5.3. Третий фундаментальный закон механики (закон баланса энергии).

5.3.1. Кинетическая энергия материальной точки и твердого тела. Теорема Кенига.

Кинетическая энергия материальной точки ,

тела, состоящего из материальных точек , (1)

континуального тела . (2)

Для твердого тела . Подставим это выражение в (2):

= .

Второе слагаемое равно , а подынтегральное выражение в третьем преобразуем, чтобы вынести из интеграла постоянный множитель:

.

Имеем .

Таким образом,

(3)

Рассмотрим частные случаи.

а) Тело вращается вокруг неподвижной точки:

(4)

б) В качестве полюса взят центр масс:

(5)

Формула (5) представляет собой частный случай (для твердого тела) теоремы Кенига:

Кинетическая энергия складывается из кинетической энергии поступательного движения со скоростью центра масс и энергии относительного движения относительно системы отсчета, движущейся поступательно со скоростью центра масс (для твердого тела относительное движение - вращение вокруг центра масс).

Для плоского движения и формулы ( 4) , ( 5) примут вид:

вращение вокруг неподвижной оси ( 4а)

(5а)

где осевые моменты инерции постоянные величины.

5.3.2. Мощность, работа. Потенциальные воздействия.

Мощность силы , мощность момента.

Элементарная работа .

Символ означает, что элементарная работа не является в общем случае дифференциалом функции А ввиду произвольности сил и моментов. Для силы элементарная работа вычисляется по хорошо знакомой из курса физики формуле

, а вот для момента известная формула имеет место только для плоского движения, когда, поэтому определение мощности как работы в единицу времени при произвольном движении тела становится весьма затруднительным.

Найдем мощность сил и моментов, приложенных к твердому телу.

По определению . Подставиви, переставив сомножители в смешанном произведении, получим

. ( 6)

Ясно, что мощность ( 6) не зависит от выбора полюса А.

Потенциальные воздействия.

Существует довольно узкий класс сил и моментов, мощность которых равна полной производной по времени от некоторой функции положения :

.

Такие воздействия называются потенциальными, а  - потенциальной энергией (знак (-) принято ставить для удобства).

Если рассматривается сила, то аргументом функции  является вектор положения точки приложения силы, т.е., а если момент, то аргументом являются параметры, задающие ориентацию, например, углы Эйлера, т.е.=(.

Для потенциальных сил и моментов элементарная работа является дифференциалом функции :; отсюда следует равносильное определение потенциальных воздействий: для них работа не зависит от пути перехода из первого положения во второе:

;

и, как следствие, работа по замкнутому контуру равна нулю:

Если вектор силы известен, то условия его потенциальности можем получить, приравнивая элементарную работу дифференциалу энергии:

,

где оператор Гамильтона (набла-оператор, градиент). Видим, что, т.е.и, поскольку смешанные производные не зависят от порядка дифференцирования, для потенциальной силы должны выполняться равенствакоторые на языке дифференциальных операций векторного анализа равносильны равенству нулю ротора силы