Некоторые задачи статики и динамики точки и твёрдого тела.

Предлагаемые приложения не входят в обязательные главы курса теоретической механики, но представляют, по мнению автора, определённый интерес. Ниже будет показано, что для деформируемых тел выполняются те же необходимые и достаточные условия равновесия – равенство нулю главного вектора и главного момента приложенных сил, но сами уравнения равновесия имеют вид дифференциальных зависимостей.

Глава 18 Уравнения статики деформируемого твёрдого тела.

§ 1. Дифференциальные уравнения равновесия нерастяжимой нити.

Задана невесомая нить длиной ds, (рис.76 ), нагруженная распределённой нагрузкой . Нить абсолютно гибкая и нерастяжимая. В данных предположениях достаточно записать уравнения равновесия в виде, главный вектор всех сил равен нулю.

Раскроем полученное выражение

^.

Первые два слагаемых сокращаются, произведением можно пренебречь, как величиной второго порядка, остаются только. Разделив полученную формулу наds, получаем дифференциальное уравнение равновесия нити

(6.1

Или в проекциях на оси декартовой системы координат, вспоминая, что , имеем

^(6.2)

Уравнение (6.1) можно записать и в осях натурального триэдра, при этом

и окончательно получаем

^(6.3).

Рассмотрим приложения полученных двух формул: задачу о прогибе нити под действием своего веса и задачу о ленточном тормозе.

1. Равновесие цепи под действием своего веса (рис 77).

Цепь веса Р подвешена в двух точках на одном уровне. Расстояние между точками подвеса l. Считая прогиб цепи небольшим, определить прогиб и натяжение цепи. По определению

Т.к. прогиб цепи небольшой, то можно считать , тогдаи уравнения (6.2) запишутся в виде:т.е., а второе уравнение примет вид(здесь). Интегрируя полученное выражение, получим уравнение параболы

.

Для определения констант интегрирования зададим два граничных условия . Из первого условия, а из второго. Окончательно получаем

Максимальный прогиб будет при и равен , отсюда можно получить значение натяжения цепи в зависимости от её прогиба,. В случае, если концы цепи находятся на разных уровнях, то в решение дифференциального уравнения надо подставить условия, гдеи- координаты концов цепи.

2. Задача о ленточном тормозе.

На барабан радиуса R (на рис 78 показана часть барабана) находится нить АВ. К концам которой приложены две силы и, причём пусть. Коэффициент трения скольжения между нитью и барабаномf. Надо определить: при каком соотношении инить будет находиться в равновесии, т.е. не будет скользить по барабану. В нашем случае, а сила трения, направленная как показано на рис. 78, равна. Тогда из уравнений (6.3) имееми(*); это дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными, интегрируя которое,получим. Если, то в уравнении (*) надо поменять знакнаи порядок интегрирования поφ, тогда получим . Окончательно условие равновесия нити можно записать в виде