7.1.4. Свободные колебания с учетом сопротивления.

Дифференциальное уравнение имеет вид

(7)

По методу Эйлера решение будем искать в виде Подставляя его в (7), получимхарактеристическое уравнение

,

откуда определяются собственные числа .

Общее решение имеет вид

, (7а)

где иопределяются из начальных условий. Рассмотрим три возможных случая.

А) Большое сопротивление

В этом случае собственные числа ивещественные и решение имеет вид (7а), которое для удобства часто записывают в виде:

, (7b)

где гиперболические функции, удобные для определения постоянных из начальных условий, поскольку

Имеем и

, (7c)

Эскизы графиков движения в зависимости от начальных условий могут иметь вид, представленный на рис. 3.

Эти движения принято называть апериодическими (непериодическими) колебаниями, хотя они и не имеют колебательного характера.

B) Предельно-апериодическое движение

В этом случае собственные числа кратные и, как известно из математики, частные решения имеют види, так что общее решение

.

Впрочем, это решение, как и в случае резонанса (см.7.1.2), получается предельным переходом при из общего решения (7c) . Замечая, что , получим:

Характер движения вполне описывается эскизами на рис. 3.

C) Малое сопротивление (затухающие периодические колебания)

Собственные числа –комплексные и формально записанное решениетоже комплексное. С помощью формулы Эйлераоно принимает вид

.

Разумеется, если найти постоянные из вещественных начальных условий, мнимая часть решения «исчезнет» (станет равной нулю). Имеем

Таким образом,

. (7d)

Обычно это вещественное решение сразу записывают в виде суммы вещественной и мнимой частей, умноженных на константы, определяемые из начальных условий:

.

Действительно, если комплексная функция является решением линейного уравнения с вещественными коэффициентами, то решениями являются ее вещественная и мнимая части.

Решение может быть записано в виде одной гармоники

.

Это движение, несмотря на неточность, называют затухающими периодическими колебаниями (рис. 4). Частота колебаний , «период».

7.1.5. Вынужденные колебания с учетом вязкого сопротивления.

Дифференциальное уравнение имеет вид (1)

.

А. Произвольное воздействие (интеграл Дюамеля).

Возьмем для определенности случай малого сопротивление ( ). Полагая в решении (7d) предыдущего параграфа , получим движение с единичной начальной скоростью (реакцию системы на единичный импульс)

.

Движение при воздействии описывается интегралом Дюамеля

.

В. Гармоническое воздействие.

Дифференциальное уравнение имеет вид

. (8)

Частное решение, описывающее установившиеся колебания с частотой возмущающей силы, будем искать в виде или, что одно и то же, в виде, гдеамплитуда колебаний,фаза.

Подставляя это выражение в (8) и преобразовывая правую часть

, получим

.

Приравнивая коэффициенты при , получим систему

(9)

Зависимость амплитуды и фазы колебаний от частоты представлены на рис 5.

Максимальная амплитуда достигается при частоте , при которой подкоренное выражение в знаменателе формулы амплитуды (9) минимально.