1. Случай кратных частот

В общем случае система в случае кратных собственных чисел (частот) имеет решения, содержащие времявне синуса (т.н. вековые члены). Так, в случае корня второй кратности, соответствующее решение должно иметь вид, то есть амплитуда колебаний должна неограниченно возрастать, что противоречит факту сохранения полной энергии консервативной системы.

Дело в том, что в случае симметричности матриц вековых членов не возникает, что и видно из уравнений движения в главных координатах (11).

Практически же случай равных частот весьма распространен, а иногда и желателен. Так, наиболее рациональной является такая конструкция автомобиля, при которой угловые и вертикальные колебания кузова независимы и, более того, их частоты равны.

Простой пример тела с двумя равными частотами - груз на стержне с одинаковой во всех направлениях изгибной жесткостью.

2. Случай нулевой частоты. Пример.

Если частота то уравнение для этой координаты имеет вид

и решение Физически это решение означает, что система может совершать движение без деформации - жесткое движение.

Пример. Вал с двумя дисками[8].

Кинетическая энергия , Потенциальная, гдеC- жесткость вала на кручение. Подставляя в уравнения Лагранжа

получим (1)

Отыскивая решение в виде , получим систему

. (2)

Частотное уравнение имеет вид

, откуда .

Форму колебаний для нулевой частоты найдем формальным образом, подставляя в любое из уравнений системы (2), полагая амплитудуравной единице:.

Эта форма «колебаний» описывает вращение дисков без деформации вала.

Форма колебаний для второй частоты .

Заметим, что форма, соответствующая нулевой частоте, ортогональна второй:

.

Общее решение задачи удобно построить, используя главные координаты

. (3)

Подставляя (3) в выражения кинетической и потенциальной энергии, получим:

, ,

, где .

Уравнения Лагранжа

.

Решение .

7.2.6. Вынужденные колебания системы с несколькими степенями свободы.

Система уравнений движения при наличии возмущающих воздействий имеет вид , (12)

где вектор-столбец обобщенных сил.

1.Разложение по формам свободных колебаний (метод главных координат)

Если обобщенные силы являются произвольными функциями времени, то аналитическое решение системы (12) весьма затруднительно. В этом случае можно применить метод разложения по формам свободных колебаний. Ищем решение в виде суммы , (13)

где собственные формы, удовлетворяющие системе.

Подставим (13) в систему (12):

.

Умножая последовательно эту систему слева на с учетом ортогональности

получим уравнений,

или, разделив на

,

Решения этих неоднородных уравнений, как известно, складываются из решения однородного уравнения и решениянеоднородного, которое можно получить с помощью интеграла Дюамеля

.