитие у студентов навыков абстрактного мышления и самостоятельной работы. Поэтому, в отличие от большинства сборников задач по математическому анализу, линейной алгебре и т.д., данный сборник не содержит большого количества типовых задач, рассчитанных на выработку у студента определенного навыка. Каждая задача, включенная в сборник (за редкими исключениями), является маленькой самостоятельной научной проблемой, часто сформулированной в виде теоремы. Естественно, решение каждой такой проблемы требует самостоятельного подхода. В то же время все задачи, включенные в сборник, не являются чересчур сложными и вполне могут быть решены студентами самостоятельно или, в крайнем случае, с небольшой помощью преподавателя. Авторы старались подбирать задачи таким образом, чтобы они были более или менее одинаковыми по сложности. Некоторые простые задачи представляют собой вспомогательные утверждения, используемые в дальнейшем при решении сложных задач.

По содержанию задачи можно условно разделить на две группы. Задачи, относящиеся к первой группе, представляют собой, по сути, примеры приложения теории к каким-либо конкретным ситуациям и служат для иллюстрации теоретического курса. Вторую группу составляют задачи, являющиеся некоторыми абстрактными утверждениями, которые служат для дополнения и расширения теоретического курса. При этом некоторые темы (например, «Факторпространства», «Полунормы», «Замкнутые операторы») не входят в теоретический курс и рассматриваются исключительно на упражнениях. В этом случае все понятия, используемые при формулировке задач, приводятся в тексте в виде сносок.

Некоторые задачи помечены звёздочкой. Они предназначены для желающих более углублённо изучить предмет, и их не рекомендуется включать в программу основного курса.

7

Вконце сборника имеются указания к решению некоторых задач основного курса (не помеченных звёздочкой). Указание к задаче 9.8 представляет собой прямую цитату из учебника Колмогорова и Фомина [12], где приводится доказательство соответствующей теоремы.

Основой для данного издания послужил сборник задач [16]. По сравнению

с[16], в данное издание сборника были добавлены некоторые задачи, а также дополнительные пояснения.

Если в задачниках [15] и [16] сохранялась общая нумерация задач, то в данном издании нумерация изменена.

Вданном издании существенно расширен список литературы. В него добавлены не только учебники и задачники по функциональному анализу

[2,1] [6], [8,9], [11], [17], [19], [21], [22], [24], [28], но также и книги, в которых описываются приложения функционального анализа к различным областям, прежде всего к математической физике [23], [3] и к теории численных методов [7]. Кроме того, были добавлены книги по теории меры [26] и [27]. Также в списке литературы данного издания представлены книги, написанные математиками, которые лично внесли огромный вклад в развитие функционального анализа, и которых можно причислить к отцам-основателям данной науки: С. Банаха [4], Д. Гильберта [13] и Ф. Рисса [19].

8

1. ОПЕРАЦИИ НАД МНОЖЕСТВАМИ

1. Пусть дана последовательность множеств {An }∞n=1 . Верхним и нижним

пределами этой последовательности назовём соответственно следующие множества:

Доказать, что lim An lim An .

n→∞ n→∞

2.СЧЁТНОСТЬ

1.Является ли счётным множество последовательностей, состоящих из нулей и единиц?

непустых интервалов на прямой?

3.МЕТРИКА, МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА

1.Будет ли метрическим пространством множество открытых шаров на плоскости с метрикой ρ(A, B)=S(A B)? Здесь S(A B) − площадь

симметрической разности шаров A и B.

2. Пусть ρ − метрика. Доказать, что ρ1 =1 +ρρ также является метрикой.

Показать, что последовательность сходится в метрике ρ1 тогда и только тогда, когда она сходится в метрике ρ.

4.ОТКРЫТЫЕ И ЗАМКНУТЫЕ МНОЖЕСТВА

1.Показать, что любое метрическое пространство − хаусдорфово1.

2.Доказать, что открытый шар − открытое множество.

1 Пространство называется хаусдорфовым, если оно удовлетворяет аксиоме отделимости Хаусдорфа: любые две точки, не совпадающие между собой, можно окружить непересекающимися окрестностями.

9