5.2.1. Зависимость кинетического момента от выбора опорной точки. Кинетический момент твердого тела. Тензор инерции.

Хотя закон баланса кинетического момента сформулирован в инерциальной системе отсчета, сам кинетический момент может вычисляться в любой системе отсчета.

Рассмотрим любое (не обязательно твердое) тело и две произвольные, может быть подвижные, точки M и N.

Заменив =, немедленно получим

или, вспоминая определение количества движения ,

(5.14)

Рассмотрим движение твердого тела в любой (необязательно инерциальной) системе отсчета. Найдем кинетический момент относительно какой-либо точки В, принадлежащей телу (т.е. движущейся вместе с телом).

Подставим в определение (5.12) основную формулу кинематики твердого тела , взяв за полюс точку В:

.

Вспоминая определение центра масс , первое слагаемое запишем в виде .

Во втором слагаемом раскроем двойное векторное произведение:

.

Независящий от переменных интегрирования вектор угловой скорости вынесем из интеграла со знаком скалярного умножения, представив, где, напомним,единичный тензор, представимый в ортонормированном базисе в виде.Тогда

,

Описывающий распределение массы вокруг точки В интеграл называется тензором инерции тела в точке В (или относительно точки В):

(5.15)

Таким образом, кинетический момент твердого тела относительно принадлежащей ему точки, называемый собственным кинетическим моментом, имеет вид

. (5.16)

Формула упрощается, если в качестве полюса В выбрать центр масс:

тогда и, (5.17)

где тензор инерции тела относительно центра масс называетсяцентральным.

Если тело вращается вокруг неподвижной точки В, то

. (5.18)

Теперь, если нам нужно найти кинетический момент относительно какой-либо точки, например, относительно неподвижной точки А, достаточно воспользоваться формулой (5.14)

. (5.19)

5.2.2. Постоянный тензор инерции. Осевые и центробежные моменты инерции. Вычисление моментов инерции относительно произвольных осей.

Из определения тензора инерции , вычисляемого в актуальном положении твердого тела, ясно, что тензор инерции зависит от времени. Разложим вектор и единичный тензор по базису, жестко связанному с телом:.

Тогда тензор инерции примет вид , где координатыпостоянные,a переменные иэто повернутые вместе с телом постоянные векторыив отсчетном ( например, приt=0) положении. Таким образом, это повернутый вместе с телом («вмороженный» в тело) постоянный тензор инерции

. (5.20)

Последнее предложение с помощью тензора поворота «переводится» в формулу

.

Далее мы будем говорить о постоянном тензоре , координаты которого называютсямоментами инерции.

Из (5.20) ясно, что тензор инерции симметричный , т.е..

Формально координаты тензора в ортонормированном базисе вычисляются с помощью скалярного умножения тензора слева на, а справа на:

. (5.21)

Из (5.20) имеем:

, (5.22)

где квадрат расстояния от элементадо «К»- ой оси,

(5.23)

Моменты инерции (5.22) называются осевыми, а (5.23) - центробежными.

Из (5.22) следуют своеобразные «правила треугольника»

Например, ,

причем ясно, что равенство возможно только в тех случаях, когда у всех точек тела координата ; например, если тело – бесконечно тонкий стержень или бесконечно тонкая пластина.